2023年辽宁省丹东市数学中考试卷（含解析）

2023年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.如图所示的几何体是由个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.如图所示，在中，，垂足为点，，交于点若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，直线过点，，则不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
7.在一个不透明的袋子中，装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是( )
A. B. C. D.
10.抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.地球上的海洋面积约为，将数据用科学记数法表示为______ ．
12.因式分解：______．
13.某青年排球队有名队员，年龄的情况如下表：
年龄岁
人数
则这名队员年龄的中位数是______ 岁
14.若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
15.不等式组的解集是______ ．
16.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为______ ．
17.如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是，则 ______ ．
18.如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，点在轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点的坐标为______ ；点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
先化简，再求值：
，其中．
20.本小题分
为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀，良好，一般，不合格，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
这次抽样调查共抽取______ 人，条形统计图中的 ______ ；
将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
该校有名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人；
学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
21.本小题分
“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为米的桥梁进行重新改造为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
22.本小题分
如图，已知是的直径，是的弦，点是外的一点，，垂足为点，与相交于点，连接，且，延长交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，，求的长．
23.本小题分
一艘轮船由西向东航行，行驶到岛时，测得灯塔在它北偏东方向上，继续向东航行到达港，此时测得灯塔在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔的最短距离结果精确到参考数据：，，，，，．
24.本小题分
某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价元满足一次函数关系．
请直接写出与的函数关系式；
超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元？
当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
25.本小题分
在中，，，，点是的中点四边形是菱形按逆时针顺序排列，，且，菱形可以绕点旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．
在菱形绕点旋转的过程中，当点在线段上时，如图，请直接写出与的数量关系及的值；
当菱形绕点旋转到如图所示的位置时，中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
设直线与直线的交点为，在菱形绕点旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积．
26.本小题分
抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
若点是抛物线上的一个动点点不与顶点重合，点是抛物线对称轴上的一个点，点在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为：时，请直接写出点的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在．
求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加一个“”，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的含义，可得
的相反数是：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：它的主视图是：
．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3.【答案】
【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：甲、丙的平均数比乙、丁大，
应从甲和丙中选，
甲的方差比丙的大，
丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙；
故选：．
先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到丙的状态稳定，于是可决定选丙运动员去参赛．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质，垂直的定义是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：直线过点，，当时，，
不等式的解集为．
故选：．
写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，
黑球的个数为：
，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以列出算式，然后计算即可．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
8.【答案】
【解析】解：由作图可知平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：．
证明四边形是平行四边形，推出，再证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的平判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，对角线与相交于点，
，，，且，
，
，
是等边三角形，
，
，
于点，
为的中点，
是的中点，，
，
，
，
，
，
，
矩形的周长是，
故选：．
由矩形的性质得，，而，则是等边三角形，所以，因为于点，所以为的中点，而是的中点，则，则勾股定理得，则，，即可求得矩形的周长是，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据所给函数图象可知，
，，，
所以，
故错误．
因为抛物线的图象可由抛物线的图象沿轴向上平移个单位长度得到，
所以抛物线的增减性与抛物线的增减性一致．
则当时，随的增大而减小，
又，且，
若，
则，两点都在对称轴的左侧，
此时．
故错误．
作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接，
此时的值最小．
将代入二次函数解析式得，
，
又，
即，
所以，
则．
又抛物线与轴的交点坐标为，
则点坐标为，
所以点坐标为．
又当时，，
即．
设直线的函数表达式为，
将点坐标代入得，
，
则，
所以直线的函数表达式为．
将代入得，
．
所以点的坐标为．
故正确．
将方程整理得，
，
因为方程没有实数根，
所以抛物线与直线没有公共点，
所以，
则，
解得，
又，
所以．
故正确．
所以正确的有．
故选：．
