（人教版）2023-2024九年级数学上册 23.1 图形的旋转 期中专项复习

（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 23.1 图形的旋转 期中专项复习
一、选择题
1．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，则旋转角等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠A'=∠A=30°，
∵∠1=∠A'+∠ACA'，∠1=70°，
∴30°+∠ACA'=70°，
解得∠ACA'=40°，
∴旋转角α=40°．
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质求出∠A'的度数，利用三角形的内外角的关系求出α.
2．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
【答案】A
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30° ，连接AC，BD相交于点O， BC与C′D′交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB= 60°，
∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO= CO，BO= DO，
∵AB=2，
∴DO=1，，
∴，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形A′B'C'D'，
∴∠D'AB= 30°，AD=AD'=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD'=CA-AD'=，
又∵∠ACB=30°，
∴，，
∵重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积=；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=，
故答案为：A.
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD'与CE的长，再根据重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积求解即可；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积为.
3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
4．（2023九上·慈溪期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质.如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵ ，
∴旋转角是 60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60° ，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质，可得该雪花图案绕中心点旋转360°÷6即可与原来的图形重合，据此即可得出答案.
5．（2023九上·东方期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，推出△ABE为等边三角形，据此解答.
6．（2023九上·福田开学考）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
7．（2023九上·富阳期末）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点是点，若点、、在同一条直线上，则三角板旋转的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质；邻补角
【解析】【解答】解：旋转角是
故答案为：D.
【分析】旋转角为∠BAB′，然后根据邻补角的性质进行计算.
8．（2023九上·渠县开学考）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠D和∠ACB都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图2．两次旋转的角度分别为（　　）
A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60°
【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．
故答案为：A．
【分析】图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图2中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB
9．（2023九上·海曙期末）如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
根据旋转的性质可得，，则，
∵，
∴，
∴，
由可得，
解得，
故答案为：B.
【分析】由题意可得∠CAB=30°，根据旋转的性质可得CE=CA，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠AEC=∠EAC=(180°-α)，∠AFE=∠AEC=(180°-α)，∠EAF=180°-2∠AEF=α，然后根据∠EAF+∠CAB=∠CAE进行计算.
10．（2023九上·赵县期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A．(，-1) B．(-1，) C．(，-1) D．(1，)
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；图形的旋转
【解析】【解答】∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝
∴A（1，）
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4＝505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2（﹣1，﹣）
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣）
故答案为：B
【分析】由正六边形的性质可得A（1，），再根据由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，由2022÷4＝505……2，可知点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案．
二、填空题
11．（2023九上·文成开学考）如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，连结CD，则CD的长为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，延长DC交AB于点F，连结BD.
∵绕点逆时针旋转得到，AB=8
∴AD=AB=8，.
∴是等边三角形，
∴BD=AB=AD=8.
∵
∴点C、D都到线段AB两端点的距离相等，
∴CD所在的直线垂直平分AB.
∴AF=AB=4.
∴CD=DF-CF=
故答案为：.
【分析】先延长DC交AB于点F，连结BD，可证明是等边三角形，进而说明CD所在的直线垂直平分AB，再结合勾股定理、三角函数分别求出CF、DF，利用线段差求得CD.
12．（2023九上·盐城开学考）如图，将△ABC绕着点顺时针旋转到△ADE的位置，使点首次落在上.已知，，则　 　．
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转图的性质可得，旋转角为∠CAE=x°，
∵， ，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=65°，
又∵△ABC绕着点顺时针旋转到△ADE的位置，使点首次落在上，
∴AC=AE，
∴△AEC为等腰三角形，故∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=50°，
故答案为：50.
【分析】本题考查图形的旋转，根据题意可知AE=AC，因为三角形的外角为另外两个内角的和，所以可以求出∠AEC=65°，再结合等腰三角形性质以及三角形内角和为180°即可求解.
13．（2022九上·青岛开学考）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接EG，
∵将绕点A顺时针旋转90°到的位置，
∴AE=AF，DE=BF，
∵AG⊥EF，
∴EH=FH
则EG=FG，
设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=8-x，
Rt△CEG中，x2+22=(8-x)2
解得：x=
故答案为：.
