卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年上期高一第一次月考试卷
数 学
一、单选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
z a21．已知复数 a a 1 i为纯虚数，则实数 a的值为（ ）
A． 1 B． 0 C． 0或 1 D．1
2．若向量 a与向量b的夹角为60 ， b 4， a 2b a 3b 72，则 a （ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
3．在 ABC中，AB 2，BC 3， ABC 60 ，AD为 BC边上的高，若 AD AB BC，
则 （ ）
1 2 4
A．1 B． C． 3 D．3 3
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：
m / s 1）可以表示为 v log
Q
3 ，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以2 100
3ln2 m / s的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（ ）
ln3
8
A． B．8 C．32 D．64
3
AC
5．在 ABC中, AC 3,向量 AB在 AC上的投影向量为 2 , S△ABC 3,则 BC （ ）| AC |
A．5 B． 2 7 C． 29 D．4 2
6．在 ABC中，若 lgsin A lg cosB lgsinC lg 2，则该三角形的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
π
7．已知函数 f x Asin x A 0, 0,| | 的图象如图所示，图象与 x轴的交点
2
为M
5
, 0
，与 y轴的交点为N，最高点P 1, A ，且满足 NM NP．若将 f x 的图象向
2
2023年上期高一第一次月考数学试卷 第 1页（共 4页）
左平移 1个单位得到的图象对应的函数为 g x ，则 g 0 （ ）
10
A． B．0
2
10
C． D． 10
2
x f x
8．已知函数 f x 的定义域为D，若 x1 D, x2 D ，满足 1 2 a，则称函数 f x 2
具有性质 P a ．已知定义在 0, 1上的函数 f x x2 mx 3 具有性质 P ，则实数m
2
的取值范围是（ ）
A． , 2 B． , 4 C． 2, D． 4,
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
9．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．非零向量 a ,b , c ,满足 a // b，b // c，则 a // c
B．向量 a,b共线的充要条件是存在实数 ，使得b a成立
C．在 ABC中， b =18,c = 20,B = 60°，该三角形有唯一解
D．若 AB 3,1 ， AC m 1,m ， BAC 3为锐角，则实数m的范围是m
4
10．下列说法正确的是（ ）
π π
A．半径为 1，圆心角为 的扇形的面积等于
3 3
B．若正数 a,b满足 a b 1，则 ab
1
4
C．在 ABC中， sin A sin B的充要条件是 A B
D．在 ABC中，若a 4 3，b 12， B 60 ，则 A 30°或 150°
1 2 2
11．直角 ABC中，斜边 AB 2，P为 ABC所在平面内一点，AP sin AB cos AC
2
（其中 R），则（ ）
A． AB AC的取值范围是 0,4 B．点 P经过 ABC的外心
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1
C．点 P所在轨迹的长度为 2 D． PC (PA PB)的取值范围是 ,0 2
x2 1 x ,x 0
12．已知函数 f x 4 ，若方程 f x k k R 有四个不同的实数解，它们
ln x 1 , x 0
从小到大依次记为 x1, x2 , x3 , x4 ，则（ ）
A．0 k
1
B． e x 2
4 3
e
2
C． x1 x2 1 D．0 x
e
1x2x3x4 4
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13.已知向量 AB 2, 1 ， AC t,3 ， AB BC，则 t ______．
14.复数 4 3i与 2 5i 在复平面上对应的向量分别为OA与OB，则向量 AB对应的复数是_.
