4.4探索三角形相似的条件（分层练习）（含解析）

4.4 探索三角形相似的条件（分层练习）
一、单选题
（2022·山东烟台·八年级期末）
1．如图，具备下列条件①，②，③，④之一，就可以判定与相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
（2020·北京铁路二中九年级期中）
2．如图，，如果增加一个条件就能使结论成立，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
（2022·山东青岛·九年级期末）
3．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
（2022·山东淄博·八年级期末）
4．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022·河北·九年级专题练习）
5．如图，在中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足．根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说：．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误
（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）
6．如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）
7．在△ABC和△DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，当EF= 时，△ABC与△DEF相似.
（2022·上海静安·二模）
8．在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似 ．（填“相似”或“不相似”）
（2022·山东淄博·八年级期末）
9．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
（2022·全国·九年级课时练习）
10．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是 ．
三、解答题
（2020·北京延庆·九年级期中）
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．
（2020·北京房山·九年级期中）
12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则_____°，______；
(2)判断与是否相似．若相似，请说明理由．
一、填空题
（2020·上海·上外附中九年级阶段练习）
13．的边长分别为的边长分别，则与 （选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
（2022·甘肃酒泉·九年级期末）
14．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，则DF＝ 时，△ABC与△DEF相似．
（2022·全国·九年级课时练习）
15．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有 对．
（2021·全国·九年级专题练习）
16．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ．
（2022·全国·九年级专题练习）
17．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过 秒时与相似．
二、解答题
（2022·全国·九年级）
18．已知和中，，、分别是两个三角形斜边上的高，且，求证：．
（2022·全国·九年级课时练习）
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．
（2022·河北石家庄·九年级期末）
20．如图，Rt△ABC中，，于F，AD是∠BAC的平分线，交AC于G，AD与BF交于点E．
(1)求证：
(2) ， ．
参考答案：
1．D
【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对条件④进行判断；即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，条件①符合题意；
∵仅有，无法确定与相似，
∴条件②不符合题意；
∵，，
∴，条件③符合题意；
∵，，
∴，条件④符合题意．
综上所述，具备条件①③④之一，即可判定与相似．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
2．D
【分析】根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAB=∠BAC，
∴添加∠D=∠B或∠AED=∠C或，可以推出△ADE∽△ABC，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．B
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
4．C
【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论．
【详解】解：图中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA．
∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠FAG＝45°，
∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD；
∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，
∴△ADE∽△BAE；
同理，可得△CDA∽△ADE．
∴△BAE∽△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．
5．B
【分析】根据，可以判定，与不一定相等，不能判定PQ//BC．
【详解】解：∵，，
∴，即淇淇的结论正确；
∴，，
∵不能得出或，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
C．若添加，不能证明，故本选项符合题意；
D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．或3
【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．
【详解】解：由题意可得：
当或时，△ABC与△DEF相似，
∴或，
∴EF=或3，
故答案为或3．
【点睛】本题考查三角形相似的应用，熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键．
8．不相似
【分析】求出，利用，即可求出两个三角形不相似．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴这两个三角形不相似．
故答案为：不相似
【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
9．
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比就是与△ABC相似的三角形．
【详解】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键．
10．∠B=∠C（答案不唯一）
【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC．
【详解】解：∵∠AOB=∠DOC，
∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC，
故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
11．△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可证得△BEC∽△ADC．
【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
又∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°
∴∠ADC=∠BEC=90°
又∵∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．(1)，
(2)∽，证明见解析
【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论：△ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【详解】（1）解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC．
故答案为：，
（2）结论：△ABC∽△DFE．
理由：∵AB＝2，BC＝2，DF，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，
∴，
∵∠ABC＝∠DFE，
∴△ABC∽△DFE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．不一定
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【详解】解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
14．或
【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△ABC∽△DEF与△ABC∽△DFE两种情况进行讨论．
【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，
∴当△ABC∽△DEF时，＝，即，
解得：DF＝2；
当△ABC∽△DFE时，＝，
即，
解得：DF＝4.5．
综上所述，当DF＝2cm或4.5cm时，△ABC和△DEF相似．
故答案为：2cm或4.5cm．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
15．3
【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
【详解】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．
16．①②
【分析】由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确．
【详解】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＋60°，
∠BAE＝∠BAC＋60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC．
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO
＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD，
∵AE=AC，
∴AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∵∠AEB＝∠ACD，
∴∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
即③不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，说明③不正确是本题的难点，许多学生无从下手．
17．或##或
【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
18．证明见解析
【分析】先根据题意得出，再由，得出，故可得出，再由即可得出结论．
【详解】证明：∵、分别是两个三角形斜边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解本题的关键．
19．证明见解析．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．
【详解】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)ADG，AFE，ACD
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
【详解】（1）解：证明：如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又，，，
∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°，
∴ADGAFE，
∴∠3=∠AGD=∠AEF，
∴∠ADC=∠CGD=∠AEB，
又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C，
∴
故答案为：ADG，AFE，ACD．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．

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