卷子答案网-一个不只有答案的网站安徽省黄山市歙县上丰中学2023年中考数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2b）5＝﹣32b5
C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．a2﹣2a2＝a2
2．若a＝0.32，b＝﹣3﹣2，c＝，，则（ ）
A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
3．中国华为麒麟9000处理器是采用5纳米制程工艺的手机芯片，在它的尺寸上塞进了153亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理，153亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.53×109 B．15.3×108 C．1.53×1010 D．1.53×1011
4．棱长为a的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（ ）
A．100a B．5050a2 C．6000a2 D．10100a2
5．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，关于y的方程y﹣3a＝12的解为正数，则满足条件的所有整数a的值之和为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．0 D．3
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，C为线段AB的中点，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则CP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
7．青龙岩风景区坐落于江西省寻乌县南桥镇，五一期间相关部门对到青龙岩的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形统计图中的m为10%
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若五一到青龙岩的游客有1万人，则选择自驾方式出行的约有5000人
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A． B．1 C． D．
10．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD，动点E从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．144 B．134 C．124 D．114
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）分解因式：2x3﹣4x2+2x＝ ．
12．（5分）如图，半径为2的两个等圆⊙O1，⊙O2外切于点P，O2C切⊙O1于点C，弦BC∥O1O2，连接PB，PC，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果保留π）
13．（5分）如图，已知反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，y1）、B（4，y2）两点，则不等式≤kx+b的解集为 ．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为射线DC上一点，且CE＝5，点F为AD的中点，连接BE，EF，将△DEF沿直线EF折叠，若点D的对应点D'恰好落在BE上，则AB的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：．
16．（8分）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB1；
（2）找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．
17．（8分）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖而的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面得高度PC约为多少米？
注：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
19．（10分）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，乙组成绩的中位数是 ，甲组成绩的众数是 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S甲2＝＝0.81．
（3）在乙组的3名满分同学中，有2名男生和1名女生，现从这3人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法，求选中的这两人都是男生的概率．
20．（10分）疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/包） 50 60 80
周销售量y（包） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①这种口罩的进价是 元/包；
②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润．
（2）由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包（m＞0），物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CG的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE．
（1）求证：AD2＝AE AF；
（2）若CF＝2，AF＝3，求△DEF的面积．
22．（12分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（14分）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2b）5＝﹣32b5
C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．a2﹣2a2＝a2
【分析】根据积的乘方、完全平方公式、二次根式的加减，即可解答．
【解答】解：A、a2 a3＝a5，故错误，不符合题意；
B、（﹣2b）5＝﹣32b5，故正确，符合题意；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，故错误，不符合题意；
D、a2﹣2a2＝﹣a2，故错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方、完全平方公式、二次根式的加减，解决本题的关键是熟记积的乘方、完全平方公式、二次根式的加减法则．
2．若a＝0.32，b＝﹣3﹣2，c＝，，则（ ）
A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简，进而判断大小得出答案．
【解答】解：∵a＝0.32＝0.09，b＝﹣3﹣2＝﹣，c＝＝9，＝1，
∴b＜a＜d＜c．
故选：C．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
3．中国华为麒麟9000处理器是采用5纳米制程工艺的手机芯片，在它的尺寸上塞进了153亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理，153亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.53×109 B．15.3×108 C．1.53×1010 D．1.53×1011
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：153亿＝15300000000＝1.53×1010．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
4．棱长为a的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（ ）
A．100a B．5050a2 C．6000a2 D．10100a2
【分析】根据图形摆放规律，得出第100个图的俯视图的面积即可．
【解答】解：第1个图的俯视图的面积为1个边长为a的正方形，
第2个图的俯视图的面积为1+2＝3个边长为a的正方形，
第3个图的俯视图的面积为1+2+3＝6个边长为a的正方形，
