卷子答案网-一个不只有答案的网站2023届高考数学小题狂刷卷： 空间几何量
一、选择题（共20小题）
1. 已知 ，直线 ，平面 ， 间的距离为 ，则在 上到直线 的距离为 的点的轨迹是
A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点 D. 两个点
2. 已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面 的距离是
A. B. C. D.
3. 在棱长为 的正方体 中，， 分别为棱 ， 的中点， 为棱 上的一点，且 ．则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.
4. 已知正四棱柱 中，，， 为 的中点，则直线 到平面 的距离为
A. B. C. D.
5. 在长方体 中，底面是边长为 的正方形，高为 ，则点 到截面 的距离是
A. B. C. D.
6. 已知球 的半径为 ， 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心 到平面 的距离为
A. B. C. D.
7. 正方体 的棱长为 ，面对角线 上存在一点 ，使得 取得最小值，则此最小值为
A. B. C. D.
8. 在正三棱柱 中，若 ，，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.
9. 在棱长为 的正方体 中，正方形 所在平面内的动点 到直线 ， 的距离之和为 ，，则点 到直线 的距离为
A. B. C. D.
10. 如图，在三棱柱 中，，，，侧棱 的长为 ，则该三棱柱的高等于
A. B. C. D.
11. 如图，底面 为正方形，，，设点 到平面 的距离为 ，点 到平面 的距离为 ， 到平面 的距离为 ，则有
A. B. C. D.
12. 如图，正方体 的棱长为 ，点 到平面 的距离是
A. B. C. D.
13. 已知 是正方体 的中心 关于平面 的对称点，则下列说法中错误的是
A.
B.
C.
D. ，，，，， 六点在同一球面上
14. 如图所示，在棱长为 的正方体 中，， 分别为棱 ， 的中点， 为棱 上一点，且 ，则点 到平面 的距离为
A. B. C. D.
15. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，点 是上底面 内一动点，且满足点 到点 的距离等于点 到平面 的距离，则当点 运动时， 的最小值是
A. B. C. D.
16. 如图，在长方体 中，，，点 在侧面 上．满足到直线 和 的距离相等的点
A. 不存在 B. 恰有 个 C. 恰有 个 D. 有无数个
17. 在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则点 到平面 的距离是
A. B. C. D.
18. 若两条不重合直线 和 的方向向量分别为 ，，则直线 和 的位置关系是
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
19. 正方体 中， 为侧面 所在平面上的一个动点，且 到平面 的距离是 到直线 距离的 倍，则动点 的轨迹为
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
20. 如图，模块 均由 个棱长为 的小正方体构成，模块 由 个棱长为 的小正方体构成．现从模块 中选出三个放到模块 上，使得模块 成为一个棱长为 的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为
A. 模块 B. 模块 C. 模块 D. 模块
二、填空题（共5小题）
21. 在四棱锥 中，设向量 ，，，则顶点 到底面 的距离为 ．
22. 与不共面四点等距离的平面有 个．
23. 已知正三棱锥 ，点 ，，， 都在半径为 的球面上．若 ，， 两两相互垂直，则球心到截面 的距离为 ．
24. 在长方体 中，，，，则直线 到平面 的距离为 ．
25. 已知直三棱柱 中，，，， 为 的中点，则 与平面 的距离为 ．
三、解答题（共7小题）
26. 在长方体 中，求证：
（1）；
（2）．
27. 如图，正方体 的边长为 ， 是 的中点，经过点 ，， 的平面交 于点 ．
（1）证明： 是 的中点．
（2）求直线 到平面 的距离 ．
28. 在 中，两直角边 ， 的长分别为 ，， 垂直于平面 ，，求点 到斜边 的距离．
29. 线段 与平面 平行，平面 的斜线 ， 与 分别成 角和 角，且 ，，，求 与平面 的距离．
30. 如图，正方体 的棱长为 ， 是 的中点， 是 上一点，且 ， 与 交于 ．
（1）求证：．
（2）求点 到平面 的距离．
31. 已知长方形 的棱 ，．
（1）求点 和点 的距离；
（2）求直线 和 的距离；
（3）求点 到平面 的距离．
32. 如图，已知四边形 为梯形，，，四边形 为矩形，且 ，又 ，．
（1）证明：；
（2）求点 到平面 的距离．
答案
1. B
2. A
【解析】由题意 在平面 内的射影为 的中点 ，
所以 ，
因为 ，，
在面 内作 的垂直平分线 ，则 为 的外接球球心．
因为 ，
所以 ，，
所以 ，，即为 到平面 的距离．
3. D
【解析】因为 ， 在 上，所以 到平面 的距离即是 到面 的距离，即是 到 的距离，，由三角形面积可得所求距离为 ．
