广东省深圳市南山区2022-2023高一下学期3月月考数学试题（含解析）

1
7．设 M为△ABC 内一点，且 AM AB
1
AC，则 ABM 与 ABC的面积之比为（ ）
4 5
2022-2023 学年第二学期 高一年级三月月考 1 1 4 5A． B． C． D．
5 4 9 9

数学试卷 8．在△ABC 中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，(a c)(sin A sinC) b sin B a sin B，b 2a 4，CA 3CD 2CB，
则线段 CD长度的最小值为（ ）
： 、本试卷满分 150 分；考试时间为 120 分钟； A 2 2 2 3．2 B． C．3 D．
3 3
2、本试卷分试题卷、答题卷两部分，考试结束，只交答题卷
一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
二、选择题(本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
题目要求的)
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分)

1．已知向量 a 1,2 ,b x, 4 ，且 a b，则 x＝（ ）.
9．在△ABC 中，角A ，B，C所对的边分别为 a，b，c，且b 2 ，A .若 ABC3 有唯一解，则 a的值可以是（ ）
A．8 B．2 C．4 D 1． 2 A．1 B． 3 C． 2 D． 5
2．在△ABC 中,已知 a 3 ,b 2 ,B 45 ,则A 角的度数为（ ）
10．函数 f x sin x 0 的最小正周期为 ， f x f ，下列说法正确的是（ ）
8
A．60 B．120 C．60 或120 D．30
A． f x 的一个零点为 B． f x 是偶函数
3．如图，在平行四边形 ABCD中，M 为 AB的中点， AC与DM 交于点O，则OM （ ） 8 8
1 1 1 2 OM AB AD OM f x AB AD C．
3 7
在区间 , 上单调递增 D． f x 的一条对称轴为 x
3

A． B．
3 3 8 86 3 8
1 1 1 1 11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开
C．OM AB AD D．OM AB AD
2 2 4 3
合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形 COD，其中
4．函数 f x Asin x （ 0， ）的部分图象如图所示， f x 图象与 y轴交于M 点，与 x轴交于C点， 2π 2 COD ，OC 3OA 3，动点 P在C D上（含端点），连结 OP交扇形 OAB的弧 AB于点 Q，且OQ xOC yOD，3
点 N在 f x 图象上，点M 、N关于点C对称，则下列说法中正确的是（ ） 则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f x 的最小正周期是2 A．若 y x，则 x y 2
3
f x 5

B．函数 的图象关于点 , 0

对称 B．若 y 2x，则OA OP 0
6

C f x 2 , C． AB PQ 2．函数 在 3 6 单调递减
11
D．函数 f x 的图象向右平移 后，得到函数 g x 的图象，则 g x D． PA PB 为偶函数
6 2
sin 2 a b a b sin
5 a ( 2,cos ) a = (x , y ) b = (x , y )．已知向量 ，b (1,sin ) 12．已知非零向量 a，b的夹角为 ，现定义一种新运算： ．若 1 1 ， 2 2 ，c (x , y )，，且 a / /b，则 （ ） 3 32cos2 3
4 4 4 4 则（ ）
A． B． C． D．
23 17 17 23
a b
9
0,
6．已知 O是△ABC 的外心,且满足 2AO AB AC ,若BA在 BC上的投影向量为 BC ,则cos AOC
A． a在b上的投影向量的模为 B．
（ ） a ，2 a b a b10
3 4
A B 10 C D 3 10