15.设函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，记 g(x) f (x) x 2 ，且函数 g(x)在区间[0, )上
是增函数，则不等式 f (x 2) f (2) x2 4x的解集为______．
16.在锐角 ABC中，内角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c，且
2csin B A 2asin AcosB bsin 2A c，则 的取值范围是______．
a
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10分）已知 e1 ，e2 为单位向量，且 e1 ，e2 的夹角为 120°，向量 a 2e1 e2 ，
b e2 e1 ．
（1）求 a b；
（2）求 a与b的夹角．
18．（本小题满分 12 分）在 ABC中，c 2，C 30 .再从条件①、条件②、条件③这
三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（1）a的值；
（2） ABC的面积.条件①：b 2 3；条件②：2b 3a；条件③： A 45 .注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2023年上期高一第一次月考数学试卷 第 3页（共 4页）
19．（本小题满分 12分）在平面直角坐标系 xOy中，已知向量m sin x,1 cos x ，
n sin x, cos x x 0, 5π ， ．
6
（1）若m∥n，求 x的值；
（2）若函数 f x m n a cos x，且函数 f x 没有最值，求实数 a的取值范围．
f (x) 2 2 sin x x x20 2．（本小题满分 12 分）已知函数 cos 2 2 cos 2．
2 2 2
（1）求函数 f (x)在区间[0, ]上的单调递减区间；
（2）在 ABC中，A,B,C所对应的边为 a,b,c，且 f (A) 2,a 2 2，求 ABC面积的最大．
1
21．（本小题满分 12分）如图，在菱形 ABCD中， BE BC,CF 2FD，
2
（1）若 AB 4, BAD 60 求 AC CF；
（2）若菱形 ABCD的边长为6，求 AE EF的取值范围.
22．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) Asin( x )（其中 A 0， 0， | | ）的
2
图象与 x轴交于 A，B两点，A，B两点的最小距离为 ，且该函数的图象上的一个最高点
2
的坐标为 , 2
12
.
（1）求函数 f x 的解析式；
| f (x) |
（2）求证：存在大于 的正实数 x0，使得不等式 2 3在区间 x , e 有解.（其中3 ln x 0
e为自然对数的底数）.
2023年上期高一第一次月考数学试卷 第 4页（共 4页）2023 年上期高一第一次月考数学试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D D C A D D AD BC ABD ACD
13. 4 14. 6 8i
15. , 4 0, 16. 1，2
3．D【详解】如图，因为 AB 2,B 60 ，而 AD为高，故 BD 1，
1
又 AD AB BD AB
1
BC，故 AB BC AB BC，
3 3
1 4
而 AB,BC不共线，故 1, ，所以 ，故选：D．
3 3
1 Q 1 Q
4．D【详解】因为 v log ，所以当鲑鱼静止时， v 1
2 3 100 1
0m / s ，即 log
2 3
0，
100
Q
化简得 1 1，所以Q
100 1
100 ；
3ln2
当 v2 m / s
1 Q 3ln2 ln8
，即 log 2
ln3 2 3
log 8，
100 ln3 ln3 3
log Q2
Q
2log 8 log 64 Q2 64 Q 6400 . 2
6400
化简得 3 3 3 ，所以 ，所以 2 64Q 100 .故选:D.100 100 1
AC
5．C【详解】因为向量 AB在 AC上的投影向量为 2 ，故 BAC为钝角，| AC |
如图，过 B作 AC的垂线，垂足为 E，则 E在CA的延长线上，
AC
而向量 AB在 AC上的投影向量为 AB cos BAC
AC
AE ，
AC AC
1
故 AE =2，而 S△ABC 3，故 BE 3 3，故 BE =2，2
故 BC 25+4= 29 ，故选：C．
6．A【详解】 lg sin A lg cos B lg sinC lg 2
sin A
， 2 ,
cos B sinC
a c sin A a , cos B a由正弦定理可得 ， ，
sin A sinC sinC c 2c
a2 c2 b2 a
cosB ，整理得 c2 b2 ,c b，
2ac 2c
∴ ABC的形状是等腰三角形，故选 A.
