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【2023秋人教九上数学期中考试临考押题卷】06
考试时间：90分钟；满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考试范围：一元二次方程，二次函数，图形的旋转。
试卷难度约0.4，适合尖子生考前查漏补缺使用。
一、单选题（共32分）
1．（本题4分）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题4分）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（本题4分）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
4．（本题4分）已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
5．（本题4分）如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列选项中的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
6．（本题4分）二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如表：
1 2
3 4 3
有下列四个结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③0和1是方程的两个根；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（本题4分）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题4分）如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
二、填空题（共32分）
9．（本题4分）若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为
10．（本题4分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“☆”，，则方程的实数根是 ．
11．（本题4分）若关于x的函数是二次函数，则满足条件的m的值为 ．
12．（本题4分）如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，2的值总是正数；②；③当时，；④．其中正确结论是 ．
13．（本题4分）已知，二次函数在上有最小值4，则 ．
14．（本题4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
15．（本题4分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”若抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，当时，求的取值范围 ．
16．（本题4分）如图，在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转度（）到，设与与交于点D，连接，当旋转角度数为 时，为等腰三角形．
三、解答题（共86分）
17．（本题8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
(1)直接写出m的取值范围
(2)若满足，求m的值．
(3)若，求证：；
18．（本题8分）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．（本题8分）已知关于的一元二次方程
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．
(2)若方程的两实数根分别为，并且满足求m的值．
20．（本题8分）已知二次函数．
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点，与y轴交于点B，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求的面积；
(3)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
21．（本题8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
(1)若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 利最多？
22．（本题8分）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，连接，，分别交，于点G、F，交于点H．
(1)求的度数；
(2)求证：．
23．（本题8分）如图，在矩形中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动．点在射线上（在点的左侧），且，以线段为斜边向直线上方作等腰直角，设点的运动时间为与矩形重叠部分图形的面积为．
(1)当点与点重合时，直接写出的长；
(2)当与矩形重叠部分图形不是三角形，且时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
24．（本题8分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
25．（本题10分）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图（1）在等边内部，有一点，若求证：．
证朋：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，
∴ ，________________，
∵ ∴
∴________________，即．
（2）类比延伸：如图②在等腰三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．（提示：将绕A点逆时针旋转90°）
（3）联想拓展：如图③在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中），请直接写出k的值．（提示：将绕A点顺时针旋转120°）
26．（本题12分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标；
(3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【2023秋人教九上数学期中考试临考押题卷】06
考试时间：90分钟；满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考试范围：一元二次方程，二次函数，图形的旋转。
试卷难度约0.4，适合尖子生考前查漏补缺使用。
一、单选题（共32分）
1．（本题4分）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵a与b是方程的两根
∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0
∴a2=a+1，b2=b+1
∵，同理：
∴
故选：D．
2．（本题4分）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程两根为-1和2，则；
②若，则；
③若，则方程一定无解；
④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】①若方程两根为-1和2，
则，则，即；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此选项符合题意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
3．（本题4分）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2
【答案】B
【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：，
（②-①）÷3，得：y-x+1=0，
∴x=y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，
整理，得：y2-2y-15=0，
解得：y1=5，y2=-3（舍去），
∴x=6．
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+
（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．
故选：B．
4．（本题4分）已知，二次函数（a，b是常数，a≠0）的图象经过，，三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【详解】解：由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，
①若经过点A和点B，
∵，都在直线上，而抛物线与轴交点始终在直线上，
∴二次函数的图象不能同时经过点A，B；
②∵，，
∴抛物线也不同时经过点B，点C，
③经过点A、点C，如图，
∴
解得，
∴，
当时，，
则点是的顶点，
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，此时纵坐标为；
而经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，
当时，，
当时，y有最大值，为：，
故选：C．
5．（本题4分）如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列选项中的结论，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x的方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【详解】解：由图，抛物线开口向下，，与轴交于正半轴，；对称轴，
∴．
∴．A正确；
∵，
∴．
∴；B正确；
∵，
∴点关于对称轴对称．
∴．C错误；
时，，
∵
∴
∴.
当时，，
∴有两个不相等的实数根．D正确；
故选：C
6．（本题4分）二次函数（、、是常数，且）的自变量与函数值的部分对应值如表：
1 2
3 4 3
有下列四个结论：①；②抛物线的对称轴是直线；③0和1是方程的两个根；④若，则．其中正确结论的个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：由表可得，
点，，在函数图像上，
∴二次函数开口向下，，对称轴为，，
∴①正确，②错误；
∵函数经过点，
∴ ，
∴1是方程的根，
根据对称性可得点的对称点可得，即，
可得③正确；
根据对称轴及点可得对称点为，
∵，对称轴，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，故④正确
故选B．
7．（本题4分）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设由于、关于点对称，
可知：，，
解得：，，
，
故选：D．
8．（本题4分）如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【详解】如图，连接，作于点，作于点，
，
四边形为矩形，
，
绕点顺时针旋转得到，
∴是等腰直角三角形，
是的中点，
，，
，
，
∴，
，
平分，点在射线上运动，
当时，最短，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（共32分）
9．（本题4分）若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为
【答案】
【详解】解：一元二次方程变形为，
所以此方程可看作关于的一元二次方程，
因为关于x的一元二次方程的一个根是，
所以关于的一元二次方程的一个根是，
即，
解得，
所以一元二次方程必有一根为，
故答案为：．
10．（本题4分）设a、b是两个整数，若定义一种运算“☆”，，则方程的实数根是 ．
【答案】 ，
【详解】解：∵，
∴
∴，即，
解得： ，．
故答案为： ，．
11．（本题4分）若关于x的函数是二次函数，则满足条件的m的值为 ．
【答案】
【详解】解：依题意得，，
即，且，
即，
解得：或（舍去）．
故答案为：．
12．（本题4分）如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，2的值总是正数；②；③当时，；④．其中正确结论是 ．
【答案】①④
【详解】解：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故答案为：①④．
13．（本题4分）已知，二次函数在上有最小值4，则 ．
【答案】或
【详解】解：，
当，即时，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
解得，
又，
∴；
当，即时，
当时，y有最小值，此时，
∴；
当，即时，当时，y随x的增大而减少，
∴当时，y有最小值，此时，
化简得，
∴，
∴方程无解，
∴此时不存在；
综上，当或时，二次函数在上有最小值4．
故答案为：或．
14．（本题4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
【答案】 +
【详解】解：如图，
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE
＝DE+D′F+FG+GE′
＝DE+D′E′
＝.
∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．
故答案是： +．
15．（本题4分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”例如，都是“黎点”若抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，当时，求的取值范围 ．
【答案】
【详解】解：抛物线、为常数上有且只有一个“黎点”，
方程有且只有一个解，
即，，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（本题4分）如图，在中，，，将绕C点按逆时针方向旋转度（）到，设与与交于点D，连接，当旋转角度数为 时，为等腰三角形．
【答案】或
【详解】解：∵绕C点按逆时针方向旋转度（）到，
，，
，
∵，
．
当为等腰三角形时，分下面三种情况：
（1）时，，
即，
解得；
（2）时，，
∵，
，
解得；
（3）时，，
与矛盾，即此种情况不存在．
综上可知，度数为或．
故答案为：或．
三、解答题（共86分）
17．（本题8分）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
(1)直接写出m的取值范围
(2)若满足，求m的值．
(3)若，求证：；
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
（2）解：∵，且，
∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
（3）证明：因为，
把和代入上式，
得，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
即．
18．（本题8分）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
∴，
解得：；
（2）解：
∴，
解得：；
（3）解：
∴，
∴或，
解得：；
（4）解：，
∴，
∴或，
解得：．
19．（本题8分）已知关于的一元二次方程
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围．
(2)若方程的两实数根分别为，并且满足求m的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴，
解得：，
∴实数m的取值范围是；
（2）解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
解得：（不符合要求，舍去）或，
∴．
20．（本题8分）已知二次函数．
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个公共点，求k的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点，与y轴交于点B，直线与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求的面积；
(3)根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
【答案】(1)
(2)9
(3)使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，
∴，
∴．
（2）解：∵二次函数的图象过点，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为
令，则，即．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴把代入，
∴．
（3）解：根据函数图象可知：使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围为．
21．（本题8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
(1)若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 利最多？
【答案】(1)每件衬衫应降价元
(2)每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得，．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降元．
答：每件衬衫应降价元．
（2）设商场平均每天赢利元，则
．
当时，取最大值，最大值为．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元．
22．（本题8分）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，连接，，分别交，于点G、F，交于点H．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：由绕顺时针旋转得到，
，，
，
，
又，
，
；
（2）证明：，
，
∵在和中，
，
∴．
23．（本题8分）如图，在矩形中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动．点在射线上（在点的左侧），且，以线段为斜边向直线上方作等腰直角，设点的运动时间为与矩形重叠部分图形的面积为．
(1)当点与点重合时，直接写出的长；
(2)当与矩形重叠部分图形不是三角形，且时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当点与点重合时，如图1，过点作于，
是等腰直角三角形，
，
，四边形是矩形，
在上，且，
，，
四边形是正方形，
，
；
（2）分三种情况：
①如图2，当时，与矩形重叠部分图形是四边形，
是等腰直角三角形，，
，
由题意得：，则，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
②如图3，当时，与矩形重叠部分图形是五边形，
．
③如图4，当时，与矩形重叠部分图形是四边形，
．
综上，关于的函数关系式为：．
24．（本题8分）如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①，②，理由见解析
【详解】（1）解：，
证明：是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
；
（2）解：①当时，
则，
，
，
，
故答案为：；
②，理由如下：
延长到，使，连接，，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
又为正三角形，
，
．
25．（本题10分）（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图（1）在等边内部，有一点，若求证：．
证朋：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形，
∴ ，________________，
∵ ∴
∴________________，即．
（2）类比延伸：如图②在等腰三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．（提示：将绕A点逆时针旋转90°）
（3）联想拓展：如图③在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中），请直接写出k的值．（提示：将绕A点顺时针旋转120°）
【答案】（1）；；（2），见解析；（3）
【详解】解：(1)；
(2)．
证明如下：如图①，将绕点逆时针旋转90°，得到，连接，
则为等腰直角三角形，
，
，
，
；
(3) ．
如图②，将绕点顺时针旋转120°得到，连接，过点作于点，
可得，
，
，
在中， ，
，
，
．
26．（本题12分）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标；
(3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，和
【详解】（1） 与轴的交点，与轴的交点的坐标，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为，
将，代入，
得，
抛物线的解析式为
（2）如图1，设第三象限内的点的坐标为，
则，.
，
对称轴为直线，顶点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴交于点，连接，则，.
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为.
，
以、、为顶点的三角形面积为3时，，
解得：，（舍去），
当时，
点的坐标为；
（3）设点坐标为，
，
分两种情况
①如图2，
若，
则，即，
，
点的坐标为；
②如图3，
若，
则，即
点的坐标为；
综上所述，点坐标为或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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