． ． ． ．
5 5 C． a b x10 10 1
y2 x2y1 D． a (b c) a b a c
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.) A C20．（12 分）已知△ABC 中，a，b，c是角 A，B，C所对的边， a sin b sin A，且 a 1 .
2
13．已知 a 2 ， b 1
3
，向量 a，b的夹角为 ，则4
+ =______． (1)求角 B；
2 2 14．在△ABC 中，内角A 、B、C所对的边分别是 a、b、c，若 c2 a b 3，C ，则 ABC的面积为___________. (2)若 AC BC，在△ABC 的边 AB，AC上分别取 D，E两点，使V ADE沿线段 DE折叠到平面 BCE后，顶点 A正
3
4 好落在边 BC（设为点 P）上，求 AD的最小值.
15．若 cos ，则 sin 2 _________.
6 5 6
16 3 1．若方程 sin x cos x 3 cos2 x 在 0, 上的两个不等实根为 ， ，则 cos x1 x2 ______．
2 5 1 2
四、解答题(本大题共 6小题，共 70 分.)
1
17．（10 分）已知 ， 为锐角， cos ， cos 11 .
7 14
cos π cos π
2 21．（12 分）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为 30 米，轮上最低点与地面的距离为 2 米，沿逆(1)求 的值；
sin 3π 时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T 24分钟．在圆周上均匀分布 12 个座舱，标号分别为1 ~ 12（可视为点），
2
cos 现从图示位置，即 1 号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为
t分钟．
(2)求 的值.
(1)当 t 6时，求 1 号座舱与地面的距离；
(2)记 1 号座舱与 5 号座舱高度之差的绝对值为H米，若在0≤ t≤ t0 这段时间内，H恰有三次取得最大值，求 t0 的
取值范围．
18．（12 2分）已知函数 f (x) sin x 3 sin x sin(x
π
) .
2
π
(1)求 f ( )的值；
12
x (2)当 [0, ]时，求函数 f (x)的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时对应自变量x的取值．
2
3
22．（12 分）已知 = ， ，b cos x, 3 cos x ， f x a b a 0 .函数 y f x 的最小2
19．（12 分）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b c 3 a2， ，已知 c2 b2 2bc sin A.
正周期为
(1)求角 B的大小；
(2)设 M，N分别为 BC，AC的中点，AM与 BN交于点 P，若 a 2c，求 sin∠MPN的值. （1）求函数 f x 在 0, 内的单调递增区间；
2 x

（ ）若关于 的不等式 f x 2m sin x 6 4
2 cos x 在 0, 内恒成立，求实数m的取值范围. 4 2
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页高一年级三月月考数学 1 1 7．A【详解】如图所示，∵点 M是△ABC所在平面内一点，且满足 AM AB AC，
4 5
参考答案 1以 AD，AE为邻边作平行四边形 ADME，延长 EM交 BC与 F， AE AC，
5
1．A【详解】由题意得： 1 x 2 4 0，解得： x 8 .故选：A S AE 1
则EF / /AB ABM，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比，所以 ．
a b 2 2 3 S ABC AC 5
2．C【详解】由题知 a 3 ,b 2 , , ABC , :
2
B 45 在 中 由正弦定理可得 sin A sin B sin 45 2 sin A , 8．D【详解】解：由 (a c)(sin A sinC) b sin B a sin B及正弦定理，得 (a c)(a c) b 2 ab ，即 a2 b2 c2 ab，
2
sin A 3
a2 b2 c2 1
解得 ,因为 a 3 b 2 , 45 A 180 ,所以 A 60 或120 .故选:C 由余弦定理得，cosC ，∵C 0, C 1 2，∴ ．由3 CA 3CD 2CB，CD CA CB，2 2ab 2 3 3
AO xAC x AB AD 2xAM xAD O,D,M 2CD 1 4 4 2 2CA CA CB CB CD 1 b2 4 a2 4 ab cosC 1 b2 4 2 1 23．A【详解】解：设 AO xAC，则 ，因为 三点共线， 两边平方，得 即 a2 ab b 2a 2 ab9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
1 1 1 1 1
所以 2x x 1，解得 x ，则 AO xAC AB AD OM
1 1 1
所以 OA AM AB AD AB AB AD .
3 3 3 3 3 2 6 3 1 b 2a 2 1 b 2a
2
1 b 2a a 1 2 b 2a
2 1 2 4
，当且仅当 ，即 时取等号，即CD (b 2a) ，
9 9

2 12 b 2a 4 b 2 12 3
4．B【详解】点M 、 N关于点C 对称，则C ,0 ，T 2 ，所以 A 错误；
3 3 6
CD 2 3∴线段 长度的最小值为 ．故选：D．
2

