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课时训练：长方体和正方体的体积（同步练习）数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．将棱长为8厘米的正方体橡皮泥捏成长5厘米、宽4厘米的长方体，这个长方体橡皮泥的厚度是（ ）厘米。
A．19.2 B．25.6 C．4.8
2．用24个小正方体拼成长方体，可以拼出（ ）个不同的长方体。
A．2 B．3 C．4 D．6
3．如图，将一个长方体木块的中间挖掉一小个小长方体木块，下面的说法正确的是（ ）。
A．体积减少，表面积不变 B．体积减少，表面积也减少
C．体积减少，表面积增加 D．体积和表面积都不是变
4．将一个棱长为a厘米的正方体的高减去2厘米，这个正方体的体积减小（ ）立方米。
A．2 B．2a C．2a2 D．8
5．把一块棱长是4分米正方体大面包切成棱长是10厘米的正方体小面包，最多可以切（ ）块。
A．16 B．32 C．64
6．将一个正方体的棱长乘3，那么它的体积乘（ ）。
A．3 B．6 C．27
二、填空题
7．一根2米长的方钢，把它横截成2段，此时表面积增加60平方厘米，原来的方钢体积是( )。
8．一个正方体玻璃鱼缸，从里面量的棱长是6dm。把108L水倒入鱼缸中，水面的高度是( )dm。
9．一根长2米的长方体木棒，沿横截面锯成两个小段，表面积增加了80平方分米，这根木棒原来的体积是( )立方米。
10．老师为淘气准备了一些小棒（如图），在不折断、不加长的前提下，可以搭成的长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。
11．一块长方体木材，长分米、宽厘米、厚厘米，若锯成最大的正方体木块，可以锯成( )块，每块体积应是( )立方厘米。
12．下图是用棱长1厘米的小正方体摆成的立体图形。它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。
13．( )个棱长1的小正方体，可以拼成一个棱长1的大正方体；将这些小正方体排成一排，组成一个长方体，这个长方体的长是( )m。
14．用6个棱长为2cm的小正方体拼成一个长方体，长方体的体积是( )cm3。
三、解答题
15．一个正方体容器内壁棱长3厘米，另一个长方体容器从里面量长5厘米，宽4厘米，高5厘米。小明把正方体容器装满水后倒入长方体容器里，你知道水面离容器口还有多少厘米吗？
16．一个铁箱长60厘米，宽50厘米，高40厘米，当水深2分米时，铁箱内的水的容积是多少升？将6块完全相同的石块放入铁箱内，石块全部潜入水底后水深2.06分米。每块石块的体积是多少？
17．挖一个长8米、宽6米、深2米的蓄水池。
（1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？
（2）如果给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（3）这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米的水重1吨）
18．一个长40厘米，宽25厘米，高30厘米长方体水槽，里面装了一半的水。
（1）求出这个水槽的容积；
（2）这时水跟水槽接触部分的面积是多少平方厘米？
（3）如果将一个棱长6厘米的正方体铁块放进去，水面会上升多少厘米？
19．如图是一个棱长5分米的正方体，现将它的前、后、左、右和上面涂上颜色，然后切割成若干个棱长1分米的小正方体。
（1）切得棱长1分米的小正方体共有多少块？
（2）请你算一算，切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有多少块？
20．一种牙膏的包装盒长是15厘米，宽是3厘米，高是4厘米。纸箱长是30厘米，宽是24厘米，高是15厘米（箱内尺寸），这个纸箱最多能放多少盒这种牙膏？
参考答案：
1．B
【分析】由正方体橡皮泥变成长方体时，体积不变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积即为长方体的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出高＝长方体的体积÷（长×宽）。即是这个长方体橡皮泥的厚度。
【详解】8×8×8÷（5×4）
＝512÷20
＝25.6（厘米）
即这个长方体橡皮泥的厚度是25.6厘米。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，关键是理解橡皮泥的体积不变。
2．D