……
第100个图的俯视图的面积为1+2+3+…+100＝5050个边长为a的正方形，
所以从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为5050a2，
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握图形所呈现的规律是正确解答的关键．
5．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，关于y的方程y﹣3a＝12的解为正数，则满足条件的所有整数a的值之和为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．0 D．3
【分析】首先根据不等式组整数解的情况确定a＜3；再根据方程y﹣3a＝12解的情况确定a＞﹣4．从而确定a的取值范围，再进一步确定整数a的值，进而求出所有整数a的值和．
【解答】解：∵不等式组，有解．
∴a＜x≤5．
∵不等式组至少有三个整数解．
∴a＜3．
解方程y﹣3a＝12得，y＝12+3a．
∵方程的解y为正数．
∴12+3a＞0．
∴a＞﹣4．
∴a的取值范围为﹣4＜a＜3．
∴整数a的值为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．
∴整数a的值之和为：﹣3+（﹣2）+（﹣1）+1+2+0＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，解这类题目的关键题目中有关字母取值范围的确定．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，C为线段AB的中点，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则CP的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】连接OC并延长交反比例函数的图象于点P，根据等腰三角形的性质得出OC⊥AB，C（1，1），即可求得直线OC为y＝x，此时CP最短，求得P的坐标，然后利用勾股定理即可求得CP的最小值．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2与两坐标轴分别交于A，B两点，
∴A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
连接OC并延长交反比例函数的图象于点P，
∵C为线段AB的中点，
∴OC⊥AB，C（1，1），
∴直线OC为y＝x，此时OP最短，
∴此时CP的值最小，
由，解得或，
∴此时，点P为（2，2），
∴CP的最小值为＝．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，正确求得CP的最小值时的P的坐标是解题的关键．
7．青龙岩风景区坐落于江西省寻乌县南桥镇，五一期间相关部门对到青龙岩的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（ ）
A．本次抽样调查的样本容量是5000
B．扇形统计图中的m为10%
C．样本中选择公共交通出行的有2500人
D．若五一到青龙岩的游客有1万人，则选择自驾方式出行的约有5000人
【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．
【解答】解：A、本次抽样调查的样本容量是2000÷40%＝5000，故不符合题意；
B、扇形图中的m＝1﹣40%﹣50%＝10%，故不符合题意；
C、样本中选择公共交通出行的有5000×50%＝2500人，故不符合题意；
D、若五一到青龙岩的游客有1万人，则选择自驾方式出行的约有10000×40%＝4000人，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P′，可求得∠ABO＝30°，从而得出PE＝，进而得出PD+，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
作射线BA，作PE⊥BA于E，作DF⊥BA于F，交y轴于P′，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴OD＝，
当x＝0时，y＝﹣，
∴OB＝，
当y＝0时，﹣x﹣0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
∴A （﹣1，0），
∴OA＝1，
∵tan∠ABO＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PE＝，
∴＝PD+PE≥DF，当点P在P′时，PD+PE最小，最下值等于DF，
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ABO＝60°，AD＝OD+PA＝，
∴DF＝AD sin∠DAF＝×＝，
∴（）最小＝DF＝，
故选：A．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造．
9．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】过H点作HM⊥AC于M，如图，根据基本作图得到CH平分∠ACD，则利用角平分线的性质得到HM＝HD，接着根据勾股定理计算出AC＝15，通过证明Rt△CHD≌Rt△CHM得到CD＝CM＝3，所以AM＝2，设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，利用勾股定理得到t2+22＝（4﹣t）2，解方程得到HD＝1.5，从而得到H点的横坐标．
【解答】解：∵O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
如图，过H点作HM⊥AC于M，
由作法得CH平分∠ACD，
∵HM⊥AC，HD⊥CD，
∴HM＝HD，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
在Rt△CHD和Rt△CHM中，
，
∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），
∴CD＝CM＝3，
∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，
设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，
在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，
即HD＝1.5，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质和坐标与图形性质．
10．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD，动点E从点B出发，沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．144 B．134 C．124 D．114
【分析】从图2看，AB＝6m，AD＝16m﹣6m＝10m＝AC，过点A作AH⊥CD交于点H，在Rt△ADH中AD＝10m，AB＝6m＝CH＝DH，则，当点P在点D处时，，解得m2＝2，则四边形ABCD的面积＝，即可求解．
【解答】解：从图2来看，AB＝6m，AD＝16m﹣6m＝10m＝AC，
过点A作AH⊥CD交于点H，
∵AC＝AD，
∴，
在Rt△ADH中，AD＝10m，AB＝6m＝CH＝DH，
∴，
当点P在点D处时，，
解得m2＝2，
则四边形ABCD的面积＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．（5分）分解因式：2x3﹣4x2+2x＝ 2x（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x3﹣4x2+2x，
＝2x（x2﹣2x+1），
＝2x（x﹣1）2．
故答案为：2x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（5分）如图，半径为2的两个等圆⊙O1，⊙O2外切于点P，O2C切⊙O1于点C，弦BC∥O1O2，连接PB，PC，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果保留π）
【分析】连接O1B，O1C，先利用直角△O1CO2得出O1BC是正三角形，根据阴影部分的面积＝三角形的面积+一个弓形的面积，即可求解．
【解答】解：连接O1B，O1C，
∵O1C＝O1O2，∠O1CO2＝90°，
∴∠O1O2C＝30°，∠O2O1C＝60°，BC∥O1O2，
∴∠O1CB＝60°
∴△O1BC是正三角形
∴阴影部分的面积＝2×÷2+﹣2×÷2＝．
