卷子答案网-一个不只有答案的网站珠海市斗门区2023-2024学年高三上学期10月阶段性考试
数学科试卷 参考答案
1．答案 A
解析 ∵，∴或，∴，
∵，∴，∴或，∴，
∴，故选A．
2．答案 A
解析 ∵a＝log20.2
3．答案 C
解析 设∠AOD＝θ，则l1＝θ·OA，l2＝θ·OB，所以＝＝2，即OA＝2OB，
所以＝＝＝3.
4．答案 D
解析 x∈[－4，4]，f（x）＝·cos 2x，而f（－x）＝·cos（－2x）＝f（x），
因此函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，选项A，B不满足；
又cos 4<0，>0，于是得f（2）<0，选项C不满足，D满足题意．
5．答案 D
解析 因为当v＝0.5 m/s时，Q＝800，
所以0.5＝kln ＝3kln 2，解得k＝，
所以当v＝1.5 m/s时，1.5＝ln ，即ln ＝9ln 2＝ln 29，
所以＝29，解得Q＝51 200.
6．答案 A
解析 由，即，所以，
由，恒成立，即在上恒成立，
所以，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，因为真包含于，
所以“”是“对任意，恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
7．答案 C
解析 函数y＝loga（x－1）＋2过定点（2，2），所以T（2，2），
将T（2，2）代入直线2mx＋ny－4＝0，得4m＋2n＝4，即m＋＝1，
因为m>0，n>0，所以＋＝＝1＋＋＋2≥2＋3＝2＋3，
当且仅当＝，即m＝－1，n＝4－2时等号成立．
8．答案 B
解析 由题意可知，方程xf（x）＝eln x在（0,4）上解的个数可转化为f（x）的图象与y＝的图象在（0,4）上的交点个数，因为f（1－x）＝f（1＋x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又由f（x－1）＝f（x＋1），得f（x）＝f（x＋2），从而f（x）是周期为2的周期函数，
又由y＝可得，y′＝，令y′>0，得0
故y＝在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，且ymax＝y|x＝e＝1，
当x∈[0,1]时，f（x）＝－x＋1，
故f（x）与y＝在（0,4）上的图象如图所示，
从而f（x）的图象与y＝的图象在（0,4）上的交点个数为4，
故方程xf（x）＝eln x在（0,4）上解的个数为4.
9．答案 AD
解析 对于A，因为函数f（x）的定义域为（0，3），则对于y＝，由解得－1
对于D，因为y＝－x2＋ax的对称轴为直线x＝，图象开口向下，要使y＝在（－∞，1）上单调递增，则≥1，解得a≥2，故D正确．
10．答案 BC
解析 若g（x）＝x2，则g′（x）＝x，令x2＝x，解得x1＝0，x2＝2，可知g（x）有2个“新不动点”，A不符合题意；
若g（x）＝－ex－2x，则g′（x）＝－ex－2，令－ex－2x＝－ex－2，解得x＝1，可知g（x）只有1个“新不动点”，B符合题意；
若g（x）＝ln x，则g′（x）＝，令h（x）＝ln x－（x>0），则h′（x）＝＋＝>0，
所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增，又h（1）＝－1<0，h（e）＝1－>0，
所以h（x）在（0，＋∞）上存在唯一零点x0，x0∈（1，e），即ln x＝有唯一解，可知g（x）只有1个“新不动点”，C符合题意；
若g（x）＝sin x＋2cos x，则g′（x）＝cos x－2sin x，令sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，即3sin x＝－cos x，sin x与cos x不同时为0，即cos x≠0，即tan x＝－，因为函数y＝tan x的周期为π，所以tan x＝－的根有无数个，可知g（x）有无数个“新不动点”，D不符合题意．
11．答案 BC
解析 选项A，>ln x2－ln x1 －ln x2>－ln x1.
设fA（x）＝ex－ln x，x∈（0，1）．∴f′A（x）＝ex－，又f′A（1）＝e－1>0，
f′A＝－2<0，∴fA（x）在（0，1）上存在极值点，
故fA（x）在（0，1）上不单调，对于任意0
选项B， .
设fB（x）＝，x∈（0，1）．∴f′B（x）＝<0，
∴fB（x）在（0，1）上单调递减，∴对任意0
选项C， x1ln x2>x2ln x1 >.
设fC（x）＝，x∈（0，1）．∴f′C（x）＝>0，
∴fC（x）在（0，1）上单调递增，∴对任意0
选项D， x1ln x1>x2ln x2.
