卷子答案网-一个不只有答案的网站南昌市东湖区2023-2024学年高二上学期第一次月考
数学试卷
试卷总分： 150分 考试时长：120分钟
考试范围：立体几何、直线、解三角形
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若直线l的倾斜角为α,且45°≤α≤135°,则直线l斜率的取值范围为( )
A. [1, +∞) B. (-∞, -1]
C. [-1, 1] D. [l, +∞)∪(-∞, -1]
2. 已知直线l的一个方向向量为 2,-1 , 且经过点A l,0 , 则直线l的方程为 ( )
A. x-y-1=0 B. x+y-1=0
C. x-2y-1=0 D. x+2y-1=0
3. 已知直线l : （3+2λ）x+（4+λ）y+（-2+2λ）＝0（λ∈R），l ： x+y-2＝0， 若l ∥l ， 则l 与l 间的距离为( )
B. C. 2
4 若直线kx-y+2k-1=0恒过点A, 点A也在直线mx+ny+2=0上, 其中m,n均为正数, 则mn的最大值为( ) A. B. C. 1 D. 2
5. 已知实数x,y满足3x-4y-6=0, 则 的最小值为( )
A. 2 c.
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥P-ABCD为阳马,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若 则x+y+z=( )
A. 1 B. 2 C. D.
7如图，在长方体ABCD-A B C D 中,AA =AD=2, AB=3,P为线段BD上的动点,当直线AP与平面AB D 所成角的正弦值取最大值时，
A. B. c.
8如图，在平行六面体ABCD-A B C D '中， 以顶点A为端点的三条棱长都是a，且AB⊥AD，∠A AB=∠A AD=60°, E为CC 的中点, 则点E到直线AC 的距离为( )
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得５分， 部分选对的得２分， 有选错的得０分。
9. 已知直线 :(a+1)x+ay+2=0, :ax+(1-a)y-1=0, 则 ( )
A 恒过点(2,-2) B. 若 ∥ ,则
C. 若 ⊥ , 则a =1 D. 当0≤a≤1时, 不经过第三象限
10 已知 ABCD- A B C D 为正方体, 下列说法中正确的是( )
C. 向量 与向量 的夹角是60° D. 正方体 ABCD- A B C D 的体积为
11.在正三棱柱ABC-A'B'C'中, 所有棱长为1, 又BC'与B'C交于点O, 则 ( )
B. AO⊥B'C
C. 三棱锥A-BB'O的体积为 D. AO与平面 BB' C' C所成的角为π/6
12.下列物体中，能够被整体放入棱长为l(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A. 直径为0.99m的球体 B. 所有棱长均为1.4m的四面体
C. 底面直径为0.0lm, 高为1.8m的圆柱体 D. 底面直径为1.2m,高为0.0lm的圆柱体
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13 已知向量=(1,x,-2), =(0,1,2), =(1,0,0),若,,共面, 则x等于
14 过点A(3, -1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是 .
15 一条光线经过点 A(3,5)射到直线 x+y+1=0上,被反射后经过点 B(2,1),则入射光线所在直线的方程为
16 如图，球O为长方体ABCD-A B C D 内能放入的体积最大的球， EF 是球O的一条直径，P为该长方体表面上的动点，且AA =2AB=2AD=4,则 的最大值为 .
四、解答题： 本题共6小题， 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
17. 根据下列条件， 求直线的一般方程.
(1)过点A(3,1), 且与直线x+3y+2=0平行;
(2)与直线2x-y+1=0垂直，且与x， y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4.
18. 已知直线 : 3x+2y+6=0,直线 : 2x-3m y+18=0,直线l : 2mx -3y+12=0.
(1) 若 与 的倾斜角互补,求m的值;
(2)当m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.
19.△ABC的内角A,B, C的对边分别为a, b, c, 其中 且满足
(1)求△ABC的外接圆半径;
(2)若∠B的平分线BD交AC于点 D,且 求△ABC的面积.
20 如图, 在正四棱柱ABCD-A B C D 中, AB=2, AA =4, 点 A , B , C , D 分别在棱
AA , BB , CC , DD 上, AA =1, BB =DD =2, CC =3.
(1)证明：B C ∥A D ;
(2)点P在棱 BB 上, 当二面角P-A C -D 为 150°时, 求B P.
