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河南省新未来2022-2023学年高二下学期3月联考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（ ）
A.2 B.4 C.2 D.4
2.已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.若前项和为的等差数列满足，则（ ）
A.46 B.48 C.50 D.52
4.1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年 1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归，这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你预测它在本世纪回归的年份约为（ ）
A.2042年 B.2062年 C.2082年 D.2092年
5.已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（ ）
A.122 B.123 C.124 D.125
8.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在等比数列中，已知，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数有两个极值点，且，则（ ）
A. B.
C. D.的图象关于点中心对称
11.已知关于的方程的四个根是公差为2的等差数列的前四项，为数列的前项和，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.存在使得是函数的极值点
B.当时，存在两个极值点
C.“”是“为减函数”的充要条件
D.存在使得函数有且仅有两个零点
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列是等差数列，，则__________.
14.已知函数是可导函数，且，则__________.
15.已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为__________.
16.已知函数，若恒成立，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数的图象在点处的切线过坐标原点.
（1）求实数的值；
（2）若真线与抛物线相切，求抛物线的对称轴方程.
18.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数单调递增，求实数的取值范围；
（2）若恰有两个零点，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知等差数列的前n项和是，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若成立，求正整数m，k的值.
21.（本小题满分12分）
已知数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，证明：.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，若对，恒成立，求的最小值.
数学
参考答案 提示及评分细则
1.【答案】D
【解析】因为，所以与的等比中项是\pm4，故选D.
2.【答案】D
【解析】.故选D.
3.【答案】C
【解析】根据等差中项可知，由，有，有，有，可得，可得.故选C.
4.【答案】B
【解析】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列，
则等差数列的通项公式为，
则.
则可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年.故选B.
5.【答案】A
【解析】由，
得，
因为对任意的，不等式恒成立，所以，解得或.故选.
6.【答案】B
【解析】令，函数的定义域为，
因为，
所以，
故，
故在上单调递减，
又因为，所以，
不等式可化为，可化为，
所以，所以的解集为，故选B.
7.【答案】A
【解析】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，得，所以，将这个式子左右两边分别相加可得，所以.所以，可得.故选A.
8.【答案】B
【解析】设，则有，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，即有.
令，则，
所以当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，即，故，
令，有，可得函数单调递增，故有，可得，可得，故，综上所述，.故选B.
9.【答案】BD
【解析】设等比数列的公比为，由，有，可得，可得，故错误，B正确；
因为，所以错误；
因为，所以D正确.故选BD.
10.【答案】BCD
【解析】由题可得有两个不相等的实数根，所以，所以错误；根据题意，为的两个根，所以正确；
因为，且为的两个根，所以由得或，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以成立，C正确；
因为为奇函数，所以关于对称，所以关于对称，D正确，故选BCD.
11.【答案】BCD
【解析】由等差数列的性质可得，又由，可得，数列的通项公式为，可得，故选项不正确，选项C，D正确；又由一元二次方程的根与系数的关系，有，故选项正确.故选BCD.
12.【答案】BC
【解析】由题可知函数的定义域为，
对于选项，若是函数的一个极值点，有，可得，与矛盾，故选项错误；
①当时，，记一元二次方程的两个根分别为，有，可得，可得函数的减区间为，增区间为.有，此时函数没有零点；
②当时，，可得，此时函数单调递减，可得此时函数最多只有一个零点；
③当时，，有，可得，可得函数的减区间为，增区间为.有，令，有，令可得，故函数的减区间为，增区间为，有0.故有，可得此时函数最多只有一个零点，由上知选项是正确的.故选.
13.【答案】
【解析】因为数列是等差数列，，所以，可得.
14.【答案】
【解析】因为函数是可导函数，且，根据导数的定义，有.
15.【答案】-8
【解析】设的公比为，有，当且仅当时取等号.故的最小值为-8.
16.【答案】
【解析】由，可得不等式恒成立等价于不等式）（*）恒成立.由（当且仅当时取等号），①当时，由，可得不等式恒成立；②当且时，式可化为，令，有.令，有，令，可得，可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，有，当且仅当时取等号，可得实数的取值范围为.
17.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，有，
可得曲线在点处的切线方程为，整理为，
代入原点，有，可得，
故实数的值为1；
（2）由（1）可知直线的方程为，
联立方程消去后整理为，
有，解得，
可得抛物线的方程为，故抛物线的对称轴方程为
18.【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，
两式相减，得，由递推式可知，，
所以，即数列为等比数列，首项为4，公比为4，
故等比数列的通项公式为；
（2）由（1）知
则.
19.【答案】（1）（2）
【解析】（1），
若函数单调递增，可得恒成立，
可化为，
由函数的值域为，可得；
（2）①当时，，此时函数单调递增，不可能有两个零点；
②当时，令，可得，可得函数的减区间为，增区间为，，
若函数恰有两个零点，只需，可得，
令，有，有，可得函数单调递增，有（当且仅当时取等号），可得当时，不等式成立.
故当且时，有，可得，
又由，可得此时函数有且仅有两个零点.
由上知，若恰有两个零点，实数的取值范围为.
20.【答案】（1）（2），.
【解析】（1）解：设等差数列的公差为d，
由题意有，
解得，，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由，
有，可得，
又由，可得，
可得.
①当时，可得由为正整数，不合题意；
②当时，可得满足题意，
③当时，可得
满足题意，由上知或.
21.【答案】（1）（2）（3）略
【解析】（1）由，有，
可得，
可化为，有，
又由，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，
有，可得；
（2）由（1）可得，.
有，
等式两边同乘2，有，
两式作差，有，
有，
有，
可得；
（3）证明：，
①当时，，
可得；
②当时，，
可得；
③当时，，
有，
可得，可得，
由上知.
22.【答案】（1）函数的极小值为，极大值为（2）
【解析】（1）若，可得，
有，
令，可得，
故函数的增区间为，减区间为，
函数的极小值为，
极大值为；
（2）令，
有，
由函数单调递增及，
可知存在，使得，即
令得，可得函数的减区间为，增区间为，
可得
由恒成立，有，可得，
有，
可得
令，
有，
令，可得，可知函数的减区间为，增区间为，有，
故的最小值为.