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31三角形的外角的定义及性质（提升题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·七年级校考期中）乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．28° C．26° D．23°
2．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）将一副三角板如图所示放置，使的两条直角边在一条直线上，则的度数是（）
A．80. B．75. C．60. D．55.
3．（2022春·江苏南京·七年级校联考期中）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（ ）
A．56° B．34° C．36° D．24°
4．（2022春·江苏苏州·七年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在△ABC中，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
5．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，，若∠1=58°，则∠2的度数是（ ）
A．22° B．26° C．28° D．32°
6．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，直线AB//CD，∠B＝50°，∠D＝30°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
二、填空题
7．（2021春·江苏扬州·七年级统考期中）如图所示，∠1=65°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为___________.
8．（2022春·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期中）将一副三角板按如图所示的方式叠放，则∠α＝______.
9．（2021春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，在中，点在上，将沿着翻折得到，若，则的度数为______．
10．（2022春·江苏镇江·七年级镇江市外国语学校校考期中）如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB=____．
11．（2021春·江苏苏州·七年级统考期中）如图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A=_____．
12．（2021春·江苏盐城·七年级校考期中）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠BFD＝45°；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是______（填序号）．
三、解答题
13．（2021春·江苏无锡·七年级统考期中）某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中，∠B=90°，∠A=30°；图②中，∠D=90°，∠F=45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
(1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ；连接FC，∠FCE的度数逐渐 ．（填“不变”、“变大”或“变小”）
(2)△DEF在移动的过程中，∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；
(3)能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？若能，求出∠CFE的度数；若不能，请说明理由．
14．（2021春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）（1）探究：如图1，求证：；（2）应用：如图2，，，求的度数．
15．（2021春·江苏苏州·七年级校考期中）【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”． 其中， 是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 °；
（2）如图③，在中，分别是邻三分线和邻三分线， 且，求的度数；
【延伸推广】
（3）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
16．（2021春·江苏苏州·七年级昆山市第二中学校考期中）已知中，于点，平分，过点作直线，且，．
（1）求的外角的度数；
（2）求的度数．
17．（2021春·江苏盐城·七年级校联考期中）【生活常识】射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【应用探究】有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线．
（1）如图2，若，，则的度数为 ．
（2）如图3，光线与相交于点，若，求的度数．
（3）如图4，光线与所在的直线相交于点，，，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由．
18．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
【问题思考】（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ ．
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝70°，则∠D＝ °．
②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
【问题拓展】（3）在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝ .（用含a的代数式表示）
19．（2022春·江苏连云港·七年级统考期中）如图，，点A、B分别在线段OM、ON上（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．
(1)若，求∠ABC和∠D的度数．
(2)若，求∠ABC和∠D的度数．（无法求出准确数值的，可以用含x的代数式表示）
(3)若ABD中有一个角是另一个角的3倍，则∠ABC＝ ．（直接写出答案）
20．（2022春·江苏常州·七年级统考期中）如图，在△ABC中，点D在BC边上，，分别交AB、BC于点E、F，DG交AC于点G，∠1+∠2=180°，
(1)求证：DG∥AD；
(2)若∠B=36°，∠C=30°，求∠AGD的度数．
参考答案：
1．D
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
2．B
【分析】根据三角板可得:∠2=30°,∠3=45°,然后根据三角形外角的性质可得∠1的度数.
【详解】如图，
由题意可得:∠2=30°,∠2=45°,
∵∠1=∠2+∠3
∴∠1=30°+45°=75°.
故选B.
【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3．A
【分析】利用平行线的性质，三角形的外角的性质求出∠A即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=58°，
∵∠3=∠2+∠A，
∴∠A=58°-24°=34°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-34°=56°，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．A
【分析】由三角形的外角的性质可得再结合角平分线的性质进行等量代换可得从而可得答案.
【详解】解： ∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，
故选A
【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质结合等量代换得到是解本题的关键.
5．C
【分析】依据三角形内角和定理，可得∠A的度数，再根据三角形外角性质以及平行线的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，
∴∠A=30°，
由三角形外角性质，可得∠ADF=∠1-∠A=28°，
又∵，
∴∠2=∠ADF=28°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等平行线的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD=∠B=50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BMD=∠B=50°，
又∵∠BMD是△MDE的外角，
∴∠E=∠BMD-∠D=50°-30°=20°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题的关键是用好平行线的性质.