21.图①是直角梯形 ABCD,AB∥CD,∠D=90°,四边形ABCE是边长为2的菱形,并且∠BCE=60°, 以BE为折痕将△BCE折起,使点C到达C 的位置,且.
(1)求证: 平面BC E⊥平面ABED;
(2)在棱DC 上是否存在点P，使得点P到平面ABC 的距离为 若存在，求出直线EP与平面ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
22. 如图， 圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB，CD为两条互相垂直的直径， Q是底面圆周上的动点(异于A，B)，且C，Q在直径AB的两侧.已知PO=OB=1.
(1)若 求证: PQ⊥AC;
(2)若在线段PQ上存在点T(异于P,Q),使得BT//平面PAC,记∠QOB=θ(θ∈(0,π))求∠QOB 的取值范围.高二数学第一次月考答案
1．若直线 l的倾斜角为α，且 45°≤α≤135°，则直线 l斜率的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．[－1，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－1]
答案 D
2．已知直线 l的一个方向向量为(2,-1)，且经过点 A(1,0)，则直线 l的方程为（ ）
A． x y 1 0 B． x y 1 0
C． x 2y 1 0 D． x 2y 1 0
【答案】D
3．已知直线 l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，若 l1∥l2，则
l1与 l2间的距离为（ ）
2
A． B． 2 C．2 D．2 2
2
故选：B．
4 若直线 kx y 2k 1 0恒过点 A，点 A也在直线mx ny 2 0上，其中m,n均为正数，
则mn的最大值为（ ）
1
A． B 1． 2 C．1 D．24
【答案】B
【详解】因为 kx y 2k 1 0，则 k x 2 y 1 0 ，
x 2 0 x 2
令 ，解得 ，即直线 kx y 2k 1 0恒过点 A 2, 1 .
y 1 0
y 1
又因为点 A也在直线mx ny 2 0上，则 2m n 2 0，
可得2m n 2，且m,n 1 0，则 2m n 2 2 2mn，即 0 mn ，当且仅当2m n 1时，2
1
等号成立所以mn的最大值为 2 .
5．已知实数 x，y满足 3x－4y－6＝0，则 x2＋y2－2y＋1的最小值为( )
A．2 B.3 C.2 D.9
5 5 5
答案 A
解析 由实数 x，y满足 3x－4y－6＝0，则 x2＋y2－2y＋1＝ x2＋（y－1）2表示点(0，1)与
直线 3x－4y－6＝0上的点(x，y)之间的距离，所以 x2＋y2－2y＋1的最小值为点(0，1)到直
{#{QQABJaQQSUQgggioAAAABBJAAQAhgCAwEXACEkACQkABAECAIKooOOhBABAAMMsAsAAAgQwNRANBAABA=A}=#}}#}
|3×0－4×1－6|
线 3x－4y 6 0 10－ ＝ 的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为 ＝ ＝2.故选
32＋42 5
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳
马．如图，四棱锥P ABCD为阳马，PA 平面 ABCD，且EC 2PE，
若DE xAB yAC zAP，则 x y z （ ）
1 5
A．1 B． 2 C． D．
3 3
【答案】A
【详解】 EC 2PE， PE 1 PC，
3
1 1
DE AE AD AP PE AD AP PC AD AP AC AP AD3 3
2
AP 1 AC AD 2 AP 1 AC BC 2 AP 1 AC AC AB
3 3 3 3 3 3
2 2
AP AC AB，
3 3
2 2
x 1， y ， z ， x y z 1.故选：A.
3 3
7 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AA1 AD 2，AB 3，P为线段 BD上的动点，
DP
当直线 AP与平面 AB1D1所成角的正弦值取最大值时， （ ）DB
1 2 4
A. 12 B. C. D.3 5 13
【答案】D
【详解】
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建立如图所示空间直角坐标系，
D(0,0,0), A(2,0,0),B(2,3,0),B2 (2,3,2),D1(0,0,2),DB (2,3,0),
设DP DB (2 ,3 ,0),
则 P(2 ,3 ,0), AP (2 2,3 ,0), AB1 (0,3,2), AD1 ( 2,0,2).
设平面 AB1D1的法向量为 n (x, y, z).
AB
1 n 0, 3y 2z 0,
则 即 ,令 z 3,则n (3, 2,3).