【分析】连接EG，由垂直平分线的性质，可得EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=8-x，在Rt△CEG中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
14．（2022九上·平城开学考）如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 　 　 ．
【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
当x=0时，y=4，当y=0时，x=3
∴A(3，0)，B(0，4)，
则OA=3，OB=4
∵把绕点A旋转后得到，
∴，OA=O'A，OB=O'B'，轴，
∴B'（3+4，3）即
故答案为：.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点坐标得出A(3，0)，B(0，4)，根据旋转的性质得出，OA=O'A，OB=O'B'，轴，即可求解．
15．（2023九上·南宁期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为　 　.
【答案】1
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∵，，
∴，
由旋转可知：，
∴.
故答案为：1.
【分析】由勾股定理求出AB的长，利用旋转的性质可得，根据即可求解.
三、解答题
16．（2021九上·天河期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度数．
【答案】解：∵，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
在△ACC′中，∵AC=AC′
∴∠ACC′=∠CC'A =70°，
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质以及旋转的性质即可得出∠CC'A的度数．
17．（2023九上·韩城期末）如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，求的度数.
【答案】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC′=AC，∠CAC′=60°，推出△ACC′为等边三角形，得到∠ACC′=60°，然后根据∠BCC′=∠ACB-∠ACC′进行计算.
18．（2023九上·福州期末）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：.
【答案】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
在和中，
，
∴ ，
∴.
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据矩形的性质得AD∥BC，AB=CD，根据二直线平行，内错角相等得∠DEC=∠BCH，根据旋转的性质得CE=CB，从而AAS判断出△EDC≌△CHB，根据全等三角形的对应角相等即可得出BH=CD.
19．（2023九上·韩城期末）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转50°得到，且于点D，求的度数.
【答案】解：由旋转的性质可知： ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【分析】利用旋转的性质可求出∠B′的度数及∠BCB′的度数，利用垂直的定义可知∠BDC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A′CB的度数；然后根据∠A′CB′=∠A′CB+∠BCB′，代入计算求出∠A′CB′的度数.
四、综合题
20．（2022九上·汕尾期中）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分；
（2）连接BD，求证：．
【答案】（1）证明：由旋转性质可知：，，
平分．
（2）证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再证出，即可得到 平分；
（2）根据旋转的性质可得，，再利用角的运算可得，结合 ，，求出，最后求出，即可得到。
21．（2020九上·临洮期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E.
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形.
【答案】（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；
（2）证明：如图2，连接AD
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AF=CF＝ AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝ AC，
∴BF=CF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CFD和Rt△ABC中
∴Rt△CFD≌Rt△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠CAD＝∠CDA＝75°，据此可得∠ADE的度数；
（2）连接AD，由直角三角形斜边上中线的性质可得BF＝AF=CF＝AC，由含30°角的直角三角形的性质可得AB＝AC，推出BF=CF＝AB，由旋转的性质可得∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC，推出DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，证明Rt△CFD≌Rt△ABC，得到DF＝BC，推出DF＝BE，然后利用平行四边形的判定定理进行证明.
22．（2023九上·西安期末）如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接.
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，如图2，请猜想线段与的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）证明：四边形是正方形，理由如下，
∵将绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：.证明过程如下：
如图②，过点D作于H，
∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，推出四边形BEFE′为矩形，然后结合BE=BE′以及正方形的判定定理进行解答；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=AE，由正方形的性质可得AB=AD，∠DAB=90°，证明△ADH≌△BAE，得到AH=BE=AE，由旋转的性质可得AE=CE′，根据正方形的性质可得BE=E′F，则E′F=CE′，据此解答.
23．（2022九上·西城期末）如图，在四边形中，，是对角线，将点绕点逆时针旋转60°得到点，连接，，．
（1）求的度数；
（2）若是等边三角形，且，，，求的长．
【答案】（1）解：将点绕点逆时针旋转得到点，
，，
是等边三角形，
．
（2）解：是等边三角形，
， ，
，
又 ，
，
，
，
．
，，
，
在中，．
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先证明 是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；
（2）先证明，可得，再结合，利用勾股定理求出即可。
（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 23.1 图形的旋转 期中专项复习
一、选择题
1．（2023九上·哈尔滨开学考）如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，则旋转角等于（　　）
A． B． C． D．
2．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（　　）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．（2023九上·慈溪期末）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质.如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023九上·东方期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023九上·福田开学考）如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
7．（2023九上·富阳期末）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，点的对应点是点，若点、、在同一条直线上，则三角板旋转的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023九上·渠县开学考）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠D和∠ACB都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图2．两次旋转的角度分别为（　　）
A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60°
9．（2023九上·海曙期末）如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转到，、相交于点F，连接，若，则旋转角的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023九上·赵县期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB//x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）
A．(，-1) B．(-1，) C．(，-1) D．(1，)
二、填空题
11．（2023九上·文成开学考）如图，在中，，把绕点逆时针旋转得到，连结CD，则CD的长为　 　.