7．230°
【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠B＋∠C＝115°，∠MGH＋∠MHG＝115°，再根据三角形外角性质，即可得出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
【详解】如图所示，
∵∠1＝∠BMC＝65°，
∴∠B＋∠C＝180° 65°＝115°，∠MGH＋∠MHG＝115°，
又∵∠MGH是△DFG的外角，∠MHG是△AEH的外角，
∴∠MGH＝∠F＋∠D，∠MHG＝∠A＋∠E，
∴∠F＋∠D＋∠A＋∠E＝∠MGH＋∠MHG＝115°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝115°＋115°＝230°，
故答案为230°．
【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是利用三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8．75°
【详解】如图，根据三角板的特点，可知∠1=45°，然后根据三角形的外角，可求∠α=75°.
故答案为75°.
9．80°
【分析】根据三角形外角的性质和翻折的性质解答即可．
【详解】解：由翻折得，
∵
又
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，三角形外角的性质以及平角的定义，求出是解答本题的关键．
10．105°．
【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，
∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．
故答案为：105°．
【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．
11．55°．
【详解】∵∠EFD为△ECF的外角，∠C=25°，∠E=30°，
∴∠EFD=∠C+∠E=55°．
∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．
12．①②③．
【分析】由EG∥BC，且CG⊥EG于G，可得∠GEC＝∠BCA，由CD平分∠BCA，可得∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，可判定①；由CD，BE平分∠BCA，∠ABC，根据外角性质可得∠BFD＝∠BCF+∠CBF＝45°，可判定②；根据同角的余角性质可得∠GCE＝∠ABC，由角的和差∠GCD＝∠ABC+∠ACD=∠ADC，可判定③；由∠GCE+∠ACB＝90°，可得∠GCE与∠ACB互余，可得CA平分∠BCG不正确，可判定④．
【详解】解:∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠BCG+∠G＝180°，
∵∠G＝90°，
∴∠BCG＝180°﹣∠G＝90°，
∵GE∥BC，
∴∠GEC＝∠BCA，
∵CD平分∠BCA，
∴∠GEC＝∠BCA＝2∠DCB，
∴①正确．
∵CD，BE平分∠BCA，∠ABC
∴∠BFD＝∠BCF+∠CBF＝（∠BCA+∠ABC）＝45°，
∴②正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠GCE＝∠ABC，
∵∠GCD＝∠GCE+∠ACD＝∠ABC+∠ACD，∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
∴∠ADC＝∠GCD，
∴③正确．
∵∠GCE+∠ACB＝90°，
∴∠GCE与∠ACB互余，
∴CA平分∠BCG不正确，
∴④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，垂线性质，角的和差，掌握平行线的性质，角平分线定义，垂线性质，角的和差是解题关键．
13．（1）变小，变大；（2）定值，∠FCE+∠CFE=∠FED=45°；（3）能，∠CFE=15°．
【分析】（1）根据图形的变化得出F、C两点间的距离变化和，∠FCE的度数变化规律；
（2）由外角的性质得出∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，即可得出答案；
（3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°，进而得出∠CFE的度数．
【详解】解：（1）F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；
故答案为变小，变大；
（2）∠FCE与∠CFE度数之和为定值；理由如下：
∵∠D=90°，∠DFE=45°，
又∵∠D+∠DFE+∠FED=180°，
∴∠FED=45°，
∵∠FED是△FEC的外角，
∴∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，
即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
（3）要使FC//AB，则需∠FCE=∠A=30°，
又∵∠CFE+∠FCE=45°，
∴∠CFE=45°﹣30°=15°．
【点睛】本题考查三角形的外角性质、平行线的判定和三角形内角和定理．熟练利用相关定理是解题关键．
14．230°
【分析】（1）连接OA并延长，由三角形外角的性质可知∠1＋∠B＝∠3，∠2＋∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F＋∠2＋∠3＝∠DEF，∠1＋∠4＋∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
【详解】（1）如图1，连接AO并延长，
∵是的外角，∴.①；
∵是的外角，∴②；
①+②，得，
∴.
（2）如图2，连接AD.
由（1），得③；④；
③+④得：，
∵，，
∴.