AD1 n
0, 2x 2z 0,
| cos n, AP | | n A P | 6 .
| n || AP | 22 13 2 8 4
设直线 AP与平面 AB1D1所成角为 ，则
sin 6 ,
22 13 2 8 4
4当 时， sin 最大，
13
8 如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条棱长都是 a，且 AB AD，
A1AB A1AD 60 ，E为CC1的中点，则点 E到直线 AC1的距离为（ ）
A 5 5． a B． a C 5． a D 5． a
10 5 4 3
【答案】A
【详解】 在平行六面体 ABCD A1BC D
1 1 1中，不妨设 AB d ， AD b， AA1 c．
1
AC1 AB AD AA1 d b c
,C1E=- c，2
d b c a d b 1 1， 0, d c b c a a a2，
2 2
2 2 2 C E 1所以 AC1 d b c = d b c 2d b 2d c 2c b 5a， 1 = a，2
{#{QQABaJQQSUQgggioAAAABBJAAQAhgCAwEXACEkACQkABAECAIKooOOhBABAAMMsAsAAAgQwNRANBAABA=A}=#}}#}
C E AC 1 1 1 1 - c d b c =- c d c b c c a2，2 2
2
2
2
2
所以 E到直线 AC1的距离为 d C1E C
AC1 1 2 a 5
1
E a
4
a，
AC1 5a
10
故选：A
9. 已知直线 l1 : (a 1)x ay 2 0 ， l2 : ax (1 a)y 1 0，则（ ）
1
A l (2, 2) B. l //l a2. 1恒过点 若 1 2，则 2
C. 若 l 21 l2，则 a 1 D. 当0 a 1时， l2不经过第三象限
【答案】BD
【详解】对于选项 A：直线 l1的方程可化为： a(x y) x 2，
x y 0 x 2
令 得： ，所以直线 l 恒过点 ( 2,2)，
x 2 0 y 2
1
故选项 A错误，对于选项 B：若 a 0时， l1 : x 2, l2 : y 1显然不平行，
若 a 1时， l1 : 2x y 2 0, l2 : x 1显然不平行，所以若 l1//l
a 1 a
2，则 ，a 1 a
2 1
2
1
且 ，解得 a ，
a 1 a 2
故选项 B正确，对于选项 C：若 l1 l2，则 (a 1)a a(1 a) 0，解得 a 0，故选项 C
错误，对于选项 D：若直线 l2不经过第三象限，
a
0
当 a 1 1 a时，直线 l2 : x 1，符合题意，当 a 1时，则 ，解得0 a 1，
1 0
1 a
综上，0 a 1，故选项 D正确，故选：BD.
10已知 ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
2 2
A． A1A A1D1 A B 3 A AC A B A A 01 1 1B1 B． 1 1 1 1
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C．向量AD1与向量 A1B的夹角是 60°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 AB AA1 AD
【答案】AB
【详解】
2 2 2 2
由向量的加法得到：A1A A1D1 A1B1 A1C ，∵A1C 3A1B1 ，∴ A1C 3 A1B1 ，
所以 A正确；
∵ A1B1 A1A AB1，AB1⊥A1C，∴A1C AB1 0，故 B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又 A1B∥D1C，∴异面直线 AD1与 A1B所成的
夹角为 60°，但是向量AD1与向量 A1B的夹角是 120°，故 C不正确；
∵AB⊥AA1，∴AB AA1 0，故 AB AA1 AD ＝0，因此 D不正确.
故选：AB.