T 5 3
7．D【详解】解：由题知，函数 f x 的周期T满足 x
4 M
xP 1 ，解得T 6，2 2
第 1 页
2π π
所以 ，
6 3
5 π 5
由图象与 x轴的交点为M , 0 得 kπ(k Z)，
2 3 2
π π π A
因为 | |
π f x Asin x ，所以 ，即 ，所以，f x 图象与 y轴的交点为 N 0,2 6 3 6 2 ，
NM NP 5 , A 1, ANM NP 5 A
2
因为 ，所以 0，解得2 2 2 2 4 A 10
（负舍），
所以 f x 10 sin π π x ，所以若将 f x 的图象向左平移 1 个单位得到的图象对应的函
3 6
g x g(x) 10 sin π x π 数为 10 cos
πx ，所以 g(0) 10 .故选：D
3 2 3
1
8．D【详解】由题意得定义在 0, 上的函数 f x x2 mx 3具有性质 P 2 ，
即 x1 0, , x2 0,
x1 f x，满足 2 1 ，
2 2
即 x1 0, , x2 0, ， f x2 1 x1 恒成立；
记函数 f x x2 mx 3， x 0, 的值域为 M，1 x1 ( ,1) ，
则由题意得 ( ,1) M ,
m
当 0，即m 0 2时， f x x mx 3在 x 0, 单调递减，
2
则 f x f (0) 3，即M ( , 3) ,此时不满足 ( ,1) M，舍去；
m 2 m
当 0，即m 0时， f x x mx 3, x 0, 在 x 时取得最大值，
2 2
2 2 2
即 f x m ( )2 m m m 3 3 ，即M ( , 3] ,max 2 2 4 4
2
要满足 ( ,1) M m，需 3 1，解得m 4或m 4 ，
4
而m 0，故m 4，即 m的取值范围为 4, ，故选：D
11．ABD 2【详解】由 AB AC AC ，又斜边 AB 2 ，则 AC 0, 2 ，故
AB AC 0, 4 ，A 正确；
若O为 AB中点，则 AO 1 AB，
2
故 AP sin2 AO cos2 AC，又 sin2 cos2 1，
所以O,P,C共线，故 P在线段OC上，轨迹长为 1，又O是 ABC的外心，B 正确，C 错误；
由上 PA PB 2PO，则 PC (PA PB) 2PC PO 2 | PC || PO | ，
第 2 页
| PC | | PO | |OC | 1 | PC || PO | (| PC | | PO | 1
1
又 ，则 )2 ，当且仅当 | PC | | PO | 2 等号成立，2 4
所以 PC (PA PB) 2 | PC || PO | [
1
,0]，D 正确.故选：ABD
2
12 2
1 1
．ACD【详解】当 x 0 时， f x x x ，易得 f x 开口向上，对称轴为 x ，
4 2
f x 1 , 1 1 所以 在 上单调递减，在 ,0 上单调递增，且 f 0，
2 2 2
1 1
当 x 0 2时， y x x ，注意此时 f x 在 x 0处取不到函数值；
4 4
当0 x e时， ln x 1，则 ln x 1 0，所以 f x 1 ln x log 1 x 1 ，
e
易得 f x 的图像是 y log1 x的图像向上平移 1 个单位得到的，
e
当 x e时， y log 1 x 1 0 ，注意此时 f x 在 x e处取不到函数值；
e
当 x e时， ln x 1，则 ln x 1 0，所以 f x ln x 1，
易得 f x 的图像是 y ln x的图像向下平移 1 个单位得到的，且
f x f e 0 ；
综上，画出 f x 与 y k在R 上的图像，如图，
对于 A，因为 f x 与 y k的图像的交点个数即为方程
f x k k R 的解的个数，
又 f x k k R 1有四个不同的实数解，所以0 k ，故 A 正确；
4
对于 B，结合图像可知 x3 e，故 B 错误；
对于 C，结合图像可知 x1,k 与 x2 ,k 关于 x
1
对称，所以 x1 x2 1，故 C 正确；2
对于 D，因为1 ln x3 ln x4 1
2
，所以 ln x3x4 2，所以 x3x4 e ，
由选项 C 知 x1 x2 1，又 x1 0, x2 0，则 x1 x2 1，
2
x x 所以0 x1x2 x x 1
2 1
1 2 ，
2
4
当且仅当 x1 x2且 x1 x2 1，即 x
1
1 x2 时，等号成立，2
第 3 页
1 e2
易知 x1 x2 ，所以 0 x1x2 ，所以0 x1x2x3x4 ，故 D 正确.4 4
故选：ACD
15． ∞,-4 0, ∞ 2【详解】解：因为 g x f x x ，且 f (x) 是定义在 R上的偶函数，
则 g x f x x 2 f x x2 g x ，∴函数 g x 为偶函数，
原不等式 f (x 2) f (2) x2 4x 2可化为 f x 2 x 2 f 2 4，即 g x 2 g 2 ，
又因为函数 g(x)在区间[0, ) 上是增函数，则 x 2 2，解之得： x< 4或 x 0 ，
故答案为： ∞,-4 0, ∞ .
