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分式与分式方程
（测能力）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是( )
A. B. C. D.
2.使等式从左到右变形成立的条件是( )
A. B. C. D.且
3.对于分式，当时，下列说法正确的是( )
A.分式值为0 B.若，分式值为0
C.分式无意义 D.若，分式无意义
4.计算的正确结果是( )
A. B. C. D.
5.下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
6.已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.计算的结果是( )
A. B. C. D.
8.若代数式的化简结果为，则整式A为( )
A. B. C. D.
9.化简，其结果是( )
A.-2 B.2 C. D.
10.若关于x的分式方程有增根，则a的值为( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.若，则____________.
12.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为_______________.
13.若,则___________.
14.化简：________.
15.若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）化简：.
17.（8分）已知，求的值.
18.（10分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子共1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少；
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变，问A种粽子最多能购进多少个？
19.（10分）阅读下列材料，解决问题.
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明.
将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：.
（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为___________；
（2）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值.
20.（12分）已知关于x的分式方程.
（1）已知，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值.
21.（12分）回答下列问题：
(1)已知，若,求之间的关系式.
(2)已知都是正数,，若,则之间有什么关系 试证明你的结论.
答案以及解析
1.答案：D
解析：A.当时,无意义,故A选项不符合题意;
B.当时,无意义,故B选项不符合题意;
C.当时,无意义,故C选项不符合题意;
D.当x为任意实数时,一定有意义,故D选项符合题意.
2.答案：C
解析：从左到右的变形中，分子、分母同乘以x，因此要求.故选C.
3.答案：B
解析：根据题意，可得当时，，分式无意义，要使分式值为0，则需分子为0，分母不为0，当时，分式值为0，所以B项正确.故选B.
4.答案：B
解析：原式.故选B.
5.答案：C
解析：A项，，不符合题意；B项，，不符合题意；C项，是最简分式，符合题意；D项，
，不符合题意.故选C.
6.答案：B
解析：去分母，得.移项、合并同类项，得. 分式方程的解为非负数, ，且，解得，且，正整数m为1,2,4,5，共4个.故选B.
7.答案：B
解析：，故选B.
8.答案：A
解析：..故选A.
9.答案：C
解析：原式.
10.答案：B
解析：方程两边同乘得，
则，
，
.
方程有增根，
，
，
.
故选B.
11.答案：3或-1
解析：若，则，且，此时；若，则且，此时.综上或-1.
12.答案：
解析：原计划每天绿化面积为x万平方米，
则实际每天绿化面积为万平方米，
根据“原计划工作天数-实际工作天数”得.
13.答案：-3
解析：，.
14.答案：（或）
解析：原式，故答案为或.
15.答案：且
解析：，方程两边同时乘，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得，且，且.
16.答案：
解析：原式.
17.答案：由，可得且，解得，
原式，当时，原式.
18.答案：（1）设B种粽子的单价为x元，则A种粽子的单价为1.2x元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
.
答：A种粽子的单价为3元，B种粽子的单价为2.5元.
（2）设再次购进A种粽子m个，则再次购进B种粽子个，
依题意，得，
解得.
答：A种粽子最多能购进1000个.
19.答案：（1）
.
（2）
.
分式的值为整数，是整数，
又x为整数，或，
解得或4或-10或16.
20.答案：（1）是原分式方程的解.
（2）或-6或时，该分式方程无解.
解析：（1）原分式方程去分母得，
整理得.
当时，，解得，
经检验，是原分式方程的解.
（2）分式方程无解，
或.
当时，.
当时，或.
当时，；
当时，.
或-6或时，该分式方程无解.
21.答案：(1)
(2)
解析：(1),
,
,
即，
.
(2).证明如下：
，
，
，
.
都是正数,,即.
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