【点评】本题的关键是理解阴影部分的面积实际上就是一个扇形的面积．
13．（5分）如图，已知反比例函数y＝和一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，y1）、B（4，y2）两点，则不等式≤kx+b的解集为 x≤﹣1或0＜x≤4 ．
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当x≤﹣1或0＜x≤4时，一次函数图象不在反比例函数图象的下方，
则不等式≤kx+b的解集为x≤﹣1或0＜x≤4．
故答案为：x≤﹣1或0＜x≤4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为射线DC上一点，且CE＝5，点F为AD的中点，连接BE，EF，将△DEF沿直线EF折叠，若点D的对应点D'恰好落在BE上，则AB的长为 9或4 ．
【分析】连接BF，设AB＝x，先利用勾股定理计算BE的长，分两种情况：点E在边CD上和DC的延长线上，根据全等三角形的性质可解答．
【解答】解：分两种情况：
设AB＝x，
①当E在边CD上时，如图1，连接BF，则DE＝CD﹣CE＝x﹣5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，AB＝CD，
∵BC＝12，CE＝5，
∴BE＝＝13，
由折叠得：DF＝D'F，∠D＝∠ED'F＝∠BD'F＝90°，DE＝D'E，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝DF，
∴AF＝D'F，
∵∠A＝∠BD'F＝90°，BF＝BF，
∴Rt△ABF≌Rt△D'BF（HL），
∴AB＝BD'，
∵BE＝13，
∴x+x﹣5＝13，
∴x＝9，
∴AB＝9；
②当点E在DC的延长线上时，如图2，连接BF，则ED＝ED'＝x+5，
∵BE＝13，
∴x+x+5＝13，
∴x＝4，
∴AB＝4，
综上，AB的长是9或4．
故答案为：9或4．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接BF，构造全等三角形，最终利用全等的性质求出结果．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：．
【分析】（1）先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根和绝对值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再关键分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2×﹣2+﹣1
＝2+﹣2+﹣1
＝1；
（2）（1﹣）÷
＝
＝
＝，
当a＝1时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查了负整数指数幂，特殊交点三角函数值，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
16．（8分）△ABC三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）把△ABC沿直线AC翻折，画出翻折后的△ACB1；
（2）找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）在y轴上存在点P，使△BPC的面积等于3，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）找到点B关于AC的对称点B1，连接AB1、B1C即可；
（2）过点B作AC的平行线，取BD＝AC，作直线AD，由全等三角形的性质可知直线AD经过BC中点，将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）设BC交y轴于点Q，点P为y轴上一点，则有S△BPC＝S△BPQ+S△CPQ，根据面积公式计算可得PQ＝2，结合点Q坐标确定点P的坐标即可．
【解答】（1）解：如图，找到点B关于AC的对称点B1，连接AB1、B1C即可；
（2）如图，过点B作AC的平行线，取BD＝AC，作直线AD，则直线AD将△ABC分成面积相等的两部分；
（3）如图，设BC交y轴于点Q，由图可知点Q（0，2），
设点B到y轴的距离为h1，点C到y轴的距离为h2，由图可知h1＝2，h2＝1，
则S△BPC＝S△BPQ+S△CPQ＝＝＝
∵△BPC的面积等于3，即，
解得PQ＝2，
∴点P的坐标为（0，0）或（0，4）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键．
17．（8分）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖而的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面得高度PC约为多少米？
注：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．
【分析】过点A作AD⊥PP′，垂足为D，构造矩形ABCD和直角三角形，根据三角函数的定义求出AD的长，根据AD＝AD，列出方程解答即可．
【解答】解：过点A作AD⊥PP′，垂足为D，则有CD＝AB＝7米，
设PC为x米，则P′C＝x米，PD＝（x﹣7）米，P′D＝（x+7）米，
在Rt△PDA中，AD＝≈（x﹣7），
在Rt△P′DA中，AD＝≈（x+7），
∴（x﹣7）＝（x+7），
解得：x＝25．
答：热气球P距湖面的高度PC约为25米．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键．
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按上述规律，回答以下问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）由前面5个式子，类比猜想可得到第6个式子；
（2）观察数字与序号的关系，左边分式的分子与序号相差2，分母的第一个因数与序号相等，第二个因数与序号相差1，第三个因数为2的乘方，指数与序号相差1，同理观察右边等式，即可发现规律解决此题．
【解答】解：（1）由前面5个式子分子分母的规律，第6个等式应为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：；
证明：右边＝﹣
＝
＝＝左边，
故等式成立．
故答案为：．
【点评】本题考查对于数字特征规律的推理，数字较多时，可分对应位置去寻找规律，找寻序列号与数字的规律，即可解决此题．
19．（10分）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
成绩 7 8 9 10
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 3 ，乙组成绩的中位数是 8 ，甲组成绩的众数是 8 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S甲2＝＝0.81．
（3）在乙组的3名满分同学中，有2名男生和1名女生，现从这3人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法，求选中的这两人都是男生的概率．
【分析】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出m，再根据中位数和众数的定义即可求出乙组成绩的中位数和甲组成绩的众数；
（2）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案；
（3）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出选中的这两人都是男生的概率．
【解答】解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），
把乙组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝8（分），
甲组成绩8分出现的次数最多，出现了9次，
则甲组成绩的众数是8分．
故答案为：3，8，8；
（2）乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），
乙组的方差是：S乙2＝×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75，
∵S乙2＜S甲2，
∴乙组的成绩更加稳定．
（3）列表如下：
男1 男2 女
男1 男1男2 男1女
男2 男2男1 男2女
女 女男1 女男2
∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果，