由 2，可得 f x A sin 2x ，代入 , A
，可得 1
3
，
T 12 6
9．BD 【详解】解：因为b 2 ，A 3 ，因为 ABC有唯一解，所以 a b sin A 3 或a b 2，即 a 3 2, . 5 5 2k k Z 解得 ， ， ，则 ，即 f x Asin 2x ，因为 f Asin 0，3 2 3 3 6 3 3
10 2 ．ABD【详解】由函数 f x sin x 0 的最小正周期为 ，得 ，得 2，
5 7
所以 f x 的图象关于点 , 0 对称， x 对称，故 B 正确；
6 12 f x f 又 ， f x f ，即 2 2k k Z ，得 2k k Z ，
f x k , 7 k 7 k , 5 2
8 max 8
由图象可得 在 ， k Z 递减，在 k

， k Z 递增，则 f x 在 ,
5 8 2 4
递
3 12 12 6 3 12
5 故 f x sin 2x

2k
sin 2x f sin 2
, ，因为
0 ，故选项 A 正确；
减，在 递增，所以 C 错误；函数 f x 的图象向右平移 后，可得 g x Asin 2x，是奇函数，D 错误. 4 4 812 6 6 8 4

5．A 1【详解】因为向量 a ( 2,cos )，b (1,sin ) ，且 a / /b，所以 2sin cos 0，则 tan 2 ， f x 又 sin 2
x sin 2x cos2x ，故选项 B 正确；
8 8 4 2
2 1
sin 2 2sin cos 2 tan 2 4 3 7 3 7
而 2 2 2

2 3 .故选：A. 当
x , , 2x , 2 ，所以 f x 在区间 , 不单调；故选项 C 不正确；2cos 3 5cos 3sin 5 3tan 5 23 8 8 4 8 8
4
3 3
6．C【详解】解:由题知, 2AO AB AC ,所以 2AO AO OB AO OC ,即OB OC , 由 f sin 2 sin 1，故选项 D 正确；故选：ABD. 8 8 4

2
所以 B,O,C三点共线,且O是 BC的中点,
11．ABD【详解】如图，作OE OC ,分别以OC ,OE为 x，y轴建立平面直角坐标系，
因为 O是 ABC的外心,所以 BC是圆的直径, 2π
则 A(1,0),C(3,0),B( 1 3 3 3 3 , ),D( , ) ，设Q cos ,sin , 0, ，则 P(3cos ,3sin )，
故 ABC是以 A为直角顶点的直角三角形, 2 2 2 2 3
3
过A 向 BC作垂线,垂足为 N ,连接 AN ,如图所示: 由OQ xOC yOD可得 cos 3x y,sin
3 3
y ，且 x 0, y 0，
2 2
9 3 3 3
因为 BA在 BC上的投影向量为 BN BC ,所以OA在 BC上的投影向量为: 若 y x，则 cos2 sin2 (3x x)2 ( x)2 1，10 2 2
2 1 2
9
解得 x y ，（负值舍去），故 x y ，A 正确；
ON BN BO BC 1 BC 2 BC |OA | 1
ON BC 3 3
,而 | BC | ,则 cos AOC 4 51 .故选:C.10 2 5 2 OA BC 5 3
2 若 y 2x，则 cos 3x y 0， sin 1，所以OP (0,3)，所以OA OP (1,0) (0,3) 0，故 B 正确；2
第 1页 共 6页 ◎ 第 2页 共 6页
π 2π π π π
AB PQ ( 3 , 3 ) ( 2cos , 2sin ) 3 sin 3cos 2 3 sin ，由于
2 2 3
0, ，故 , ， 3 3 3 3 【详解】解：sinxcosx 3cos2x
3 1
sin2x 3 1 cos2x 3 1 sin2x 3 cos2x 1 sin 2x ，当 x 0,
π
2 2 2 2 2 2 3 5
故 3 2 3 sin 1 3 3 ，故 C 错误；由于3 PA (1 3cos , 3sin ),PB ( 3cos , 3sin )， 2 2 5 2x sin 2x 时， ．由题意可得 1 sin 2x
1