【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，将24拆分为3个整数相乘，有几种拆分方式，就可以拼出几个不同的长方体。
【详解】24＝1×1×24＝1×2×12＝1×3×8＝1×4×6＝2×2×6＝2×3×4
据此可知，可以拼出6个不同的长方体。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
3．C
【分析】剩下图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积；剩下图形的表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，据此分析。
【详解】如图，将一个长方体木块的中间挖掉一小个小长方体木块，体积减少，表面积增加。
故答案为：C
【点睛】关键是理解表面积和体积的含义，掌握组合体表面积和体积的求法。
4．C
【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，和长方体体积公式：体积＝底面积×高，分别求出正方体体积和长方体体积，再用正方体体积减去长方体体积，就是这个正方体的体积减少的体积。
【详解】长方体的高为（a－2）厘米。
a×a×a－a×a×（a－2）
＝a2×a－a2×（a－2）
＝a3－a3＋2a2
＝2a2（立方厘米）
将一个棱长为a厘米的正方体的高减去2厘米，这个正方体的体积减小2a2立方厘米。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握正方体体积公式和长方体体积公式是解答本题的关键。
5．C
【分析】统一单位，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此用大面包的体积÷小面包的体积＝可以切的块数。
【详解】4分米＝40厘米
40×40×40÷（10×10×10）
＝64000÷1000
＝64（块）
最多可以切64块。
故答案为：C
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式。
6．C
【分析】正方体的体积是棱长×棱长×棱长，一个正方体的棱长乘3，那么它的体积就乘3×3×3，据此解答即可。
【详解】3×3×3＝27
那么将一个正方体的棱长乘3，那么它的体积乘27。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查了正方体的体积，解题是关键是掌握正方体的体积公式。
7．6000立方厘米/600cm3
【分析】截成2段增加2个截面的面积，则一个截面的面积＝60÷2＝30平方厘米，长方体的体积＝截面积×长，据此计算。
【详解】2米＝200厘米
60÷2＝30（平方厘米）
200×30＝6000（立方厘米）
原来方钢的体积是6000立方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体体积的求法以及立体图形的切拼，要注意切成两段会增加两个切面的面积。
8．3
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，用水的体积除以容器的底面积即可得出水面的高度。
【详解】108L＝108dm3
108÷（6×6）
＝108÷36
＝3（dm）
则水面的高度是3dm。
【点睛】本题考查长方体的体积和正方体的特征，明确长方体的体积的计算方法是解题的关键。
9．0.8/
【分析】把长方体沿横截面锯成两个小段，表面积就增加了两个横截面的面积，已知表面积增加了80平方分米，用80除以2即可求出一个横截面的面积。长方体的体积＝底面积×高＝横截面面积×长，据此解答。
【详解】80÷2＝40（平方分米）＝0.4平方米
0.4×2＝0.8（立方米）
则这根木棒原来的体积是0.8立方米。
【点睛】本题考查了立体图形的切拼和长方体体积的运算。明确80立方分米是两个横截面的面积，据此求出一个横截面面积是解题的关键。
10． 200 210
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由此可以确定选择8厘米的和5厘米的小棒，搭成一个长方体，根据长方体的体积公式解答即可。
【详解】长至少4根，宽至少4根，高至少4根，由于7厘米的不够4根，因此要用8厘米的4根，5厘米的8根搭成长方体，长宽高有多种组合可能，其表面积、体积分别是一致的，设长是5厘米，宽是5厘米，高是8厘米。
表面积：（5×8＋5×8＋5×5）×2
＝（40＋40＋25）×2
＝105×2
＝210（平方厘米）
体积：5×5×8
＝25×8
＝200（立方厘米）
因此，搭成的长方体体积是200立方厘米，表面积是210平方厘米。