【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
15．（1）85或100；（2）45°；（3）情况一：；情况二：；情况三：；情况四：①当时，；②当时，
【分析】（1）根据题意可得∠B的三分线BD有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得∠BDC的度数；
（2）根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=135°，进而可求∠A的度数；
（3）根据∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．分四种情况画图：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，再根据∠A=m°，∠B=n°，即可求出∠BPC的度数．
【详解】解：（1）如图，
当BD是“邻AB三分线”时，∠BD′C=70°+15°=85°；
当BD是“邻BC三分线”时，∠BD″C=70°+30°=100°；
故答案为：85或100；
（2）∵
∴，
∴
又∵分别是邻三分线和邻三分线，
∴，
∴
∴
在中，
∴
（3）分4种情况进行画图计算：
情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，
；
情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，
；
情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，
；
情况四：，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，
①当时，如图④；
②当时，如图⑤；
【点睛】本题考查了三角形的外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意数形结合，分情况讨论．
16．（1）100°；（2）10°
【分析】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE=40°，根据平行线的性质求出∠GAD=90°，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）∵GH∥BC，∠C=40°，
∴∠HAC=∠C=40°，
∵∠FAH=∠GAB=60°，
∴∠CAF=∠HAC+∠FAH=100°；
（2）∵∠HAC=40°，∠GAB=60°，
∴∠BAC=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=40°，
∵GH∥BC，AD⊥BC，
∴∠GAD=90°，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键．
17．（1）38°；（2）84°；（3），见解析
【分析】（1）利用结论求出∠2，再根据直角三角形两锐角互余求出∠3即可解决问题；
（2）由题意∠PCB+∠PBC=360°-2(∠2+∠3)=360°-132°×2=96°，再根据三角形内角和定理解决问题即可；
（3）由题意∠P+∠PBD=∠O+∠4，∠4=∠3=∠O+∠2，∠1=∠2=∠PBD，推出β+∠1=α+α+∠1可得结论．
【详解】解：（1）∵∠1=∠2，∠1=52°，
∴∠2=52°．
∵OM⊥ON，
∴∠3=90°-∠2=90°-52°=38°．
∵∠4=∠3，
∴∠4=38°．
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）结论：．
理由：∵，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（1）135°；（2）①45；②∠D的度数不随着点A、B的运动而发生变化；∠D=45°；（3）．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可得到结论；②设∠BAD=，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义进行计算即可得到结论；
（3）设 而 再利用角平分线的含义与三角形的外角的性质分别表示 再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：（1） ，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=，∠ABE=，
∴∠BAE+∠ABE==45°，
∴∠AEB=135°； 故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB=90°，∠BAO=，
∴∠ABO=，
∴∠ABN=，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD=∠CBN=，
∵AD平分∠BAO， ∴∠DAB=，
∴∠D=180°-∠ABD-∠BAD =，
故答案为：；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化， 设∠BAD=，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=，
∵BC平分∠ABN， ∴∠ABC=，
∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=；
（3）设 而
∵∠BAO与的平分线交于点
而
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理与三角形的外角的性质是解题的关键．
19．(1)∠ABC=75°，∠D=45°
(2)∠ABC=(45+x)°；∠D=45°
(3)∠ABC=60°或78.75°
【分析】（1）先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠ABC的度数，∠BAD的度数，最后由外角性质可得∠D度数；
（2）设∠BAD=x°，利用外角性质和角平分线定义求得∠ABC=45°+x°，利用∠D=∠ABC-∠BAD即可得答案；
（3）分∠D=3∠DAB，∠DBA=3∠DAB，∠DBA=3∠D三种情况进行讨论即可．
(1)
解：∵∠BAO=60°，∠MON=90°，
∴∠ABN=∠BAO+∠MON=150°，
∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，
∴∠ABC=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°．
(2)
∵∠BAO=x°，∠MON=90°，
∴∠ABN=∠BAO+∠MON=(90+x)°，
∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，
∴∠ABC=∠ABN=(45+x)°，∠BAD=∠BAO=x°，
∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°．
(3)
由（2）可知∠D的度数不变，∠D=45°，
若∠D=3∠DAB，则∠DAB=15°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2∠DAB=30°，
∴∠ABN=∠BAO+∠MON=120°，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=∠ABN=60°；
若∠DBA=3∠DAB，
∵∠DBA+∠DAB=135°，
∴∠DAB=33.75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO=2∠DAB=67.5°，
∴∠ABN=∠BAO+∠MON=157.5°，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=∠ABN=78.75°；
若∠DBA=3∠D，此种情况不存在；
综上，∠ABC=60°或78.75°．
故答案为：∠ABC=60°或78.75°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识并正确进行分类讨论是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)66°
【分析】（1）由平行线的性质和∠1+∠2＝180°，可推出DG∥AB；
（2）由（1）的结论先求出∠4的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
（1）
证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3＝180°．
∵∠1+∠2＝180°．
∴∠1＝∠3．
∴AB∥DG；
（2）
解：∵AB∥DG，∠B＝36°，
∴∠4＝∠B＝36°，
∵∠C=30°，
∴∠AGD＝∠C+∠4＝66°．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．
试卷第1页，共3页
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