4. D
【解析】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图），
则 ，，，，，，易知 ．
设 是平面 的法向量，
则
取 ，则 为平面 的一个法向量，
又 ，
所以点 到平面 的距离是 ．
故直线 到平面 的距离为 ．
5. C
6. B
7. C
8. B
9. A
【解析】在面 内到直线 ， 的距离即为 到点 ， 的距离，
故有面 内的点 到直线 ， 的距离之和为 ，
由椭圆的定义即知点 的轨迹是椭圆的一部分．
以 所在的直线为 轴，线段 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，
则 ，，
所以 ，，．
设 ，得椭圆的方程为：．
因为 ，
所以 ，
设点 到直线 的距离为 ，
则 ，
解得 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
10. A
【解析】过点 作 于点 ，在过点 在面 内作 于点 ， 于点 ，
由题可知，在 中，，，，则 ；
在 中，，，则 ；
由题可知，四边形 为矩形，则 ，因此，在 中，．
11. D
12. B
13. D
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 的棱长为 ，
对于A，，，，，，
，，，，
设平面 的法向量 ，
则 取 ，得 ，
，
所以 ，故A正确；
对于B，，，，
，，，，，
设平面 的法向量 ，
则 取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 取 ，得 ，
因为 ，，故B正确；
对于C，，，
，，
，，
所以 ，，
因为 ，，，
所以 ，故C正确；
对于D，连接 ，，交于点 ，
因为 ，，
所以 ，，，，， 六点不在同一球面上，故D错误．
14. D
【解析】因为 ， 分别为棱 ， 的中点，
所以 ．
所以 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点 作 于点 ，则 ，
所以 即为所求，
所以 ，
解得 ．
15. D
【解析】因为 为 上的动点， 是上底面 内一动点，且点 到点 的距离等于点 到平面 的距离，所以点 在 ， 中点的连线上．为使当点 运动时， 最小，需 平行于平面 ，此时 ．
16. D
17. D
【解析】提示：可利用体积桥进行求解，．
18. A
【解析】因为两条不重合直线 和 的方向向量分别为 ，，
所以 ，即 与 共线，
所以两条不重合直线 和 的位置关系是平行．
19. A
【解析】
由图分析可知： 到平面 的距离是 ，其中 ． 到直线 距离为 ．在平面 上建立平面直角坐标系如图，设 ，，则 ，化简得：，所以动点 的轨迹为椭圆．
20. A
【解析】观察模块 ⑥ 可知，模块 ⑤ 补模块 ⑥ 中间一层，于是模块⑥只缺最上面的一层的 块，模块 ① 补模块 ⑥ 最上面一层的左边及前面 块，模块 ② 补模块 ⑥ 上面的右后角，如此便能够成为一个棱长为 的大正方体．
21.
22.
23.
【解析】如图所示，
将正三棱锥内接于正方体中，球心为正方体的对角线的交点 ，
则 ，
因为 ，，
所以 ．
设 与平面 交于 点，正方体中 ，
则 为球心到平面 的距离，．
因为 ，，
所以 ．
24.
25.
【解析】设 到平面 的距离为 ，则 ，所以 ，．
26. （1） 因为 ，
所以 （否则的话 与平面 的交点必定在 上），
又 ，，
由例 知，平面 平行于平面 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
由例 知，平面 平行于平面 ．
27. （1） 连接 交 延长线于 ，
在 中，点 是 的中点，则 ，，易知： 是 的中点，
所以 ，
连接 ，易知点 ，， 共面，
即此时点 ，，，， 共面，
则 与 的交点为 点，
又因为： 是 的中点，，
所以 ，，则点 是 的中点，
得证．
（2） 以 为原点 ，， 为坐标轴建系，
，，，，
，，，
设面 一个法向量 ，
令 ，，，
所以 ，
．
28. ．
29. 如图作 于 ， 于 ，
则 且 ，
由 ，得 ，
则 ，
同理 ，
所以 ，
延长 到点 ，使 ，
则 且 ，．
由已知 ，，
设 ，则 ，，
所以 ．
在 中，有 ，即 ，
所以 ．
由已知 点也可以在线段 上，此时有 ，
所以 ，所以 与平面 的距离是 或 ．
30. （1） 在正方形 中，
因为 ，且 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
（2） 由棱长为 可得，等腰 的面积 ，等腰 的面积 ，设所求距离为 ，即为三棱锥 的高．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
31. （1） ．
（2） ．
（3） ．
32. （1） 因为四边形 为矩形，且 ，
所以 ，，则 ，，
在梯形 中，，，，从而 ，，得 ，
在 中，，，，可知 ，
所以 ，
在 中，，，，可知 ，
所以，，
又 ，
故 ．
（2） 在 中，，
则 ，
故 ，
在 中，，，
故等腰三角形 的边 上的高为 ，
故 ，
设点 到平面 的距离为 ，
故有 ，得 ，
故点 到平面 的距离为 ．
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