卷子答案网-一个不只有答案的网站金华十校 2023 年 4 月高三模拟考试预演
数学试题卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分．考试时间 120分钟．试卷总分为 150分．请考生按
规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共 60 分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1． 若向量a x, 2 ，b 1,2 ，且 a b，则 a
A．2 3 B．4 C．3 2 D． 2 5
2． 已知集合M 满足 2,3 M 1,2,3,4,5 ，那么这样的集合 M的个数为
A．6 B．7 C．8 D．9
3 5． 已知 x 1 x 1 a a x a x 20 1 2 a 3x 3 a 4x 4 a 55x a x 66 ，则a3的值为
A． 1 B．0 C．1 D．2
4． 设复数 z i i2 i3 i n ， n N*，则 z 的最大值为
A．1 B． 2 C． 5 D．2
5． 已知等比数列{an}的公比的平方不为 1，bn N
*，则“{ab }是等比数列”是“{b }是等差n n
数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 半径为 R的球O的直径 AB垂直于平面 ，垂足为 B，△BCD是平面 内边长为 R的正三
角形，线段 AC, AD分别与球面交于点M ,N，那么三棱锥 A OMN的体积是
A 4 3 R3 B 4 3． ． R3 C 3． R3 D 3． R3
75 25 75 25
7． 设函数 f x ex ax2 ax（ a R）（ e 2.718 为自然对数的底数），若恰好存在两个正
整数m，n使得 f m 0， f n 0，则实数 a的取值范围是
e2 e4 , e
3 4 3 2
, e e , e e
2 4
A． ,
e
2 12
B． 6 12 C． D． 6 2 2 12
十校高三数学—1（共 4 页）
8． 如图，已知椭圆C1和双曲线C2具有相同的焦点
F1 c,0 ， F2 c, 0 ，A、B、C、D是它们的公共点，
且都在圆 x2 y2 c2上，直线 AB与 x轴交于点 P，
直线 CP与双曲线C2交于点 Q，记直线 AC、AQ的斜
k 15率分别为 1、k2，若椭圆C1的离心率为 ，则 k1 k2
5
第 8题图
的值为
5
A．2 B． C．3 D．4
2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9． 已知 sin cos
1
， 0, π ，则
5
A． sin cos
12
B． sin
12
cos
25 25
C． sin cos
7
D． tan
4
5 3
10．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 1，点 P在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且
总是保持 AP BD1，则
1
A．VP AA1D 3
B．点 P在线段 B1C上
C． BD1 平面 A1C1D
2
D．直线 AP与侧面 BCC1B1所成角的正弦值的范围为 ,1 第 10题图
2
x2 y211．设 F1， F2为椭圆 1的左，右焦点，直线 l过F1交椭圆于 A，B两点，则4 3
A．△ABF2 的周长为定值 8 B．△ABF2 的面积最大值为2 3
C AF 2 AF 2
1 1
． 1 2 的最小值为 8 D．存在直线 l使得△ABF2 的重心为 , 6 4
12．已知各项均为正数的数列 an 满足 a1 1 a ea， n 1n cosa n 1 n Ν ， Sn为其前 n项和，则
A． an an 1 B． an an 1 a2n 1 C． a
1
n D． Sn 2 nn
十校高三数学—2（共 4 页）
非选择题部分（共 90 分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知O 0,0 、 A 3,0 ，直线 l上有且只有一个点 P满足 PA 2 PO ，写出满足条件的其
中一条直线 l的方程 ▲ ．
14．在 2023年 2月金华十校期末调研考试中，学生的数学成绩服从正态分布 X N 98,100 ．
已知参加本次考试的学生约有 9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为 108分，那么他
的数学成绩大约排在该区的名次是 ▲ ．
附：若 X ~ N , 2 ,则 P( X ) 0.6826， P( 2 X 2 ) 0.9544．
15．已知矩形 ABCD在平面 的同一侧，顶点A在平面上，AB 4，BC 2 2，且 AB，BC
与平面 所成的角的大小分别为 30°，45°，则矩形 ABCD与平面 所成角的正切值为 ▲ ．
16．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好
组”．如果 20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为 ▲ ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分 10分)
如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，CA CB 2， AB 2 2，
AA1 3，M为 AB的中点．
(Ⅰ)证明： AC1 //平面 B1CM ；
(Ⅱ)求点 A到平面B1CM 的距离．
第 17题图
18．(本题满分 12分)
S S
S n n
1
记 n为数列 an 的前 n项和，已知 a1 1, an 1 an 2
．
(Ⅰ)求 an 的通项公式；
( aⅡ)令b nn 2 ，记数列 bn 的前 n项和为Tn，试求T2n 1除以 3的余数．
十校高三数学—3（共 4 页）
19．(本题满分 12分)
甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相
同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两
人有 1人进球另一人不进球，进球者得 1分，不进球者得 1分；两人都进球或都不进球，两
人均得 0 1 1分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为 2 ，甲扑到乙踢出球的概率为 2 ，乙扑到甲踢
1