∴P（选中的两人都是男生）＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
20．（10分）疫情当下，红星药店销售一种大包装口罩．经市场调查发现：该口罩的周销售量y（包）是售价x（元/包）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
售价x（元/包） 50 60 80
周销售量y（包） 100 80 40
周销售利润w（元） 1000 1600 1600
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）①这种口罩的进价是 40 元/包；
②求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
③当售价是多少元/包时，周销售利润最大，并求最大利润．
（2）由于疫情升级，该种口罩的进价提高了m元/包（m＞0），物价部门规定该种口罩售价不得超过65元/包，该种口罩在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．
【分析】（1）①该商品进价是50﹣1000÷100＝40；
②依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
③设每周获得利润w＝ax2+bx+c，根据题意构造方程，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣800﹣200m，把x＝65，w＝1400代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）①该商品进价是50﹣1000÷100＝40；
故答案为：40．
②依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
③设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有，
解得：，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
（2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m
＝﹣2（x﹣）2+m2﹣60m+1800，
∵﹣2＜0，对称轴x＞70，
∴抛物线的开口向下，
∵x≤65，
∴w随x的增大而增大，
当x＝65时，w最大＝1400，
即1400＝﹣2×652+（280+2m）×65﹣8000﹣200m，
解得：m＝5．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
21．（12分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G．点F是CG的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD，DE．
（1）求证：AD2＝AE AF；
（2）若CF＝2，AF＝3，求△DEF的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得，再根据在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等得∠ADF＝∠AED，再根据相似三角形的判定定理证明△ADF∽△AED，由相似三角形的性质便可得出结论；
（2）先求得△ADF的面积，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求得结果．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴∠FDA＝∠DEA，
∵∠DAF＝∠EAD，
∴△AFD∽△ADE，
∴，
∴AD2＝AE AF；
（2）解：∵点F是CG的中点，
∴FG＝CF＝2，
∵AF＝3，
∴，
∵CD⊥AB于点G，
∴GC＝GD，
∵CG＝CF+FG＝2+2＝4，
∴DG＝4，
∴FD＝DG+FD＝4+2＝6，
∵，
∴，
∵△ADF∽△AED，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，关键是在于证明相似三角形．
22．（12分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，列方程组求a、b的值；
（2）设Q（m，﹣m2+3m+4），当m＞0时，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，证明△CHQ≌△BGK（AAS），得到m＝﹣m2+3m+4﹣4，则HQ＝2，所以K（6，2）；当m＜0时，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，证明△QHG≌△KFE（AAS），则有﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），求得m＝﹣2，则GQ＝2，可求K（﹣6，﹣2）
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
得，
解得，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）存在，理由如下：
设Q（m，﹣m2+3m+4），
当m＞0时，如图1，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，
过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，
∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCQ＝∠GBK＝45°，
∴△CHQ≌△BGK（AAS），
∴HC＝HQ＝BG＝GK，
∴m＝﹣m2+3m+4﹣4，
∴m＝2或m＝0（舍），
∴HQ＝2，
∴K（6，2）；
当m＜0时，如图2，
∵矩形是以BC为边，
∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，
设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，
过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，
∵∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°，
∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°，
∵KC＝BQ，CF＝HB，
∴FK＝QH，
∴△QHG≌△KFE（AAS），
∴QG＝HG＝EF＝EK，
∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4），
∴m＝﹣2或m＝4（舍），
∴GQ＝2，
∴K（﹣6，﹣2）；
综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
23．（14分）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得BM＝BN，∠MBN＝60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，再求出∠ABM＝∠EBN，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；
（3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，再根据正方形的性质解答；
②根据全等三角形对应边相等可得AM＝EN，然后求出AM+BM+CM＝EN+MN+CM，再根据两点之间线段最短证明．
【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．
理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，
∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，
即∠ABM＝∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M为BD的中点；
②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵△BMN是等边三角形，
∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，
故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，（3）从两点之间线段最短考虑求解是解题的关键．