卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
2．等差数列的公差不为零，其前项和为，若，则的值为（ ）.
A．15 B．20 C．25 D．40
3．在数列中，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放，个坛子，一共堆了层，则酒坛的总数．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（ ）
A．55 B．165 C．220 D．286
5．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至 大寒 雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
6．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知均为等差数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0 B．37
C．100 D．－37
9．已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
10．设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ）
A． B． C． D．
11．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
12．数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
13．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（ ）．
A．10层 B．11层 C．12层 D．13层
14．在数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
15．若等差数列的首项是，且从第项开始大于，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知是公差为的等差数列，若，则________．
17．已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.
18．已知等差数列的前n项和为，且，，则的最小值是______．
三、解答题
19．已知数列的前项和为且．
（1）求出它的通项公式；
（2）求使得最小时的值.
20．对于数列，定义为数列的差分数列，其中．如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列．
（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；
（2）已知数列为差分增数列，且，．若，求非零自然数k的最大值；
（3）已知项数为2k的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：．
21．①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
问题：等差数列前n项和为，若___________，是否存在，使得且？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
22．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，.
（1）若等差数列满足，求，的通项公式；
（2）若___________，求数列的前项和.
在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（2）问中，并对其求解.
注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】
由题知，，解得，∴，故选A．
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
2．B
将已知条件转化为的形式，由此求得的关系式，进而求得的值.
【详解】
因为等差数列的公差不为零，其前项和为，
又，
所以.
故选：B
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
3．B
由递推公式取倒数得到是等差数列，先求，再求.
【详解】
∵，∴，即
∴是以公差的等差数列.
∴，∴
故选:B
求数列通项公式的方法：
（1）公式法；（2）累加（乘）法；（3）由递推公式求通项公式；（4）由求.
4．C
根据题目中已给模型类比和联想，得出第一层、第二层、第三层、……、第十层的酒坛数，然后即可求解．
【详解】
每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1，
第二层的酒坛数为，第三层的酒坛数为，
第四层的酒坛数为，…，由此规律，
最下面一层的酒坛数为，
所以酒坛的总数为．
故选：C.
5．D
根据题意转化为等差数列，求首项.
【详解】
设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，
，解得：，，
所以冬至的日影长为尺.
故选：D
6．D
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】
，，，，.
，.
故选：D.
本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．C
根据两个等差数列相加后仍为等差数列，然后由等差数列的通项公式求解．
【详解】
数列是以为首项，为公差的等差数列
故选：C．
8．C
根据等差数列的定义可得数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.由已知求得首项和公差，可得选项.
【详解】
设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
故选：C.
9．B
利用等差数列的通项公式表示已知条件，解方程即可求解.
【详解】
，且，
整理可得，；
；
.
故选：B．
10．B
本题首先可令，得出，然后通过等差数列的性质得出以及，代入中，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等差数列前项和，是等差数列前项和，
所以，，
则，，
故选：B.
关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前项和公式以及等差中项的应用，若等差数列前项和为，则，当时，，考查化归与转化思想，是中档题.
11．C
由已知为等差数列,设首项为和公差为,则用与分别表示已知等式和所求式子，从而可得结果．
【详解】
为等差数列且,
,
故选: C.
12．D
当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.
【详解】
当为正奇数时，由题意可得，，
两式相加得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相减得.
因此，数列的前项和为.
故选：D.
关键点点睛：本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查学生的推理能力与运算求解能力，分类讨论思想，属于中等题.
13．C
设该数列为，塔群共有n层，则数列为1，3，3，5，5，7，…，该数列从第5项开始成等差数列，根据题意结合等差数求和公式可得，从而可求出的值
【详解】
根据题意，设该数列为，塔群共有n层，
即数列有n项，数列为1，3，3，5，5，7，…，
则．
该数列从第5项开始成等差数列，且，，则其公差，
则有，
又，则有，
即，解得或（舍去），则．
故选：C．
14．A
对变形可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，即可得解.
【详解】
在中，，
由可得，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以，
故选：A.
15．D
直接写出等差数列的通项公式，由且联立不等式组求得公差的取值范围．
【详解】
解：等差数列的首项是，
则等差数列的通项公式为，
要使从第10项开始为正，
则由，解得：．
故选：．
16．
利用等差数列的下标和性质以及通项公式代入计算，可求解得公差.
【详解】
因为，得，即，.
故答案为：.
17．
由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】
解：由,得，则，
由得，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
当时，
，
所以，
当时，也适合上式，
所以，
故答案为：.
18．
根据给定条件求出等差数列的首项、公差，探求数列的单调性即可计算作答.
【详解】
设等差数列的公差为d，由得，解得，
因此，，令，解得，
于是得数列是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正，
所以或最小，最小值为．
故答案为：
19．（1）；（2）或8.
（1）利用“当时，；当时，”即可得出；
（2）配方利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
（1）当时，；
当时，．
当时，上式成立．
．
（2）．
当或8时，取得最小值．
本题考查了利用“当时，；当时，”求数列的通项公式、配方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．（1）；（2）65；（3）证明见解析．
（1）利用差分增数列的定义可得关于的不等式组，即可求解；
（2）根据△△，，，可得△△，△，△，，△，，从而可得，即可求解；
（3）利用反证法推出矛盾，即可得证．
【详解】
（1）数列1，2，4，，16，24的差分数列为1，2，，，8，
由题意可得，解得，
故实数的取值范围是．
（2）由题意，△，△，
因为数列为差分增数列，所以对任意的，都有△△，
所以△△，△，同理，△，，△，，
所以当时，△△△，
所以，
解得，
所以非零自然数的最大值为65．
（3）证明：假设，
由题意知，2，3，，，
因为项数为的数列所有项的和等于，
所以，
即，
所以，
因为数列，2，3，，是差分增数列，
所以，
所以，因此，
所以对任意的，，都有，即，
所以，
所以与矛盾，
故假设不成立，所以．
关键点睛：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.
21．答案见解析
根据题意，可得，，设等差数列首项为，公差为，若选择条件①：根据条件求得，代入公式求得，令，求得n的范围，结合条件，即可求得k值；若选择条件②：根据条件求得，代入公式求得，令，求得n的范围，结合条件，即可求得k值；若选择条件③：根据条件求得，代入公式求得，易知恒成立，所以不存在满足条件的.
【详解】
解：若存在，使得且，则，.设等差数列首项为，公差为.
若选择条件①：
由，得，解得.
所以.
令，得，所以当时，满足，，
所以k=5满足题意.
若选择条件②：
由，得，解得.
所以.
由，得.所以当时，满足，.
所以k=5满足题意.
若选择条件③：
由，得，解得.
所以.
易知恒成立，
所以不存在满足条件的.
关键点点睛：解题的关键是熟练掌握等差数列通项、求和公式，并灵活应用，并选择合适的条件求解，考查计算求值的能力，属基础题.
22．（1），；（2）答案见解析.
（1）利用等比数列的通项公式与求和公式求出和，得到数列的通项公式，再求出对应等差数列的前两项和公差，即可得数列的通项公式；（2）根据已知条件进行整理，得出数列的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解.
【详解】
（1）设数列的公比为，则.
，
，解得：或，
又因为各项均为正数，
所以，
又，
，
代入得，，
，
则，，
设数列的公差为，
∴，
则.
（2）选择①：
，，
则，
.
选择②：
，，
则，
，
.
选择③：
由（1）知，
.
，
.
本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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