根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给函数图象得出，，的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：用科学记数法可以表示为，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：观察统计表可知：共名队员，中位数是第，个人平均年龄，因而中位数是岁．
故答案为：．
根据中位数的定义求解．
本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
14.【答案】，且
【解析】解：由题可知，
，
即，
又知分母不能等于，
即，
则．
故答案为：，且．
要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于，且分母不能为．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集是，
故答案为：．
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
16.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据题意证明≌，∽，利用勾股定理即可求解．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于，如图：

设点的坐标为，
，点在第一象限，
，，，
轴于点，
，，
，
，
轴，，，
四边形为矩形，
，
的面积是，
，
即：，
，
．
故答案为：．
过点作交的延长线于，设点的坐标为，则，，，，证四边形为矩形得，然后根据的面积是可得，由此可得的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的解析式，满足反比例函数解析式的点都在函数的图象上是解答此题的关键．
18.【答案】 或
【解析】解：过点作于，如图：
点，，
由两点间的距离公式得：，
设，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
即：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
，此时，
点的坐标为，
设点的坐标为，
由两点间的距离公式得：，，，
为等边三角形，
，
，
整理得：，
得：，
，
将代入得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
故答案为：；或．
过点作于，先求处，再设，由得，进而得，由三角形的面积公式得，即，则，然后在中由勾股定理得，由此解出，不合题意，舍去，此时，故此可得点的坐标；设点的坐标为，由两点间的距离公式得：，，，由为等边三角形得，整理：，整理得，将代入整理得，解得，进而再求出即可得点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，锐角三角函数，等边三角形的性质，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握正切函数的定义，灵活运用勾股定理及两点间的距离公式构造方程组是解答此题的关键
19.【答案】解：原式
；
，
原式．
【解析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将的值代入计算即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，能进行分式的通分和约分．
20.【答案】
【解析】解：由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：人，
，
故答案为：，；
由知，，
等级为的有：人，
补充完整的条形统计图如图所示，
等所在扇形圆心角的度数为：；
人，
即估计该校学生答题成绩为等和等共有人；
树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
根据等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算的值即可；
根据中的结果和等级所占的百分比，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，再计算出等所在扇形圆心角的度数即可；
根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校学生答题成绩为等和等共有多少人；
根据题意，可以画出相应的树状图，然后计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：设施工队原计划每天改造米，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造米．
【解析】设施工队原计划每天改造米，根据提前天成功地完成了大桥的改造任务得：，解方程并检验可得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．
22.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据切线的判定定理即可得到是的切线；
连接，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：过作于，
则，
，，
设，
，，
，
，
，
答：轮船在航行过程中与灯塔的最短距离为．
【解析】过作于，则，设，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，能通过解直角三角形求出和是解此题的关键．
24.【答案】解：根据题意设，
当每千克售价为元时，每天售出大米；
当每千克售价为元时，每天售出大米，
则，
解得：，
则与的函数关系式；，
定价为元，每千克利润元，
由知销售量为，
则，
解得：舍，，
超市将该大米每千克售价定为元时，每天销售该大米的利润可达到元；
设利润为元，
根据题意可得：，
即，
，对称轴为，
当时，随的增大而增大，
又，
时，元
当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元．
【解析】根据题意设，当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米，则，求得、即可；
定价为元，每千克利润元，销售量为，则即，解方程即可；
设利润为，根据题意可得化为顶点式即可求出合适的值．
本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，属于综合题，关键是理解题意，搞清楚数量关系．
25.【答案】解：，，理由：
在中，，，，
则，则，
点是的中点，则，
则，，
在中，，，
则为等边三角形，则；
的结论成立，理由：
证明：延长交于点，交于点，
，
，
，，
≌，
，，
，
；
解：当、、共线时，如下图，连接，
根据图形的对称性，当、、共线时，且点是的中点，
则、、共线，分别过点、作的垂线，垂足分别为、，交于点，
则，即、均为等边三角形，
则，
由知为等边三角形，则，则、、、共线，
由、知，，则，
在等边三角形中，，则，
则，
则的面积；
当、重合时，也符合题意，如下图：
由、知，，
在中，，，
则，
设，则，则，
而，
即，
解得：，
则的面积；
综上，的面积为或．
【解析】由，，即可求解；
证明≌，进而求解；
证明、均为等边三角形，证明、、、共线，由、知，，则，在等边三角形中，，则，则，进而求解；当、重合时，也符合题意，由、知，，则，
在中，用解直角三角形的方法即可求解．
本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键．
26.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由题意得，点，点，则点，
则，
当点在之间时，存在点是的中点，
则，
解得：舍去或，
则；
当点在之间时，
同理可得：，
解得：舍去或，
则，
综上，或；
设点，点，
当四边形是矩形时，则为直角，
当点在对称轴的左侧时，如下左侧图，
过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
为直角，
则，
，
，
∽，
是矩形邻边之比为：，即：：或：，
即和的相似比为：或：，
即，
由题意得：，，，，
即或，
解得：不合题意的值已舍去；
当点在对称轴右侧时，
同理可得：或，
解得：或；
综上，或或．
【解析】用待定系数法即可求解；
当点在之间时，存在点是的中点，由中点坐标公式即可求解；当点在之间时，同理可解；
当点在对称轴的左侧时，得到是矩形邻边之比为：，即：：或：，即可求解；当点在对称轴右侧时，同理可解．
本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是本题解题的关键．
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