11.在正三棱柱 ABC A B C 中，所有棱长为 1，又 BC 与B C交于点O，则（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur
A． AO = AB AC AA B． AO B C2 2 2
π
C．三棱锥 A BB O 3的体积为 D． AO与平面 BB′C′C 所成的角为
24 6
【答案】AC
【详解】由题意，画出正三棱柱 ABC A B C 如图所示，
1 1
向量 AO AB BO AB BC BB AB AC AB 1 AA 2 2 2
1 uuur 1 uuur 1 uuur
AB AC AA ，故选项 A正确；
2 2 2
2 1 2
2
3
在△AOC中， AC 1，OC= ，OA 1，2 2 2
OA2 OC 2 AC 2 ，所以 AO和B C不垂直，故选项 B错误；
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1
在三棱锥 A BB O中，SBB O ，点 A到平面 BB O的距离即 ABC 中 BC 边上的高，所4
以 h 3 1 ，所以VA BB O S h
1 1 3 3
BB O ，故选项 C正确；2 3 3 4 2 24
设 BC 中点为D，所以 AD BC ，又三棱柱是正三棱柱，所以 AD 平面 BB C C，
所以 AOD即 AO与平面 BB′C′C所成的角，
1
cos AOD OD 1 2 ，所以 AOD ，故选项 D错误.故选：AC
OA 1 2 3
12．下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不
计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
【答案】ABD
【详解】对于选项 A：因为0.99m 1m，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故 A 正确；
对于选项 B：因为正方体的面对角线长为 2m，且 2 1.4，
所以能够被整体放入正方体内，故 B 正确；
对于选项 C：因为正方体的体对角线长为 3m，且 3 1.8，
所以不能够被整体放入正方体内，故 C 正确；
对于选项 D：因为1.2m 1m ，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过 AC1的中点O作OE AC1，设OE I AC E ，
CC OE
可知 AC 2,CC1 1, AC1 3,OA=
3
，则 tan CAC 1
2 1
，
AC AO
1 OE
6
即 2 3 ，解得OE ，
2 4
2
6 3 9 9 6
且 2 0.6 ，即 0.6，
4 8 24 25 4
故以 AC1为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，
若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心O1，与正方体的
下底面的切点为M ，
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可知： AC1 O1M,O1M 0.6，则 tan CAC
CC1 O 1M1 AC AO ，1
1 0.6
即 AO ，解得 AO1 0.6 2，2 1
根据对称性可知圆柱的高为 3 2 0.6 2 1.732 1.2 1.414 0.0352 0.01，
所以能够被整体放入正方体内，故 D 正确；
故选：ABD.
13
．已知向量 a (1, x, 2)，b (0,1, 2) c ， (1,0,0)，若 a ,b ,c 共面，则 x等于
a
,b ,c a
1b c因为 共面，设 2
所以 a 0, 1, 2 1 2 ,0,0 2 , 1, 2 1 (1, x, 2)
解得： 2 1, x 1 , 1 1，即 x 1
14 过点 A（3，﹣1）且在 x轴和 y轴上的截距相等的直线方程是 x+3y＝0，或 x+y﹣2＝
0 ．
【解答】解：当过点 A（3，﹣1）且在 x轴和 y轴上的截距相等的直线经过原点时，
1 1
它的斜率为 = 1，它的方程是 y= 3x，即 x+3y＝0．3 3
当过点 A（3，﹣1）且在 x轴和 y轴上的截距相等的直线不经过原点时，
设它方程为 x+y＝k，把点 A代入，可得 3﹣1＝k，求得 k＝2，它的方程是 x+y﹣2＝0．
综上，所求的直线的方程为 x+3y＝0，或 x+y﹣2＝0，
故答案为：x+3y＝0，或 x+y﹣2＝0．
15一条光线经过点 A（3，5）射到直线 x+y+1＝0上，被反射后经过点 B（2，1），则入射光
线所在直线的方程为 8x﹣5y+1＝0 ．
1
【解答】解：设 B（2，1）关于直线 x+y+1＝0的对称点为 P（a，b），则 ×（﹣1）
2
+2 +1
＝﹣1， + +1＝0，
2 2
解得 a＝﹣2，b＝﹣3．
∴点 P（﹣2，﹣3）在入射光线所在直线上，
3 5
则入射光线所在直线的方程为：y﹣5= 2 3（x﹣3），化为：8x﹣5y+1＝0，
故答案为：8x﹣5y+1＝0．
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16. 如图，球O为长方体 ABCD A1B1C1D1内能放入的体积最大的球， EF 是球O的一条
直径， P为该长方体表面上的动点，且 AA1 2AB 2AD 4
，则 PE PF 的最大值为
________.
【答案】10
【详解】根据题意，球O的半径为 1，
2
PE PF (PO OE) (PO OF ) PO PO OF
2 2
PO OE OE OF PO OE OF PO 1,
当球O与平面 A1B1C1D1相切，点 P为四边形 ABCD顶点时，
2 2 2 2
PO PO 取得最大值，所以 PO 1 AO 1 10，
故答案为:10.
17. 根据下列条件，求直线的一般方程．
（1）过点 A 3,1 ，且与直线 x 3y 2 0平行；
（2）与直线2x y 1 0垂直，且与 x， y轴的正半轴围成的三角形的面积等于 4．
【答案】（1） x 3y 6 0
（2） x 2y 4 0
【小问 1 详解】
与直线 x 3y 2 0平行的直线，可设为 x 3y b 0，
将 A 3,1 代入得3 3 b 0，解得b 6，所以直线为： x 3y 6 0 .