出球的概率 ，且各次踢球互不影响．
3
(Ⅰ)经过 1轮踢球，记甲的得分为 X，求 X的分布列及数学期望；
(Ⅱ)求经过 3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
20．(本题满分 12分)
记△ABC的内角 A， B，C的对边分别为 a， b， c．已知 sin A cosB tanC ．
(Ⅰ)求 2A C ；
( ) c b 2Ⅱ 证明： a ．
5
21．(本题满分 12分)
已知抛物线C1 : x
2 y ，圆C2 : x
2 (y 4)2 1，P是C1 上的一点．
(Ⅰ)设 Q是C2 上的一点，求 PQ 的最小值；
(Ⅱ)过点 P作C2 的两条切线分别交C1 于 A， B两点（异于 P）．若 PA PB ，求点 P的
坐标．
22．(本题满分 12分)
1 1
已知函数 f (x) ln x， g(x) (x )．
2 x
(Ⅰ)证明：当 x≥1时， f (x)≤ g(x)；
(Ⅱ)设 a，b为正实数且 a b．
( i )若 ab ba ，证明： ab e；
( ii )若 a b 1，证明： ab ba a b aa bb ．
十校高三数学—4（共 4 页）金华十校 2023 年 4 月高三模拟考试预演
数学卷评分标准与参考答案
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B C A A D
二、选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的四个选项中，有多
项符合 题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的或不选的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 ACD BC ACD ACD
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13． x 1（答案不唯一，只需满足直线 l与圆 x 1 2 y2 4相切即可）
14．1500 15． 3 16．330
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(Ⅰ)连接 BC1交 B1C于点 N，连接MN，则有 N为 BC1的中点，
M为 AB的中点，所以 AC1 //MN．
又 AC1 平面 B1CM ，MN 平面 B1CM ，所以 AC1 //平面 B1CM ．
(Ⅱ)连接 AB1 ,因为CA CB 2，所以CM AB ．
又因为 AA1 平面 ABC，CM 平面 ABC，所以 AA1 CM ，
AB AA1 A ,所以CM 平面 ABB1A1．又因为MB1 平面 ABB1A1 ,所以CM MB1．
又CA2 CB2 AB2，所以 ABC是等腰直角三角形，
CM 1 AB 2,MB 2 21 MB BB1 11 ,2
S 1 CM MB 22
1 1 1
所以 CMB 1 , S S CA CB 1．△ 1 2 2 △ACM 2 △ACB 2 2
设点 A到平面 B1CM 的距离为d ，因为VA B CM V
1 1
1 B1 ACM ,所以 S d S3 B1CM 3 ACM
AA1 ,
S ACM AA1 3 22
所以 d S . B1CM 11
十校高三数学卷评分标准与参考答案—1（共 5页）
S S 1 S a S 1 S S 1
18 1 n n n 1 n 1 n n 1 n．（ ）由 有 ，即 a ，n 1 an 2 an 1 an 2 an 1 an 2
S
a 1 1又 1 ，故 1a ，1
S 1
所以数列 na
是以 1为首项， 2 为公差的等差数列， n
Sn n 1 n 1
所以 Sa 2 ，即 n an，n 2
S n 2故 n 1 a a
n 2 n 1 n n 1
2 n 1
，两式相减得 n 1 a a ，即 a a ，2 n 1 2 n 2 n 1 2 n
a
所以 n 1
a
n a 1 1，
n 1 n 1
因此 an 的通项公式为 an n .
2 a n 2n n（ ）由（1）及b nn 2 ，有bn 2 ，所以T2n 1 2 2 4 2，
又 4n (3 1)n C0n3
n C1 3n 1n C
n 1 1
n 3 1，
C0 1 n 1因为 n ,Cn , ,Cn 均为正整数，所以存在正整数 k使得 4n 3k 1，
T 22n 2 4n故 2n 1 2 3k 1，所以T2n 1除以 3的余数为 2.
19．（1）记一轮踢球，甲进球为事件 A，乙进球为事件 B，A，B相互独立，
P A 1 1 1 1 1 1 1由题意得：
，P B 1 ，2 3 3 2 2 4
甲的得分 X的可能取值为 1,0,1，
P X 1 P AB P A P B 1 1 1 1 ，
3 4 6
P X 0 P AB P AB P A P B P A P B 1 1 1 1 1 7 1 3 4 3 4 12
P X 1 P AB P A P B 1 1 1 1 ，3 4 4
所以 X的分布列为：
X 1 0 1
1 7 1
p
6 12 4
E X 1 1 0 7 1 1 1 .
6 12 4 12
十校高三数学卷评分标准与参考答案—2（共 5页）
（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲 3轮各得 1分；甲 3轮中有 2轮各
得 1分，1轮得 0分；甲 3轮中有 2轮各得 1分，1轮得 1分；甲 3轮中有 1轮得 1分，2
轮各得 0分，
3
甲 3轮各得 1 1 1分的概率为 P1 ，
4 64
2
3 2 1 7 7甲 轮中有 轮各得 1分，1轮得 0分的概率为 P 22 C3 ，
4 12 64
2
1 1 1
甲 3轮中有 2轮各得 1分，1轮得 1分的概率为 P 23 C3 ，
4 6 32
2
甲 3轮中有 1 1 1 7 49轮得 分，2轮各得 0分的概率为 P4 C
1
3
，4 12 192
1 7 1 49 79
所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率 P .
64 64 32 192 192
十校高三数学卷评分标准与参考答案—3（共 5页）
21 115 23．（2） P(0,0), ( , )
5 5
22．
十校高三数学卷评分标准与参考答案—4（共 5页）
十校高三数学卷评分标准与参考答案—5（共 5页）
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 浙江省金华十校2022-2023高三下学期4月模拟考试预演数学试题（含答案）