北师大版九年级上册期中考试数学试卷（含解析）

北师大版九年级上册数学期中考试试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
1．用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两个都是正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1㎝，2㎝，3㎝，4㎝ B．1㎝，2㎝，2㎝，4㎝
C．3㎝，5㎝，9㎝，13㎝ D．1㎝，2㎝，2㎝，3㎝
4．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B．8 C．0 D．0或8
5．如图，三角形ABC中，D、E、F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD:DB＝1:2，BC＝30㎝，则FC的长为（ ）
A．5㎝ B．6㎝ C．10 ㎝ D．20㎝
6．是关于的一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（　　　）
A．5 B．－5 C．4 D．－4
7．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2，x1x2的值分别为（）
A．﹣2，3 B．2，3 C．3，﹣2 D．﹣2，﹣3
8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（　　）
A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm
9．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是 （ ）
A．100（1＋x）=121 B． 100（1－x）=121
C． 100（1＋x）2=121 D． 100（1－x）2=121
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC， 且DE=AC，连接CE、OE，连接AE，交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
11．方程（x 2）2=9的解是_________.
12．边长为5㎝的菱形，一条对角线长是6㎝，则菱形的面积为______㎝2 。
13．如果线段成比例，且，则d=________．
14．如图，在矩形ABCD中 ，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，则∠AOB的度数为_______。
15．（a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是_____．
16．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为_____．
三、解答题：本大题共9小题，共72分。
17．解方程：
18．解方程：
19．如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．求证：四边形CEDF是平行四边形．
20．如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．
21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？这时应进货多少件？
22．一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图．
23．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，则：AP=　　cm；QC=　　cm．（用含t的代数式表示）
（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间PD=PQ，使△DPQ为等腰三角形？
（3）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间，四边形BPDQ为菱形？
24．如图，在直角坐标系中放入一个矩形纸片ABCO，将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE．直线CE的关系式是y=﹣x+8，与x轴相交于点F，且AE=3．
（1）求OC长度；
（2）求点B'的坐标；
（3）求矩形ABCO的面积．
25．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）若，，求菱形的高．
参考答案
1．B
【解析】
由x(x 3)=x 3，x(x 3) (x 3)=0，(x 3）(x 1)=0，故选B.
2．C
【分析】
可以使用列表法或树状图法把所有的情况列出来，然后找出两次正面向上的次数去比上投掷两次所产生的所有可能，这就是结果.
【详解】
解：设两个都是正面朝上的概率为P
一正 一反
二正 (正，正) (反，正)
二反 (正，反) (反，反)
根据表格可知，投掷两次一共有4种情况，两次正朝上只有1种情况，
∴P(两个都是正面朝上)=
【点睛】
本题考查列表法或树状图法求概率
3．B
【解析】∵1×4≠2×3，∴选项A不成比例；∵1×4=2×2，∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，∴选项C不成比例；∵3×1≠2×2，∴选项D不成比例故选B.
点睛：本题考查了比例线段，分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
4．D
【详解】
∵一元二次方程x2+(m 2)x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0,即(m 2)2 4×1×(m+1)=0，整理,得m2 8m=0，解得m1=0,m2=8.故选D.
5．D
【解析】
∵DE∥BC,EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE.
∵AD:DB=1:2，∴AD:AB=1:3.∵DE∥BC，∴DE:BC=AD:AB=1:3，即DE:30=1:3，
∴DE=10，∴BF=10.故FC的长为20cm.故选D.
点睛：此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出B=DE，从而利用转化思是解题的关键.
6．B
【解析】
设方程的另一根为，由根据根与系数的关系可得： 1= 5，
∴= 5.故选B.
7．D
【分析】
根据根与系数关系可得：x1+x2=-，x1 x2=.
【详解】
由题意知，x1+x2=-，x1 x2=.
故选D
【点睛】
本题考核知识点：根与系数关系. 解题关键点：熟记根与系数关系.
8．A
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EC的长．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴EC=0.9（cm）．
故选A．
【点睛】
考点：平行线分线段成比例．
9．C
【解析】
试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×=增长后的数量.
考点：一元二次方程的应用
10．C
【详解】
在菱形ABCD中,OC=AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2,OA=AC=1，
在矩形OCED中,由勾股定理得：CE=OD=，
在Rt△ACE中,由勾股定理得：AE=；故选C.
点睛:本题考查了菱形的性质，先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.
11．
【解析】
开方得x 2=±3即：当x 2=3时, =5；当x 2= 3时, = 1.
故答案为5或 1.
12．24
【解析】
如图所示：
设BD=6cm，AD=5cm，∴BO=DO=3cm，∴AO=CO==4(cm)
∴AC=8cm，∴菱形的面积是：×6×8=24(cm ).故答案为：24.
13．3.6
【详解】
根据题意得：,即，解得：d=3.6.故答案为3.6.
14．60°
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，
∵ED=3BE，∴BE:OB=1:2，∵AE⊥BD，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°；故答案为：60°.