设fD（x）＝xln x，x∈（0，1）．
∴f′D（x）＝ln x＋1，令f′D（x）＝0，则x＝，fD（x）在（0，1）上存在极值点，故fD（x）在（0，1）上不单调，对于任意0
12．答案 BCD
解析 由，即，则关于对称，A错；
又是定义在上的奇函数，则，
而，则，故，
所以，即是以4为周期的周期函数，B对；
当，对于的零点，只需研究与的交点，
若，则，
显然，，且在上递增，上递减，
结合对称轴、周期性、奇函数，的图象及部分图象如下：
由图知：与有且仅有2个交点，即恰有2个不同的零点，C对；
若，则，如下图示，
由图知：与有且仅有3个交点，即恰有3个不同的零点，D对；
13．答案
解析 的定义域为，，令，则，解得.
14．答案 －
解析 ∵角θ的终边过点A（3，y），∴sin θ＝，cos θ＝，
∵sin（π＋θ）＝，∴－sin θ＝，即sin θ＝－<0，
∴点A在第四象限，
∴＝－，解得y＝4（舍去）或y＝－4，∴tan θ＝＝－.
15．答案
解析 ∵函数对均有①，
∴将换为，得②，
∴由①②，解得.
∴恒成立，恒成立，∴只需，
令，则，
令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
∴的取值范围为.故答案为：
16．答案
解析 由可知函数关于直线对称，
在中任意取两个不相等的实数、，都有恒成立，
可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，
不妨设，则由可得：，整理得，
即，解得或，∴实数的取值范围为.
17．解 （1）由，得，得，
即，解得或，故或，
当时，由，得 ，故，即，
故，所以，所以或
（2）由得，故，即，故，
由“”是“”的必要条件得，
所以，解得，即.
18．解 （1）因为．
（2）若，即，可得，
所以．
19．解 （1）因为函数f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x），
即－ax＋log3（9－x＋1）＝ax＋log3（9x＋1），
所以－2ax＝log3（9x＋1）－log3（9－x＋1）＝log3（9x＋1）－log3
＝log3（9x＋1）－log3＝log3＝log39x＝2x，
所以a＝－1.
（2）因为f（x）＝log3（9x＋1）－x＝log3（9x＋1）－log33x＝log3＝log3（3x＋3－x）．
因为x≥0，由基本不等式可得f（x）＝log3（3x＋3－x）≥log3（2）＝log32，
当且仅当3x＝3－x，即x＝0时，等号成立，故b≤log32.
20．解 （1）的定义域为，，
当时，，，
∴在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
当时，∴在内单调递减，
当时，∴在内单调递增，
∴在处取得极小值，，无极大值；
（3）由题意可知可化为（），
则直线与函数有交点，
∴，又在处取得极小值也是最小值，，
又，∴且，即实数的取值范围为．
21．解 （1）当0
当x≥80，x∈N*时，
L（x）＝－51x－＋1 450－250＝1 200－，
∴L（x）＝.
（2）当0
当x≥80，x∈N*时，
L（x）＝1 200－≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100时，
L（x）取得最大值L（100）＝1 000>950，
综上所述，当x＝100时，L（x）取得最大值1 000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
22．注：如果选择多个问题分别解答，则按第一个解答计分．
解 （1）函数f（x）的定义域为x∈（－2，＋∞），f′（x）＝aex－，因为f（x）在x＝0处取得极值，则f′（0）＝a－＝0，所以a＝，此时f′（x）＝ex－，可以看出f′（x）在定义域内是增函数，且f′（0）＝0，所以当x∈（－2，0）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）单调递增．故f（x）的单调递减区间为（－2，0），单调递增区间为（0，＋∞）．
（2）选择①，
若f（x）≥0恒成立，即aex－ln（x＋2）＋ln a－2≥0，整理为ex＋ln a＋x＋ln a≥ln（x＋2）＋x＋2，即ex＋ln a＋x＋ln a≥ln（x＋2）＋eln（x＋2），
设函数h（x）＝ex＋x，则上式为h（x＋ln a）≥h（ln（x＋2））．
因为h′（x）＝ex＋1>0恒成立，所以h（x）＝ex＋x单调递增，所以x＋ln a≥ln（x＋2），
所以ln a≥ln（x＋2）－x，令φ（x）＝ln（x＋2）－x，x∈（－2，＋∞），则φ′（x）＝－1＝－，当x∈（－2，－1）时，φ′（x）>0，当x∈（－1，＋∞）时，φ′（x）<0，故φ（x）＝ln（x＋2）－x在x＝－1处取得极大值也是最大值，φ（x）max＝φ（－1）＝1，故ln a≥1，解得a≥e.