【点睛】考查对长方体的特征的理解，以及长方体体积公式的灵活运用。
11．
【分析】10分米＝100厘米；根据长方体切割正方体的方法可知：要使木块的体积最大，木料又不能有剩余，那么正方体木块的棱长应该是100、10和5的最大公因数，求出它们的最大公因数，然后根据锯出的总块数等于长、宽、高上锯成的块数的连乘积，再根据正方体的体积：棱长×棱长×棱长，把数代入即可求出每块体积，由此即可解答。
【详解】分米厘米，
100＝2×5×2×5
10＝2×5
5＝1×5
100、10和5的最大公因数是5。正方体木块的棱长是5厘米。
（100÷5）×（10÷5）×（5÷5）
＝20×2×1
＝40×1
＝40（块）
5×5×5
＝25×5
＝125（立方厘米）
一块长方体木材，长分米、宽厘米、厚厘米，若锯成最大的正方体木块，可以锯成40块，每块体积应是125立方厘米。
【点睛】熟练掌握最大公因数的求法，以及长方体体积公式、正方体体积公式是解答本题的关键；注意单位名数的统一。
12． 10 36
【分析】观察图形可知，上层有1个小正方体，中层有3个小正方体，下层有6个小正方体，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积，再乘小正方体的个数，即可求出这个组合体的体积；
上、下面外露正方体的6个面；前、后面外露小正方体的6个面；左、右面外露小正方体的6个面；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出小正方体的一个面的面积，再乘外露面的个数，就是这个组合体的表面积。
【详解】1×1×1×（1＋3＋6）
＝1×1×（4＋6）
＝1×10
＝10（立方厘米）
1×1×（6＋6＋6）×2
＝1×（12＋6）×2
＝1×18×2
＝18×2
＝36（平方厘米）
下图是用棱长1厘米的小正方体摆成的立体图形。它的体积是10立方厘米，表面积是36平方厘米。
【点睛】此题考查的是求组合图形的体积和表面积，需注意求表面积时数清楚露在表面的是几个面。
13． 1000 10
【分析】由于1dm＝10cm，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，分别求出棱长是1cm的体积和棱长是10cm的体积，再用大的体积除以小的体积即可求出需要多少个小正方体；用这些小正方体的数量乘每个正方体的棱长即可求出这个长方体的长，再转换单位即可。
【详解】1dm＝10cm
（10×10×10）÷（1×1×1）
＝1000÷1
＝1000（个）
1000×1＝1000（cm）
1000cm＝10m
1000个棱长1cm的小正方体，可以拼成棱长1dm的大正方体；将这些小正方体排成一排，组成一个长方体，这个长方体的长是10m。
【点睛】本题主要考查正方体的体积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
14．48
【分析】用6个棱长为2cm小正方体拼成一个长方体，拼组前后体积不变，也就是大长方体的体积与原来6个小正方体的体积和相等，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出一个正方体的体积，再乘6即可求解。
【详解】2×2×2×6
＝4×2×6
＝8×6
＝48（cm3）
长方体的体积是48cm3。
【点睛】此题明确拼组前后体积不变是解题关键。
15．3.65厘米
【分析】先根据正方体的容积＝棱长×棱长×棱长，用3×3×3可求出水的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，可推导出高＝长方体的体积÷长÷高，据此用水的体积÷长方体容器的长÷长方体容器的宽，可求出把水倒入长方体容器后水面的高度；最后用长方体容器的高减去水面的高度，即可求出水面离容器口的高度。
【详解】5－3×3×3÷5÷4
＝5－27÷5÷4
＝5－1.35
＝3.65（厘米）
答：水面离容器口还有3.65厘米。
【点睛】解决此类问题的关键是要抓住水的体积不变。把水从正方体容器倒入长方体容器里面，形状发生了变化，但体积与原来相等，
16．60升；0.3立方分米
【分析】（1）先根据进率：1分米＝10厘米，将铁箱的长60厘米、宽50厘米分别换算成6分米、5分米；已知铁箱内水深为2分米，求水的容积，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率：1立方分米＝1升，即可求解。
（2）将6块完全相同的石块浸入铁箱后，水深2.06分米；那么水面上升了（2.06－2）分米，水上升部分的体积等于6块石块的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出6块石块的体积，再除以6，即是每块石块的体积。