16． 1,2 【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
2sinC sin B A 2sin Asin AcosB sin Bsin 2A
2sin Asin AcosB 2sin Bsin Acos A 2sin A sin AcosB sin Bcos A
2sin Asin A B ，
因为0
2
可得 sin B A sin A，
0 A π 0 B π π π因为 ， ，所以 B A ，所以 B 2A，C π 3A，
2 2 2 2
π π π π
由0 B 2A ，0 C π 3A 可得 A ，
2 2 6 4
2 1
所以 cos A 3 ， cos2 A
3
，
2 2 2 4
c sinC sin 3A sin 2A A sin 2Acos A cos 2Asin A
由正弦定理得
a sin A sin A sin A sin A
2cos2 A cos 2A 4cos2 A 1 1,2 .故答案为： 1,2 .
17．【详解】（1）解：∵ e1 ， e2 为单位向量，且 e1 ，e2 的夹角为 120°，
∴ e1 e2 1 1 cos120
1
．
2
a b 2e e 1 3∴ 1 2 e2 e1 2e1 e2 2 1 e2 e1 1 2 1 ．.................................5 分2 2
（2）设 a与b的夹角为 ．
第 4 页
∵ a a2 22e1 e2 4 1 4 1 3，2
b b 2 2 e2 e1 1 1 2 1 3 ，2
cos a b 3 1 1∴ a
b 2 3 3 2 ．
又∵ 0, 2 ，∴ ，
3
2
∴ a与b的夹角为 3 ．.............................................................................................................10 分
18．【详解】（1）选条件①：b 2 3 ，
在 ABC中，由余弦定理得， c2 a2 b2 2ab cosC ，
4 a2 12 2a 2 3 cos30 ，即 a2 6a 8 0 .
解得 a 2或 a 4，
满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；
3
选条件②： 2b 3a即 b a，
2
在 ABC中，由余弦定理得， c2 a2 b2 2ab cosC ，
4 3 a2 a2 2a 3 a cos30 ，解得 a 4；
4 2
选条件③： A 45 ，
a c在 ABC中，由正弦定理得， ，
sin A sinC
csin A 2
2
所以 a 21 2 2 ；........................................................................................6 分sinC
2
3
（2）选条件②：由题可知 a 4， b a 2 3 ，
2
1
所以 ABC的面积 S ABC ab sinC
1
4 2 3 sin 30 2 3
2 2 ；
选条件③： A 45 ，则 B 180 45 30 105 ， a 2 2 ，
所以 ABC的面积
S 1
ABC acsin B
1
2 2 2 sin105 2 3 1 2 2
2 2 2
3 12 2 ..................................12 分
19．【详解】（1） m sin x,1 cos x ， n sin x, cos x ，m∥n，
第 5 页
sin xcos x sin x 1 cos x x 0, 5π．又 ， sin x 0．
6
cos x 1 ， x
π
．..........................................................................................................5 分
2 3
（2） f x m n a cos x sin2 x cos x cos2 x a cos x 2cos2 x a 1 cos x 1 ，
x 0, 5π cos x 3
， ,1 ． 6 2
令 t cos x 2
3
，则 f x g t 2t a 1 t 1， t ,12 ．
3
函数 f x 没有最值等价于函数 g t 在区间 ,1 上无最值．
2
a 1
1 a 1 3或 ． 实数 a的取值范围为 , 1 2 3 3, ．...................12 分4 4 2
20．【详解】（1）
f (x) 2 2 sin x cos x 2 2 cos2 x 2 2 sin x 2(1 cos x) 2
2 2 2
2 sin x 2 cos x 2sin(x )
4
x [0, ] x 5 ∵ ，∴ [ , ]
4 4 4
∵ f (x)在区间[0, ]上单调递减，
x , 5 x
,
4 2 4 4
∴ f x 在区间 0, 上的单调递减区间为 ,
..................................................................5 分 4
（2）由（1）知： f (A) 2sin(A ) 2 ，即： sin(A ) 1
4 4
又∵ A (0, ) ∴ A
4
S 1∴ △ABC bc sinA
2
bc
2 4
b2 c2 8 2
方法 1：由余弦定理得： cos A ，
2bc 2
∴b2 c2 8 2bc ①
又∵b2 c2 2bc，当且仅当 b=c时去等号. ②
由①②得：bc 8 4 2 ，当且仅当 b=c时去等号.