【小问 2 详解】
m
与直线2x y 1 0垂直的直线可设为 x 2y m 0，当 x 0时 y ，当 y 0时，
2
{#{QQABaJQQSUQgggioAAAABBJAAQAhgCAwEXACEkACQkABAECAIKooOOhBABAAMMsAsAAAgQwNRANBAABA=A}=#}}#}
x m，因为与 x， y轴的正半轴围成的三角形的面积等于 4，
1 m
所以 m 4 m 0 ，解得m 4，所以直线为： x 2y 4 0 .2 2
18．已知直线 l1：3x+2y+6＝0，直线 l2：2x﹣3m2y+18＝0，直线 l3：2mx﹣3y+12＝0．
（1）若 l1与 l2的倾斜角互补，求 m的值；
（2）当 m为何值时，三条直线能围成一个直角三角形．
3
【解答】解：（1）直线 l1：3x+2y+6＝0的斜率为 2，
2
直线 l2：2x﹣3m2y+18＝0的斜率为3 2
，
3 2
∵l1与 l2的倾斜角互补，∴ 2+ 3 2 = 0 m=±
2
，解得 3；
（2）由题意，若 3x+2y+6＝0和 2x﹣3m2y+18＝0垂直，则 3×2+2×（﹣3m2）＝0，解
得 m＝±1，经验证当 m＝1时，后面两条直线平行，构不成三角形，故 m＝﹣1；
同理，若 3x+2y+6＝0和 2mx﹣3y+12＝0垂直则 6m﹣6＝0，解得 m＝1，应舍去；
若 2x﹣3m2y+18＝0和 2mx﹣3y+12＝0垂直，
则 4m+9m2＝0 4，解得 m＝0或 m= 9，经验证均符合题意，
故 m 4的值为：0，﹣1， 9．
19.△ABC A B C a b c = 3 2 sin sin 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 ，且满足 = ．
sin sin
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若∠B的平分线 BD交 AC于点 D，且 = 3，求△ABC的面积．
(1) 6(2)3 3【答案】
2
1 sin = sin 【详解】（ ） ，
sin sin
2 2
由正弦定理，得 = ，则 2 + 2 2 = ，
2 2 2
即 cos = + = 1，因为 0 < < π π，所以 = ，
2 2 3
设△ABC 3 2的外接圆半径为 R，由正弦定理知 2 = =
sin 3
= 2 6，
2
所以△ABC的外接圆半径为 6．
（2）由 BD平分∠ABC，得 △ = △ + △ ，
1 π 1
则 sin = × 3 × sin π + 1 × 3 × sin π，即 = + ．
2 3 2 6 2 6
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在△ABC中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos π，
3
又 = 3 2，则 2 + 2 = 18 = + ，联立 2 2 2 + 2 = 18，可得 3 18 = 0，
解得 = 6（ = 3 1舍去）．故 △ = sin
π = 1 × 6 × 3 = 3 3．
2 3 2 2 2
20 如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，点 A2，B2，C2，D2分别在棱
AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
(1)证明：B2C2∥A2D2；
(2)点 P在棱 BB1上，当二面角 P－A2C2－D2为 150°时，求 B2P.
解析 (1)证明：如图，以 C为坐标原点，分别以 CD，CB，CC1所在直线为 x轴、y轴、z
轴建立如图所示空间直角坐标系 C－xyz.
则 B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)，
B→C (0 2 1) A→D (0 2 1) B→2 2＝ ，－ ， ， 2 2＝ ，－ ， ，∴ 2C2＝A→2D2，又 B2 A2D2，
∴B2C2∥A2D2.
(2)令 P(0，2，t)(0≤t≤4)，则P→A2＝(2，0，1－t)，A→2C2＝(－2，－2，2)．设
平面 PA2C2的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
n1·P→A2＝0， 2x1＋（1－t）z1＝0，
则 ∴
n →1·A2C2＝0， －2x1－2y1＋2z1＝0.
不妨设 z1＝2，则 x1＝t－1，y1＝3－t，∴n1＝(t－1，3－t，2)．
设平面 A2C2D2的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
n →2·A2C2＝0， －2x2－2y2＋2z2＝0，
则 ∴
n →2·A2D2＝0， －2y2＋z2＝0.