12．（2023九上·盐城开学考）如图，将△ABC绕着点顺时针旋转到△ADE的位置，使点首次落在上.已知，，则　 　．
13．（2022九上·青岛开学考）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为　 　．
14．（2022九上·平城开学考）如图所示，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A旋转后得到，则点的坐标是 　 　 ．
15．（2023九上·南宁期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为　 　.
三、解答题
16．（2021九上·天河期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′AB，求∠CC'A的度数．
17．（2023九上·韩城期末）如图，在中，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，求的度数.
18．（2023九上·福州期末）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H，求证：.
19．（2023九上·韩城期末）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转50°得到，且于点D，求的度数.
四、综合题
20．（2022九上·汕尾期中）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
（1）求证：AE平分；
（2）连接BD，求证：．
21．（2020九上·临洮期中）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E.
（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形.
22．（2023九上·西安期末）如图1，点E为正方形内一点，，将绕点B顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F，连接.
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，如图2，请猜想线段与的数量关系，并加以证明.
23．（2022九上·西城期末）如图，在四边形中，，是对角线，将点绕点逆时针旋转60°得到点，连接，，．
（1）求的度数；
（2）若是等边三角形，且，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转可得∠A'=∠A=30°，
∵∠1=∠A'+∠ACA'，∠1=70°，
∴30°+∠ACA'=70°，
解得∠ACA'=40°，
∴旋转角α=40°．
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质求出∠A'的度数，利用三角形的内外角的关系求出α.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30° ，连接AC，BD相交于点O， BC与C′D′交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB= 60°，
∴∠CAB=30°=∠CAD，AC⊥BD，AO= CO，BO= DO，
∵AB=2，
∴DO=1，，
∴，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形A′B'C'D'，
∴∠D'AB= 30°，AD=AD'=2，
∴A，D′，C三点共线，
∴CD'=CA-AD'=，
又∵∠ACB=30°，
∴，，
∵重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积=；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积=，
故答案为：A.
【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，连接AC，BD相交于点O，BC与C′D′交于点E，根据菱形的性质推出AC的长，再根据菱形的性质推出CD'与CE的长，再根据重叠部分的面积=△ABC的面积-△D'EC的面积求解即可；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积为.
3．【答案】D
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
4．【答案】C
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵ ，
∴旋转角是 60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60° ，
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质，可得该雪花图案绕中心点旋转360°÷6即可与原来的图形重合，据此即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，推出△ABE为等边三角形，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质；邻补角
【解析】【解答】解：旋转角是
故答案为：D.
【分析】旋转角为∠BAB′，然后根据邻补角的性质进行计算.
8．【答案】A
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图2．
故答案为：A．
【分析】图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图2中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
根据旋转的性质可得，，则，
∵，
∴，
∴，
由可得，
解得，
故答案为：B.
【分析】由题意可得∠CAB=30°，根据旋转的性质可得CE=CA，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠AEC=∠EAC=(180°-α)，∠AFE=∠AEC=(180°-α)，∠EAF=180°-2∠AEF=α，然后根据∠EAF+∠CAB=∠CAE进行计算.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；图形的旋转
【解析】【解答】∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝
∴A（1，）
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，
由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4＝505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2（﹣1，﹣）
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣）
故答案为：B
【分析】由正六边形的性质可得A（1，），再根据由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，由2022÷4＝505……2，可知点A2022与点A2重合，求出点A2的坐标可得答案．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，延长DC交AB于点F，连结BD.
∵绕点逆时针旋转得到，AB=8
∴AD=AB=8，.
∴是等边三角形，
∴BD=AB=AD=8.
∵
∴点C、D都到线段AB两端点的距离相等，
∴CD所在的直线垂直平分AB.
∴AF=AB=4.
∴CD=DF-CF=
故答案为：.
【分析】先延长DC交AB于点F，连结BD，可证明是等边三角形，进而说明CD所在的直线垂直平分AB，再结合勾股定理、三角函数分别求出CF、DF，利用线段差求得CD.
12．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转图的性质可得，旋转角为∠CAE=x°，
∵， ，
∴∠AEC=∠ABC+∠BAE=65°，
又∵△ABC绕着点顺时针旋转到△ADE的位置，使点首次落在上，
∴AC=AE，
∴△AEC为等腰三角形，故∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠CAE=180°-∠ACE-∠AEC=50°，
故答案为：50.