点睛：此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．
15．
【解析】
∵(a+2)x -2x+3=0是关于x的一元二次方程，∴a+2≠0，∴a≠-2．
故答案为a≠-2．
16．8
【详解】
如图：
设正方形的边长为a,则2a =(2) ，解得a=2，翻折变换的性质可知AD=A′B′,A′H=AH,B′G=DG，阴影部分的周长=A′B′+(A′H+BH)+BC+(CG+B′G)=AD+AB+BC+CD=2×4=8，故答案为8.
点睛：本题考查的是翻折变换质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17．
【解析】
分析：首先将原方程变形化为一般式，然后利用因式分解法即可求得此方程的根．
本题解析： 原方程可化为：
∴ ∴ ∴
18．解：原方程化为：x2－4x=1
配方，得x2－4x+4=1+4
整理，得（x－2）2=5
∴x－2=,即，．
【详解】
解一元二次方程．根据一元二次方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
19．证明见解析
【分析】
由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形．
【详解】
解：如图，在 ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形．
20．证明见解析
【详解】
分析：要证EC=FC，只要证明三角形BCE和DCF全等即可，两三角形中已知的条件有BE=DF，CB=CD，那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD是菱形我们可得出∠ABC=∠ADC，因此∠EBC=∠FDC．这样就构成了三角形全等的条件．因此两个三角形就全等了．
本题解析：证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC ∴ 180°－∠ABC＝180°－∠ADC,∴ ∠EBC＝∠FDC ∴ △EBC≌△FDC ∴ EC＝FC
21．每件衬衫应降价元，进货件．
【解析】
【分析】
利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【详解】
设每件衬衫应降价x元．
根据题意,得(44 x)(20+5x)=1600，
解得x1=4,x2=18.
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=4应略去，
∴x=18.
20+5x=110.
答：每件衬衫应降价18元，进货110件.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率即是白球所占的比值；
（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验，此题要求画树状图，要按要求解答．
【详解】
解：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是
（2）记两个白球分别为白1与白2，画树状图如图所示：
从树状图可看出：事件发生的所有可能的结果总数为6，
两次摸出球的都是白球的结果总数为2，因此其概率.
23．（1）3t，3t；（2）当t=2时，PD=PQ，△DPQ为等腰三角形；（3）当 时，四边形BPDQ是菱形．
【解析】
分析：（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题．（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用等腰三角形三线合一的性质，DE=DQ，列出方程即可解决问题．（3）当PD=PB时，四边形BPDQ是菱形，列出方程即可解决问题．
本题解析：（1） , ；
（2）过点P作PE⊥CD于点E ∴ ∠PED＝90° ∵ PD＝PQ ∴ DE＝DQ
在矩形ABCD中，∠A＝∠ADE＝90°,CD＝AB＝16㎝
∴ 四边形PEDA是矩形 ∴ DE＝AP＝3 又∵ CQ＝2 ∴ DQ＝16－
∴ 由DE＝DQ ∴ ∴
∴ 当时，PD＝PQ，△DPQ为等腰三角形
（3）在矩形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，依题知AP＝CQ＝3
∴ PB＝DQ ∴ 四边形BPDQ是平行四边形
当PD＝PB时，四边形BPDQ是菱形 ∴ PB＝AB－AP＝16－3
在Rt△APD中，PD＝
由PD＝PB ∴ 即： 解得：
∴ 当时，四边形BPDQ是菱形.
点睛：本题考查四形综合题，路程、速度、时间之间的关系，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知决解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）8；（2）点B′的坐标为（0，6）；（3）80.
【解析】
分析：（1）在直线y=-x+8中令x=0可求得C点坐标，则可求得OC长度；（2）由折叠的性质可求得B′E，在Rt△AB′E中，可求得AB′，再由点E在直线CF上，可求得E点坐标，则可求得OA长，利用线段和差可求得OB′，则可求得点B′的坐标；（3）由（1）、（2）可求得OC和OA，可求得矩形ABCO的面积．
本题解析：（1）∵ 直线与轴交于点为C ∴ 令，则
∴ 点C（0，8） ∴ OC＝8
（2）在矩形OABC中，AB＝OC＝8，∠A＝90° ∵ AE＝3 ∴ BE＝AB－BE＝8－3＝5
∵是△CBE沿CE翻折得到的 ∴ EB/＝BE＝5
在Rt△AB/E中，＝
∵ 点E在直线上，∴ 设E（，3） ∴ ∴
∴ OA＝10 ∴ OB/＝OA－AB/＝10－4＝6 ∴ 点B/的坐标为（0，6）
（3）由（1），（2）知OC＝8，OA＝10 ∴ 矩形ABCO的面积为：OC×OA＝8×10＝80.
点睛：本题为一次函数的综合应用，涉及直线与坐标轴的交点、轴对称的性质、勾股定理、矩形的性质及方程思想等知识点．在（1）中注意求与坐标轴交点的方法，在（2）中求得E点坐标是解题的关键．本题涉及知识点不多，综合性不强，难度不大，较容易得分．
25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，求出DF即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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