【详解】（1）60厘米＝6分米
50厘米＝5分米
6×5×2＝60（立方分米）
60立方分米＝60升
（2）6块石块的体积：
6×5×（2.06－2）
＝6×5×0.06
＝30×0.06
＝1.8（立方分米）
每块石块的体积：
1.8÷6＝0.3（立方分米）
答：铁箱内的水的容积是60升，每块石块的体积是0.3立方分米。
【点睛】（1）本题考查长方体体积公式的运用以及长度单位、体积与容积单位的换算。
（2）本题考查不规则物体体积的求法，把求石块的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。
17．（1）48平方米；（2）104平方米；（3）96吨
【分析】（1）根据长方体的底面积＝长×宽，用8×6即可求出蓄水池的占地面积；
（2）无盖的长方体表面积只有5个面的面积，根据无盖的长方体面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，用8×6＋8×2×2＋6×2×2即可求出抹水泥部分的面积；
（3）根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×6×2即可求出水池的容积，再用乘法求出水池最多能蓄水多少吨。
【详解】（1）8×6＝48（平方米）
答：这个蓄水池的占地面积是48平方米。
（2）8×6＋8×2×2＋6×2×2
＝48＋32＋24
＝104（平方米）
答：抹水泥部分的面积是104平方米。
（3）8×6×2＝96（立方米）
96×1＝96（吨）
答：这个水池最多能蓄水96吨。
【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式、体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。
18．（1）30升
（2）2950平方厘米
（3）0.216厘米
【分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab＋2sh＋2bh，把数据代入公式解答。
（3）根据正方体的体积公式：V＝a3，求出铁块的体积，然后用铁块的容积除以水槽的底面积即可。
【详解】（1）40×25×30
＝1000×30
＝30000（立方厘米）
30000立方厘米＝30升
答：这个水槽的容积是30升。
（2）30÷2＝15（厘米）
40×25＋40×15×2＋25×15×2
＝1000＋1200＋750
＝2950（平方厘米）
答：这时水跟水槽接触部分的面积是2950平方厘米。
（3）6×6×6÷（40×25）
＝36×6÷（40×25）
＝216÷1000
＝0.216（厘米）
答：水面会上升0.216厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式、长方体的表面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
19．（1）125块；（2）45块
【分析】（1）根据分析可知，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用（5×5×5）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数。
（2）在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用（5－2）×（5－2）×5即可求出几个一面涂色的小正方体。
【详解】（1）（5×5×5）÷（1×1×1）
＝125÷1
＝125（块）
答：切得棱长1分米的小正方体共有125块。
（2）（5－2）×（5－2）×5
＝3×3×5
＝45（块）
答：切得棱长1分米的小正方体中一面涂色的有45块。
【点睛】此题主要考查了涂色问题。弄清一面涂色、两面涂色、三面涂色、没有涂色小正方体所处的位置是关键。
20．60盒
【分析】要使纸箱内放这种牙膏的数量最多，则纸箱的长、宽、高除以牙膏包装盒的长、宽或高后尽可能整除，用纸盒箱的长除以牙膏盒的长，求出每行可以装的个数，同理，用纸箱和的宽除以牙膏盒的高，求出行数，利用纸箱盒的高除以牙膏盒的宽，求出层数，再用每行的个数×行数×层数，即可解答。
【详解】30÷15＝2（盒）
24÷4＝6（盒）
15÷3＝5（盒）
2×6×5
＝12×5
＝60（盒）
答：这个纸箱最多能放60盒这种牙膏。
【点睛】解答本题的关键明确纸箱的长、宽、高与牙膏包装盒的长、宽、高尽可能的整除，是解答本题的关键。
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