17 π π π 5π 3 3 3 3 2 3
，根据正弦函数的对称性得
5
故PA PB (1 3cos , 3sin ) ( 1 3cos , 3 3sin ) 3sin ，而 , ，所以
2 2 2 6 6 6 6 2x 2x 5 5
sin π 1,1

PA 17 PB 3sin π 17
1 2 x x x x
，所以 3
11
D ABD
3 3 ，即 1 2 ，则 2 1 ，所以
，故 正确，故选： 6 6
6 2 2 6 2 2 2 2

12．BC【详解】因为 a b a b sin ， a b a b cos ， cos x1 x cos

x 5 x cos 2x 5 12 1 1 1 cos

2x1 sin
1
6 6 3 2
2x1 ．故答案为： .
3 5 5
a b
对于 A， a在b上的投影向量的模为 a cos ， b sin ，又 a cos b sin a ，故 A 错误；
2 2 2
对于 B，当 时， a b a b，故 B 正确；对于 C，因为 (a b)2 +(a b)2 a b ， 17．(1)因为 为锐角，所以 sin 0，4 sin 1 cos
2 1 1 4 3 ，
7 7
2 2
所以 (a b)2 a b (a b)2 (x21 y
2
1 )(x
2
2 y
2
2 ) (x1x2 y y )
2 x2 y21 2 1 2 x
2
2 y 2x1x2 y1y2 (x1y2 x2 y1)
2
，
cos π cos π
2 sin cos sin 4 3 .
所以 a b x1y2 x2 y1 ，故 C 正确；对于 D，因为a (b c) a b c sin a,b c 的值为非负数， sin 3π cos 7
2
a b a c a b sin a,b a c sin a,c 的值可能为负数，故 D 错误．故选：BC. 2
(2)因为 ， 为锐角，所以0 π， sin 0，所以 sin 1 cos2 11 5 3 1 ，
13．1 14 14

a 2 3 11 1 5 3 4 3 1【详解】因为 ， b 1，向量 a，b的夹角为 ， 所以 cos cos cos cos sin sin 4 .14 7 14 7 2
2 2 2
所以 a 2 b a b a 2a b b 2 2 2 1 1 ．故答案为：1．2
18．【详解】（1） f x sin2 x 3sinxcosx 1 cos2x 3 sin2x sin 2x
π 1
，
14 3 3
3 2 2 3 6 2． 或填
4 4
π
2 2 2 2 2 ∴ f ( ) sin(2
π π 1 1
) .
【详解】因为 c a b 3，所以 a2 b2 2ab c2 3 0 ，由余弦定理可得a b c2 2abcosC 2abcos ab， 12 12 6 2 23
π π π 5π π π
所以 2ab ab 3 0， （2）当 x 0, 2 时， 2x ，当 2x 时，即 x 0时，函数 f x 取得最小值 0， 6 6 6 6 6
π π 3 3
故ab 3，所以 ABC 1 1 3 3 3 3 3 π的面积 S absinC 3 .故答案为： . 当 2x 时，即 x f x
2 2 2 4 4 6 2 3
时，函数 取得最大值 ．所以函数的最大值 ，最小值 0.
2 2
7
15． 或填 0.28
25
19．（1）在 ABC中，由余弦定理可得 a2 c2 b2 2ac cos B 2 2 2，代入 3 a c b 2bc sin A中，化简可得，
4
【详解】解：因为 cos ，所以 sin 2 sin 2
6 5 6 6

2
3acosB bsin A，由正弦定理可得： 3 sin Acos B sin Bsin A，得 tan B 3 ，B为 ABC的内角，故 B .
3
2
cos 2

2cos
2 1 4 2 7 1
7
.故答案为： . （2）由 B 和a 2c，根据余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 3c2，故6 6 5 25 25 b 3c
，易知 A ,C .
3 2 6
1 sin MPN sin( MAC BNA)，由M ,N分别为 BC ,AC

