卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第三册 7.5 正态分布 同步练习
一、单选题
1．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取（ ）
A．10份 B．15份 C．20份 D．30份
2．已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
4．学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若表示选到高二（1）班的候选人的人数，则（ ）
A． B． C． D．
5．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．2
6．正态分布概念是由德国数学家和天文学家在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量近似服从，若，则
A． B． C． D．
7．2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于（ ）
A．10 B．100 C． D．
9．《易·系辞上》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说，河图、洛书是中华文化、易经八卦和阴阳五行术数之源．如图所示的河图中，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量，若，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.7
11．设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为，．若，，则在第一轮竞赛中他们获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（ ）.（参考数据：，，）
A．208 B．206 C．204 D．202
15．下列说法正确的个数是
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
16．已知随机变量，若，则______．
17．若随机变量，且，则______．
18．若随机变量，且，写出一个符合条件的___________.
三、解答题
19．2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据：，，．
20．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作区间，记作，记作，记作.例如：10点04分，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代表，已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数结果保留到整数.
参考数据：若，则①；②；③.
21．年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.
(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：；若随机变量服从正态分布，则，，.
22．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度（单位：）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．
（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；
（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度（）服从正态分布，其中近似为样本平均数．记为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间的数量，求；
（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）
附：若，则，．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据正态分布概率密度曲线的图像与性质，先求得，所以，利用概率即可得解.
【详解】
可知正态曲线的对称轴为，
得，
，
应从100分以上的试卷中抽取.
故选：C
2．B
利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解.
【详解】
因为随机变量，则.
故选：B.
3．A
利用正态分布的对称性和概率的性质即可
【详解】
由，且
则有：
根据正态分布的对称性可知：
故选：A
4．D
随机变量服从超几何分布，根据超几何分布期望公式即可求解.
【详解】
法一：（公式）由题意得随机变量，
则．
法二：，分布列如下
,
0 1 2
．
故选：D.
本题考查超几何分布的期望，要掌握常用的随机变量的分布列和期望，减少计算量，属于基础题.
5．B
根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.
【详解】
因为随机变量服从正态分布，，
根据正态分布的特征，可得，解得.
故选：B．
方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间面积为1.
6．A
利用正态分布的对称性求概率．
【详解】
，
故选：.
7．D
根据正态曲线的对称性结合题意求出每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案
【详解】
根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，
所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率．
故选：D．
8．C
利用正态密度曲线上的最高点坐标，列出方程求出，代入该随机变量的方差求解即可．
【详解】
由正态密度曲线上的最高点为，知，所以D(X)=σ2=.
故选：C
9．C
分析可知个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，
任取个数中有个阳数的概率，
任取个数中有个阳数的概率，
故这个数中至少有个阳数的概率，
故选：C．
10．A
由随机变量，易得，然后结合，利用正态分布的对称性求解.
【详解】
∵随机变量，
，
又，
，
根据正态分布的对称性可得，
故选：A．
11．A
利用二项分布求解即可
【详解】
解得
故选：A
12．B
先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.
【详解】
由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，
故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.
故选：B.
本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.
13．A
根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法公式，相互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】
依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有先后之分，
所以所求概率为.
故选：A
14．D
由正态分布，求得平均值和标准差，继而求得成绩在90分以上（含90分）的学生的概率，可得选项.
【详解】
由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，
则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，
所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得，
故选：D.
15．C
利用独立重复试验的概念和二项分布的定义逐一分析判断每一个命题的真假即得解.
【详解】
①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误.
故选：C
本题主要考查独立重复试验和二项分布，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16．
根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出.
【详解】
因为，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，
所以.
故答案为：
关键点点睛：本题的关键是充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为1.
17．##
根据正态分布曲线的对称性可求得，由此可求得结果.
【详解】
，，
．
故答案为：.
18．（答案不唯一）
由二项分布的期望公式可得，写出一个符合条件的值即可.
【详解】
因为随机变量，所以，
所以一个符合条件的，
故答案为：（答案不唯一）
19．（1）；平均分为71分；（2）；（3）．
（1）由频率和为1得，根据公式计算平均数即可；
（2）成绩在，内的频率分别为0.25，0.1，可得成绩在内的有5人，成绩在内的有2人，即可求相应概率；
（3）根据正态分布概率公式即可求解.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可得，，
解得．
这组样本数据的平均数为
．
所以估计该校此次竞赛成绩的平均分为71分；
（2）自频率分布直方图可知，成绩在，内的频率分别为0.25，0.1．
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的7人，成绩在内的有5人，成绩在内的有2人．
记事件这3人至少有1人成绩在内
则；
（3）由题意知，样本方差，故，
所以竞赛成绩
该校竞赛的及格率．
20．（1）平均值为，即10点04分；（2）分布列见解析，数学期望为；（3）辆.
（1）根据平均数的计算方法计算出平均数.
（2）根据超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列并计算出数学期望.
（3）计算出和，根据正态分布的知识计算出通过的车辆数.
【详解】
（1）这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分.
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，
在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，
即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以.
（3）由（1）可得，
，
所以，
估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，
由，得.
所以，估计在这一时间段内通过的车辆数为(辆).
本小题主要考查频率分布直方图、超几何分布、正态分布.属于中档题.
21．(1)64
(2)答案见解析
(3)819
（1）由频率分布直方图即能求出这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，求出其结果为4，从而的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（3）求出，，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，，即能估计在之间通过的车辆数．
(1)
这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
．
(2)
由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，
在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，
即，
所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
(3)
由（1）得，
由已知，所以，
估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，得：
，
所以估计在在之间通过的车辆数为．
22．（1）；（2）；（3）．
（1）根据直方图中各矩形的面积之和为，可求得抽取树木高度为的频率，再运用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得样本的平均值；
（2）根据（1）估计得，由正态分布密度曲线的性质求得概率，
依题意知，从而根据二项分布的期望公式可得答案．
（3）根据独立重复实验的概率公式可求得答案．
【详解】
（1）抽取树木高度为的频率为，
所以样本均值
．
（2）由第一问估计，
，
一棵树的高度位于区间的概率为0.1359，
依题意知，所以．
（3）记移植五棵树中成活了棵．
．
方法点睛：本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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