不妨设 z2＝2，则 y2＝1，x2＝1，n2＝(1，1，2)．
∵二面角 P－A2C2－D2为 150°，
3 |n1·n2| 6
∴－ ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－ ＝－ ，
2 |n1||n2| （t－1）2＋（3－t）2＋4· 6
∴t＝1或 3，∴B2P＝1.
21．图①是直角梯形 ABCD， AB//CD， D 90 ，四边形 ABCE是边长为 2的菱形，并且
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BCE 60 ，以 BE为折痕将 BCE折起，使点C到达C1的位置，且 AC1 6 .
(1)求证：平面BC1E 平面 ABED；
(2)在棱DC 151上是否存在点 P，使得点 P到平面 ABC1的距离为 ？若存在，求出直线 EP与
5
平面 ABC1所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2) 15存在，直线 EP与平面 ABC1所成角的正弦值为
5
【详解】（1）在图①中，连接 AC，交 BE 于O，
四边形 ABCE是边长为 2的菱形， BCE 60 ， AC BE，OA OC 3；
在图②中，相交直线OA,OC1均与 BE 垂直， AOC1是二面角 A BE C1的平面角，
AC 6 OA2 2 21 ， OC1 AC1 ， OA OC1， AOC1 90
， 平面 BC1E 平面 ABED .
（2）以O为坐标原点，OA,OB,OC1 正方向为 x, y, z轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
3 3
则D , ,0 ，C1 0,0, 3 ， A 3,0,0 ， B 0,1,0 ， E 0, 1,0 ，
2 2
3 3 DC , , 3 AD 3 , 3
1 ， ,0 ， AB 3,1,0 ， AC1 3,0, 3 ，
2 2 2 2
AE 3, 1,0 ，
DP DC 3 3
设 1 , , 3 ， 0,1 ，
2 2
3 3 3 3
则 AP AD DP , , 3 ，
2 2 2 2
设平面 ABC1的一个法向量 n x, y, z ，
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AB n
3x y 0
则 ，令 x 1，解得： y 3， z 1， n 1, 3,1 ；
AC1 n 3x 3 z 0
AP n 2 3 2 3
ABC d 15 1点 P到平面 1的距离 ，解得： 或
3
（舍），
n 5 5 2 2
AP 3 3 , 3 , 3 ， EP AP
3 1 3
AE , , ，
4 4 2
4 4 2
EP n
cos EP,n 3 15 ，
EP n 5 5
15直线 EP与平面 ABC1所成角的正弦值为 .
5
22．如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为O, AB,CD为两条互相垂直的直径，Q是底面圆周
上的动点（异于 A,B），且C,Q在直径 AB的两侧.已知 PO OB 1.
QOB π(1)若 ，求证： PQ AC；
4
(2)若在线段 PQ上存在点T（异于 P,Q），使得 BT / /平面PAC，记 QOB 0, π 求
QOB的取值范围.
π
【答案】(1)证明见解析(2) 0, 2
（1）
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解：因为 PO 平面 AOC, AC 平面 AOC，所以 PO AC，
π π
当 QOB 时，则 QOB QOD ，如图，连接 BD
4 4
则 BD OQ因为 AB CD，又OA OB,OC OD，所以 AOC BOD，则 BD AC
所以 AC OQ因为 PO QO O,PO,QO 平面 POQ，所以 AC 平面 POQ，
因为 PQ 平面 POQ，所以PQ AC；
（2）
解：分别以 OB,OD,OP 为 x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
设 QOB 0, π ，
则 A 1,0,0 ,B 1,0,0 ,C 0, 1,0 ,P 0,0,1 ,Q cos ,sin ,0 ，
所以 PA 1,0, 1 ,PC 0, 1, 1 ，
设平面PAC的法向量为m x, y, z ，
m PA=0 x z=0
则 ，取 x=1，则 z 1, y 1 m y z=0 ，所以 1,1, 1 ， m PC=0
设 PT tPQ t 0,1 ，因为 PQ cos ,sin , 1 ，
所以 PT tcos , tsin , t ，所以BT BP PT tcos 1, tsin ,1 t ，
因为 BT / /平面PAC，所以 BT m tcos 1 tsin t 1 0 ，
即 cos sin
2
1， t 0,1
t
所以 sin
π 2 2 2
, sin
π 2 ，所以 0, π4 t 2 ， 2 4 2
π
解得
0, 2
.
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