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金成实验学校2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学
答卷注意事项：
1．学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。
2．填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。
3．答题时字迹要清楚、工整．
4．本卷共22小题，总分为150分。
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知向量，则与共线的单位向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
3．若，且与的夹角为针角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若，则k的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
5．在四面体中，点在上，且为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6．已知空间四点共面，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．10 D．11
7．四棱柱的底面为矩形，，则的长为（ ）
A． B．46 C． D．32
8．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
10．下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是与重合，与重合
11．已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
12．在正方体中，，则（ ）
A．为针角 B．
C．平面 D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．若空间中两点分别为，则的值为________．
14．已知，若，则________．
15．在长方体中，，点E在棱上移动，若，则点E到的距离为________．
16．已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标为________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知平面向量，求：
（1）向量的坐标；
（2）向量与的夹角．
18．已知空间中的三点，设．
（1）若，且，求向量；
（2）已知向量与互相垂直，求的值；
（3）求的面积．
19．如图，在长方体中．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图四棱锥中，底面是正方形，，且为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．如图，四棱锥中，平面底面是等边三角形，底面为梯形，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求到平面的距离．
22．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，是的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
金成实验学校2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学参考答案
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
参考答案 C C B D B D C B
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
题号 9 10 11 12
参考答案 ABC ABD BCD BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13． 14． 15． 16．
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．解：（1）因为，
所以，所以
因为，所以，
所以
所以．
（2）设与的夹角为，
因为，
所以．
因为，所以．
故与的夹角为．
18．解：（1），因为，
所以设（为实数），
故，
解得，
故或．
（2），
因为与垂直，
所以，解得．
（3）依题意知，
故由余弦定理得，
所以，
故三角形的面积为．
19．（1）证明：长方体中，，
所以是平行四边形，所以；
因为平面平面，所
以平面；
（2）解：以为原点，的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示；
由，则，
所以；
设平面的法向量为，
由，得；令，得，
设直线与平面所成的角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1）证明：底面为正方形，，
平面，
同理，，
平面．
（2）解：如图，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为2，
则，
则，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
同理得平面的一个法向量，
，
二面角的正弦值为．
21．（Ⅰ）证明：四棱锥中，平面底面是等边三角形，
底面为梯形，且．
由余弦定理得，
，
．
又平面底面，平面底面底面，
平面，
又平面．
（Ⅱ）解：设到平面的距离为．
取中点，连结是等边三角形，．
又平面底面，平面底面平面，
底面，且，
由（Ⅰ）知平面，又平面．
，即．
解得．
故到平面的距离为．
22．（1）证明 是的中点，
平面平面，平面平面平面，
平面平面．
（2）解 连接平面，
是正三角形，，
两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系．
则，
设是平面的一个法向量，
则
令，
轴所在直线与平面垂直，
是平面的一个法向量．
，
二面角的余弦值为．
（3）解 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，
设，
则，
直线与平面所成的角为，
，
由，解得，
在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为，且．
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