卷子答案网-一个不只有答案的网站高考数学模拟试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数，过点作曲线的切线，当时，可作两条切线，则的取值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
2. 已知全集，，则( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
3. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级如图是某市月日至日连续天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是( )
A. 这天中有天空气质量为“中度污染”
B. 从日到日空气质量越来越好
C. 这天中空气质量指数的中位数是
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是日到日
4. 已知函数，若实数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
5. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于、的任一点，现有下列命题：；平面；；其中真命题的个数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹如图，在平面直角坐标系中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去若四边形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点与抛物线：的焦点重合，点为与的一个交点，若的内切圆圆心的横坐标为，的准线与交于，两点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知，设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列命题正确的是( )
A. 若且，则
B. 对于随机事件和，若，则事件与事件独立
C. 回归分析中，若相关指数越接近于，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差
D. 用等高条形图粗略估计两类变量和的相关关系时，等高条形图差异明显，说明与无关
10. 已知是两个单位向量，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 对于平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使
C. 已知，，设，，，则
D. 若向量满足，则
11. 已知函数的定义域关于原点对称，且，当时，；且对任意，，，都有，则( )
A. 是奇函数 B.
C. 是周期函数 D. 在上单调递减
12. 设，当时，规定，如，则( )
A.
B.
C. 设函数的值域为，则的子集个数为
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知复数满足，若，则的值为 ．
14. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：，，，，，，，为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线如图为该螺旋线在边长为，，，，，的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系规定小方格的边长为，则接下来的一段圆弧所在圆的方程为 ．
15. 若，，则的最大值为 ．
16. 柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体如图，在一个棱长为的正八面体正八面体是每个面都是正三角形的八面体内有一个内切圆柱圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行，则这个圆柱的体积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求与；
在下列两个条件中选一个，求数列的前项和．
；
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 本小题分
已知中，点在边上，满足，且，的面积与面积的比为．
求的值；
若，求边上的高的值．
19. 本小题分
如图，直角梯形中，，，，直角梯形绕旋转一周形成一个圆台．
求圆台的表面积和体积；
若直角梯形绕逆时针旋转角到，且直线与平面所成角的正弦值为，求角的最小值．
20. 本小题分
某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班人和高三二班人进入决赛决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为，方差为；二班抽取同学答对题目的平均数为，方差为，求这人答对题目的均值与方差；
环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
21. 本小题分
已知动点与两定点，，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设，为直线上一动点，直线交曲线于，两点，若、、、依次为等比数列的第、、、项，且，求实数的值．
22. 本小题分
已知函数的表达式为．
若是对的极值点，求的值．
求的单调区间．
若有两个实数解，，
直接写出的取值范围；
为正实数，若对于符合题意的任意，，当时都有，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，可得，
设切点坐标为，所以，
则切线的斜率为，切线方程为，
当时，由切线方程为，得，
则，
设，
则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，时，有极大值为，
可画出函数的大致图象，结合图象若作两条切线，则的取值为或．
故选：．
设切点坐标为，利用导数求出切线方程为，由题可得，设，利用导数研究函数的性质，利用数形结合即得．
本题主要考查了导数的几何意义，还考查了导数与单调性关系的应用，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：全集，
，
则或．
故选：．
求出全集和集合，利用补集定义能求出
本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，这天中有天空气质量指数在之间，则有天为“中度污染”，A错误；
对于，从日到日空气质量逐渐下降，即空气质量越来越好，B正确；
对于，将组数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，其中位数为，C错误；
对于，日到日的三天，数据相差比较大，则连续三天中空气质量指数方差最小不是日到日，D错误．
故选：．
根据题意，由折线图分析数据，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查由折线图分析数据，涉及中位数、方差的意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：令，得，
根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，
因为，由图象可得出函数的零点个数为个，
故选：．
根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项．
本题考查函数零点与方程根的关系的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为圆的直径，为圆上异于、的任一点，则，又平面，有为锐角，平面，
于是得，又，，平面，从而得平面，平面，有，正确；
假定，又，，必有平面，与为锐角矛盾，不正确，
所以真命题的个数是．
故选：．
根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理判断作答．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，四边形中，，
到的距离为，到的距离为，
若四边形的面积为，则有，
解可得：或舍，
故．
故选：．
根据题意，分析可得，且到的距离为，到的距离为，进而可得，解可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意分析的规律，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题设，，
又点与抛物线的焦点重合，即，
由，则，
故，即，
如下图示，内切圆与各边的切点为，，，
所以，，，又，
则，
所以为双曲线右顶点，又的内切圆圆心的横坐标为，即，
故，则，所以离心率为．
故选：．
令，，由题设知且求得，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与的切点的位置，进而求离心率．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，数形结合思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，令，则，
时，，则在上单调递增，
又，，即，
因为，，
则．
故选：．
构造函数，利用单调性比较大小即可．