【分析】本题考查图形的旋转，根据题意可知AE=AC，因为三角形的外角为另外两个内角的和，所以可以求出∠AEC=65°，再结合等腰三角形性质以及三角形内角和为180°即可求解.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接EG，
∵将绕点A顺时针旋转90°到的位置，
∴AE=AF，DE=BF，
∵AG⊥EF，
∴EH=FH
则EG=FG，
设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=8-x，
Rt△CEG中，x2+22=(8-x)2
解得：x=
故答案为：.
【分析】连接EG，由垂直平分线的性质，可得EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=8-x，在Rt△CEG中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
14．【答案】
【知识点】旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
当x=0时，y=4，当y=0时，x=3
∴A(3，0)，B(0，4)，
则OA=3，OB=4
∵把绕点A旋转后得到，
∴，OA=O'A，OB=O'B'，轴，
∴B'（3+4，3）即
故答案为：.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点坐标得出A(3，0)，B(0，4)，根据旋转的性质得出，OA=O'A，OB=O'B'，轴，即可求解．
15．【答案】1
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：在中，，
∵，，
∴，
由旋转可知：，
∴.
故答案为：1.
【分析】由勾股定理求出AB的长，利用旋转的性质可得，根据即可求解.
16．【答案】解：∵，
∴∠ACC′=∠CAB=70°，
∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
在△ACC′中，∵AC=AC′
∴∠ACC′=∠CC'A =70°，
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质以及旋转的性质即可得出∠CC'A的度数．
17．【答案】解：∵绕点A顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质可得AC′=AC，∠CAC′=60°，推出△ACC′为等边三角形，得到∠ACC′=60°，然后根据∠BCC′=∠ACB-∠ACC′进行计算.
18．【答案】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
在和中，
，
∴ ，
∴.
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据矩形的性质得AD∥BC，AB=CD，根据二直线平行，内错角相等得∠DEC=∠BCH，根据旋转的性质得CE=CB，从而AAS判断出△EDC≌△CHB，根据全等三角形的对应角相等即可得出BH=CD.
19．【答案】解：由旋转的性质可知： ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【分析】利用旋转的性质可求出∠B′的度数及∠BCB′的度数，利用垂直的定义可知∠BDC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A′CB的度数；然后根据∠A′CB′=∠A′CB+∠BCB′，代入计算求出∠A′CB′的度数.
20．【答案】（1）证明：由旋转性质可知：，，
平分．
（2）证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【知识点】角的运算；旋转的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再证出，即可得到 平分；
（2）根据旋转的性质可得，，再利用角的运算可得，结合 ，，求出，最后求出，即可得到。
21．【答案】（1）解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；
（2）证明：如图2，连接AD
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AF=CF＝ AC，
∵∠ACB＝30°，
∴AB＝ AC，
∴BF=CF＝AB，
∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC
∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE＝CB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△CFD和Rt△ABC中
∴Rt△CFD≌Rt△ABC，
∴DF＝BC，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠CAD＝∠CDA＝75°，据此可得∠ADE的度数；
（2）连接AD，由直角三角形斜边上中线的性质可得BF＝AF=CF＝AC，由含30°角的直角三角形的性质可得AB＝AC，推出BF=CF＝AB，由旋转的性质可得∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC，推出DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，证明Rt△CFD≌Rt△ABC，得到DF＝BC，推出DF＝BE，然后利用平行四边形的判定定理进行证明.
22．【答案】（1）证明：四边形是正方形，理由如下，
∵将绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：.证明过程如下：
如图②，过点D作于H，
∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点B顺时针方向旋转，得到，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得∠AEB=∠CE′B=90°，BE=BE′，∠EBE′=90°，推出四边形BEFE′为矩形，然后结合BE=BE′以及正方形的判定定理进行解答；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=AE，由正方形的性质可得AB=AD，∠DAB=90°，证明△ADH≌△BAE，得到AH=BE=AE，由旋转的性质可得AE=CE′，根据正方形的性质可得BE=E′F，则E′F=CE′，据此解答.
23．【答案】（1）解：将点绕点逆时针旋转得到点，
，，
是等边三角形，
．
（2）解：是等边三角形，
， ，
，
又 ，
，
，
，
．
，，
，
在中，．
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先证明 是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；
（2）先证明，可得，再结合，利用勾股定理求出即可。

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