第 6 页
∴△ABC 2的面积最大值为 S (8 4 2) 2 2 2 ；
4
2 2 b c
方法 2 4：由正弦定理得：
sin sin B sinC
，
4
解得：b 4sinB ， c 4sinC ，则
bc 16sinB sinC 16sin(A C )sinC 16sin( C )sinC 8 2(sin C2 sinC cosC )
4
8 2(1 cos 2C 1 sin 2C) 4 2(sin 2C cos 2C 1) 8sin(2C ) 4 2
2 2 4
A 0 C 3 2C 5 ∵ ∴ ，∴
4 4 4 4 4
2C 3 ∴当 时，即：C 时， sin(2C
) 取得最大值为 1，
4 2 8 4
∴ (bc)max 8 4 2 ，
2
∴ Smax (8 4 2) 2 2 2 ，4
∴△ABC的面积最大值为 2 2 2 ..........................................................................................12 分
21.【详解】(1) 在菱形 ABCD中， AC AB AD，且 AB DC CD， AB AD 4
又 CF 2FD, CF 2 CD 2 AB,
3 3
AC CF AB AD 2 2 2 2 AB AB AB AD
3 3 3
2 2
AB 2 AB AD cos60 2 16 2 4 4 1 16.
3 3 3 3 2
.....................................................................................................................................................5 分
(2) （i） 菱形 ABCD， AB DC, AD BC，则
EF CF 2 1 2 1 CE DC CB AB AD
3 2 3 2
AE AB BE AB 1 AD
2
2 2
AE EF (AB 1 AD) ( 2 AB 1 AD) 2 AB 1 AB AD 1 AD
2 3 2 3 6 4
2 1
36 AB AD cos AB, AD 1 36
3 6 4
15 6cos AB, AD
AB, AD (0, )， cos AB, AD ( 1,1)
AE EF 的取值范围是： ( 21, 9) .............................................................................12 分
第 7 页
1
22．【详解】解：（1）由题意可知， A 2， T ，故函数 f x 的周期为 ，故 2，
2 2
故 f (x) 2sin(2x ) ，
f 2sin 2 2
，则 2k ,k Z
，即 2k ,k Z，
12 12 6 2 3
| | ， ， f (x) 2sin
2x
2 ；........................................................................4 分3 3
1
（2）证明：因为 x0 , e ，故当 x x0 , e 时， 0 ln x ，
3 2
原不等式可化为 | f (x) | 2 3 ln x，
0 ln x 1 1又因为 ，则 2 3 2 3 ln x，
2 2
要使得 | f (x) | 2 3 ln x在 x0 , e 有解，只需 | f (x) | 2 3 1 在区间2 x0 , e 有解，
3
代入得： sin 2x ，
3 2
sin 2x 3 当 解得，即 x k ,k
， k Z时，
3 2 6
此时与区间 k ,k 与区间 x0 , e 的交集为空集，
6
sin 2x 3
当 ，即 x
k ,k
， k Z时，
3 2 2 3
x 2 令 k 1得 , sin 2x 3 时，满足 ，
2 3 3 2
又因为 e ，所以 x0 , ，原不等式在区间 x0 , e 有解.................................12 分2 3 2
第 8 页
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