故当a∈[e，＋∞）时，f（x）≥0恒成立．
选择②，
即方程aex－ln（x＋2）＋ln a－2＝0有两个根，整理为ex＋ln a＋x＋ln a＝ln（x＋2）＋x＋2，
即ex＋ln a＋x＋ln a＝ln（x＋2）＋eln（x＋2），
设函数h（x）＝ex＋x，
则上式为h（x＋ln a）＝h（ln（x＋2））．
因为h′（x）＝ex＋1>0恒成立，所以h（x）＝ex＋x单调递增，所以x＋ln a＝ln（x＋2），
所以只需ln a＝ln（x＋2）－x有两个根，令φ（x）＝ln（x＋2）－x，x∈（－2，＋∞）．
φ′（x）＝－1＝－，当x∈（－2，－1）时，φ′（x）>0，当x∈（－1，＋∞）时，φ′（x）<0，故φ（x）＝ln（x＋2）－x在x＝－1处取得极大值也是最大值，φ（x）max＝φ（－1）＝1，当x→－2时，φ（x）→－∞，当x→＋∞时，φ（x）→－∞，
要想ln a＝ln（x＋2）－x有两个根，只需ln a<1，要使ln a有意义，则a>0，解得0
数学科试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．记集合、集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若a＝log20.2，b＝20.2，c＝log0.20.3，则下列结论正确的是（ ）
A．b>c>a B．c>a>b C．a>b>c D．c>b>a
3．如图1是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，如图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若＝2，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．函数f（x）＝·sin在[－4，4]上的图象大致是（ ）
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v＝k ln （k>0）．当v＝0.5 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800.当v＝1.5 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（ ）
A．12 800 B．24 800
C．25 600 D．51 200
6．“”是“对任意，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线2mx＋ny－4＝0（m>0，n>0）过函数y＝loga（x－1）＋2（a>0，且a≠1）的定点T，则＋的最小值为（ ）
A．4 B．6
C．3＋2 D．3＋2
8．定义在R上的函数f（x）满足f（1－x）＝f（1＋x），f（x－1）＝f（x＋1），当x∈[0,1]时，f（x）＝－x＋1，则方程xf（x）＝eln x在（0,4）上解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列命题中，说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的定义域为（0，3），则函数y＝的定义域是（－1，1）∪（1，2）
B．函数y＝在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上单调递减
C．命题“ x>1，x2＋x＋1>0”的否定为“ x≤1，x2＋x＋1≤0”
D．函数y＝在(－∞，1）上单调递增，则a的取值范围是[2，＋∞）
10．定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0为函数f（x）的“新不动点”，下列函数中只有一个“新不动点”的函数为（ ）
A．g（x）＝x2 B．g（x）＝－ex－2x
C．g（x）＝ln x D．g（x）＝sin x＋2cos x
11．若0
C． D．
12．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，设函数（其中），则下列说法正确的是（ ）
A．函数关于点中心对称
B．函数是以4为周期的周期函数
C．当时，函数恰有2个不同的零点
D．当时，函数恰有3个不同的零点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数的导函数为，且，则 .
14．已知角θ的终边过点A（3，y），且sin（π＋θ）＝，则tan θ＝________.
15．已知函数对均有，若恒成立，则实数的取值范围是_______.
16．已知函数在上连续，对任意都有，在中任意取两个不相等的实数、，都有恒成立，若，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）已知，
（1）当时，求;
（2）已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知．
（1）化简；
（2）若，求的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax＋log3（9x＋1）（a∈R）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）当x∈[0，＋∞）时，不等式f（x）－b≥0恒成立，求实数b的取值范围．
20．（12分）设函数，是自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）若方程有实数解，求实数的取值范围．
21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x）万元，当年产量不足80千件时，C（x）＝x2＋10x（万元）；当年产量不少于80千件时，C（x）＝51x＋－1 450（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
22．（12分）已知函数f（x）＝aex－ln（x＋2）＋ln a－2.
（1）若f（x）在x＝0处取得极值，求a的值及函数的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．
①若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
②若f（x）仅有两个零点，求a的取值范围．
注：如果选择多个问题分别解答，则按第一个解答计分．
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