的中点可得， MAC C ，
16． 或填 0.2 6
5
BAN tan BNA 2c 2 3 2 7 21在 中， ，易知 sin BNA , cos BNA ，
b 3 7 7
第 3页 共 6页 ◎ 第 4页 共 6页
1 21 3 2 7 3 21 r 3 3 3

故 sin MPN sin BNA . 22．【详解】（1）因为 a sin x, cos x ，b cos x, 3 cos x ，所以b a cos x sin x, cos x ， 6 2 7 2 7 14 2 2 2

则 f x a 3 3 3 b a sin x cos x sin x cos 2 x
a sin A C b sin A sin Asin A C
2 2 2
20．（1）因为 ，所以由正弦定理边角互化得 sin B sin A，
2 2
因为 A (0, π),sin A 0,A C π B
π B B，所以 sin sin B，即 cos sin B，所以 cos
B
2sin B cos B 3 3， sin xcos x sin 2 x cos 2 x 1 3 sin 2 x cos 2 x sin 2

x

，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
B
B (0, π) 0, π , cos B 0 sin B 1 B π B π因为 ，所以
2 2
，所以 ，所以 ，即 .
2
2
2 2 2 6 3 因为最小正周期为 ，所以T ， 1， f (x) sin

2x

.
2 3
（2）因为 AC BC ,B
π
，所以 ABC为等边三角形，即 AC BC AB 1，设 AD m，则 BD 1 m,PD m， 2k 2x 2k 5 3 令 ，解得 k x k k Z ，
2 2 2 2 2 2 2 3 2 12 12
所以在△BPD中，由余弦定理得 cos B
BP BD PD BP (1 m ) m 1
，整理得BP2 (1 2m) BP (1 m)， 7
2BP BD 2BP (1 m) 2 则函数 f x 在 0, 内的单调递增区间为 0, 、 , 12 12 .
x2 x 1 (2 x)2

BP x, 0 x 1 m 3(2 x) 3 3设 ，所以 2 x 3 ，由于0 x 1，故1 2 x 2，
2 x 2 x 2 x f （2） x

2m sin

x 2 cos

x

，即 sin
2 x 2m sin x 2 cos
x ，
3 3 6 4 4 6 3 4
4
所以m 2 x 3 2 3 3 2 x

，当且仅当 3 时等号成立，此时 x 2 3 ，
2 x 2 x
整理得 sin 2x m 1 sin x cos x 2sin xcos x 2sin xcos x ， m 1，即 m 1 0, 在 内恒成立，
所以 AD的最小值为 2 3 3． sin x cos x sin x cos x 2
t sin x cos x 2 sin x t 1, 2 2sin xcos x t
2 1 1
令 ，则 ， t ， 4 sin x cos x t t
21．【详解】（1）设座舱与地面的距离 h与时间 t的函数关系的解析式为 1设 h t t ，易知当 t 1, 2 时函数 h t 单调递增，t
h t Asin t b， (A 0 ， 0， t 0)，则 A 30，b 32，
故h t hmin 1 0，m 1 0，m 1，m的取值范围为 ,1 .
h t 30sin t 32 0 2π π，依题意T 24， ，
T 12
当 t 0时， h(t) 30sin 32 32， sin 0 ，取 0， h t 30sin π t 32 t 0 ，
12
h 6 30sin π 6 32 62，当 t 6时，1 号舱与地面的距离为62m；
12
（2）依题意 h1 30sin
π t 32 ， h
π
30sin t 8 32 ，
12 5 12
H 30sin π t 32
30sin π t 8 32 30 sin πt si n π 2π
12 1 2 12
t
1 2 3
30 3 sin π t 3 cos π t 30 3 sin π π
2 12 2 12
t
12 6
，

π t π π令 kπ， k Z，解得 t 8 12k， k N，
12 6 2
当 t 8 12k， k N时，H取得最大值，故8 12 2 t0 8 12 3，即32 t0 44，即 t0 的取值范围是 32,44 ．
第 5页 共 6页 ◎ 第 6页 共 6页

转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 广东省深圳市南山区2022-2023高一下学期3月月考数学试题（含解析）