本题考查利用单调性比较大小，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由，
，故A错误；
对于，由条件概率公式可得，即，
事件，相互独立，故B正确；
对于，根据相关指数的意义可知，相关指数越接近于，说明模型的拟合效果越好；反之，则模型的拟合效果越差，故C正确；
对于，由等高条形图于列联表关系可知，差异明显表明与相关可能很大，故D错误．
故选：．
根据正态分布曲线的对称性可判断，根据条件概率公式可判断，根据相关指数的意义可判断，根据等高条形图的性质可判断．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了条件概率公式，以及相关指数的意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：已知是两个单位向量，且，
则，
则，
对于选项A，，，即选项A正确；
对于选项B，，与共线，与不能作为平面向量的一组基底，即选项B错误；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，设与的夹角为，向量满足，
则，
又，
则，
则，
即，
即选项D错误，
故选：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及平面向量基本定理逐一判断即可得解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，则，
所以函数是奇函数，故A正确；
对于，由，得，
所以，
则，
所以，故B错误；
对于，由，可得，
则，
由，
所以函数是以为周期的周期函数，故C正确；
对于，令，则，，，
则，所以，
，所以，
所以，，因为，所以，
所以，
即，所以在上单调递减，故D正确．
故选：．
对于，令，根据，证明即可判断；
对于，根据，结合即可求得，，即可判断；
对于，先求出，再根据求出，即可判断；
对于，令，先判断，的符号，再根据，比较，即可判断．
本题考查了抽象函数的奇偶性，周期性及单调性，选项的关键在于根据判断与的关系，选项的关键在于令，判断出，的符号，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，例如，
则，，
可得，所以A错误；
对于，由，
所以，
所以，
所以，所以B正确；
对于，因为，可得，
当，，，时，可得，，，，，
即函数的值域为，
所以集合的子集个数为，所以C正确；
对于中，设，，
因为，所以，
所以，，
则，
所以的周期为，
又当时，可得，此时，
，此时，
，此时，
，此时，所以，结合周期为，即恒为，所以D正确．
故选：．
举反例，可判定A错误；
结合，可判定B正确；
结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；
设，，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确．
本题属于新概念题，考查了函数的周期性、值域，也考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，解得．
故答案为：．
先对化简，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数模公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径，其圆心为根据题中图象规律发现，
则其标准方程为．
故答案为：．
根据题意，分析要求的圆的圆心和半径，从而可得圆的标准方程．
本题主要考查圆的标准方程，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
当且仅当且，即时，取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
由，再利用基本不等式即可得解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，设该圆柱的底面半径为，高，
由题可知，，，则．
又，，，
圆柱的体积，，
可知，当时，；当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，．
故答案为：．
根据题意得到，，然后利用勾股定理得到，在中根据相似列方程，整理得，然后根据圆柱的体积公式求体积，最后求导，根据单调性求最值即可．
本题主要考查圆柱的体积公式，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：由得，
由得，
联立解得，，
；
选，，
数列的前项和为：
；
选，，
数列的前项和为：
．
【解析】由条件得出与的方程组求解，即可由公式法得出结果；
由裂项相消法求和，由分组求和法求和．
本题考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，裂项求和法的应用，属中档题．
18.【答案】解：点在边上，满足，
为的平分线，
又的面积与面积的比为，
由角平分线定理可知，，
由正弦定理得，且，
又，
，
且为说角，
；
由知为锐角，且，
，
，
又，，
在中，，解得，
故．
【解析】由已知条件可得，为的平分线，再结合角平分线定理，以及正弦定理，二倍角公式，即可求解；
先求出，再结合余弦的两角和公式，求出，并运用余弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意，直角梯形旋转形成下底面半径为，上底面半径为，高为的圆台，可得该圆台的母线长为，
所以该圆台的表面积，
该圆台的体积，
故所求圆台的表面积和体积分别为；
作，以点为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，即，
又平面的一个法向量，
设与平面所成的角为，
则，
两边平方并结合，解得或，
故时所求的最小值为．
【解析】利用圆台的表面积、体积公式求圆台的表面积和体积；
构建空间直角坐标系，确定、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求，进而可求的最小值．
本题考查了圆台的体积和表面积的计算，考查了直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题．
20.【答案】解：一班抽取人，二班抽取人，
一班样本平均数为，样本方差为，
二班样本的平均数为，样本方差为，
总样本的平均数为，
记总样本的样本方差为，
所以，这人答对题目的样本均值为，样本方差为．
设事件为“李明同学从乙箱中抽出的第个题是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出个题都是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出个选择题个填空题“，
事件为“王刚同学从甲箱中取出个题都是填空题”，
则、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：．
【解析】首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；
根据全概率公式和条件概率公式，即可求解．
本题考查均值与方差的计算，考查全概率公式，是中档题．
21.【答案】解：设动点的坐标为，
由题意得，，
化简得：，
故所求的方程为．
设，，设直线的方程为：，
设，，联立方程：消去得，
所以，，
由题意得，
所以，即，
即，
从而，
所以，
即，
所以，又，，经检验满足题意．
【解析】设点坐标，依据题意列出等式，化简可求出轨迹方程；
依据等比数列的性质可得，代入弦长公式化简结合韦达定理可求出的值．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，，
，
是对的极值点，
，解得，
，
可得是函数的极大值点，满足题意，
．
，
时，，函数在上单调递增；
时，，
时，；时，．
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上可得：时，函数单调递增区间为；
时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
化为，，
令，，
，，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．
时，函数取得极大值，，
有两个实数解，，
，解得，
的取值范围是．
由可得：若，则，
为正实数，若对于符合题意的任意，，当时都有，
，
，
，，
，
化为，
另一方面，由，，
可得，
，
不妨设，，
，
，
化为，
令，，，
，
令，
时，，，函数在上单调递增，，满足题意．
时，，
在上单调递减，，
，此时函数在上单调递减，，不满足题意，舍去．
综上可得的取值范围是．
【解析】，，可得，根据是对的极值点，可得，解得，经过验证即可得出．
，对分类讨论，即可得出函数的单调区间．
化为，，
令，，利用导数研究其单调性与极值及其最值，画出图象即可得出的取值范围．
由可得：若，可得，由题意可得，即，结合，，化为，进而化为，不妨设，，可得，于是，化为，令，，，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、一元二次方程的实数根与判别式的关系、换元法、不等式的解法、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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