卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年人教版八年级数学上册《14.3因式分解》解答题专题训练（附答案）
1．分解因式：
（1）x2y﹣25y；
（2）﹣m2+6m﹣9．
2．因式分解．
（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）；
（2）y2+y+．
3．因式分解：
（1）ab﹣a3b；
（2）（x+1）（x﹣3）+4．
4．分解因式：
（1）x3y﹣9xy；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．
5．因式分解：
（1）2a3﹣4a2b+2ab2；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．
6．分解因式：
（1）4m3n﹣16mn2+4mn；
（2）（2a+b）（2a﹣3b）﹣8a（2a+b）；
（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）；
（4）a2（a﹣1）2﹣a（1﹣a）2．
7．将下列各式因式分解：
（1）m2+mn+n2；
（2）3x3﹣12x2y+12xy2；
（3）y4﹣8y2+16；
（4）（x4+y4）2﹣（2x2y2）2．
8．把下列各式因式分解：
（1）（x2+4）2﹣16x2；
（2）﹣4ab﹣4a2﹣b2．
9．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0．试判断该三角形的形状，并说明理由．
10．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题；
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
11．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，
∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即，
解得，
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝ ；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值及另一个因式．
12．综合与实践
如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
13．在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣4x分解结果为x（x+2）（x﹣2）．当x＝20时，x﹣2＝18，x+2＝22，此时可得到数字密码201822，或者是182022等．
（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m、n的值．
14．阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
15．因式分解是学习分式的重要基础，面对一些看似复杂的二次三项式，我们可以综合平方差公式和完全平方公式进行分解，例如：
①x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+12﹣12﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝[（x﹣1）+2][（x﹣1）﹣2]＝（x+1）（x﹣3）；
②x2﹣4x+3＝x2﹣4x+22﹣22+3＝（x﹣2）2﹣1＝[（x﹣2）+1][（x﹣2）﹣1]＝（x﹣1）（x﹣3）；
③x2+6x+5＝x2+6x+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4＝[（x+3）+2][（x+3）﹣2]＝（x+5）（x+1）；
④x2+8x﹣20＝x2+8x+42﹣42﹣20＝（x+4）2﹣36＝[（x+4）+6][（x+4）﹣6]＝（x+10）（x﹣2）
…
根据上述的提示，解答下列问题：
（1）仿照提示中的步骤，证明x2﹣10x﹣56＝（x﹣14）（x+4）；
（2）对二次三项式x2+10x﹣24进行因式分解．
16．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．
参考答案
1．解：（1）原式＝y（x2﹣25）
＝y（x+5）（x﹣5）；
（2）原式＝﹣（m2﹣6m+9）
＝﹣（m﹣3）2．
2．解：（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；
（2）y2+y+
＝y2+y+
＝．
3．解：（1）原式＝ab（1﹣a2）＝ab（1+a）（1﹣a）；
（2）原式＝x2﹣3x+x﹣3+4
＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2．
4．解：（1）x3y﹣9xy
＝xy（x2﹣9）
＝xy（x+3）（x﹣3）；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）
＝x2（x﹣y）﹣2x（x﹣y）+（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣2x+1）
＝（x﹣y）（x﹣1）2．
5．解：（1）2a3﹣4a2b+2ab2
＝2a（a2﹣2ab+b2）
＝2a（a﹣b）2；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
＝x2﹣3x﹣x+3+1
＝x2﹣4x+4
＝（x﹣2）2．
6．解：（1）4m3n﹣16mn2+4mn
＝4mn（m2﹣4n+1）；
（2）（2a+b）（2a﹣3b）﹣8a（2a+b）
＝（2a+b）（2a﹣3b﹣8a）
＝（2a+b）（﹣6a﹣3b）
＝﹣3（2a+b）（2a+b）
＝﹣3（2a+b）2；
（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）
＝3x（x﹣2）+（x﹣2）
＝（x﹣2）（3x+1）；
（4）a2（a﹣1）2﹣a（1﹣a）2
＝a2（a﹣1）2﹣a（a﹣1）2
＝（a﹣1）2（a2﹣a）
＝a（a﹣1）2（a﹣1）
＝a（a﹣1）3．
7．解：（1）原式＝（m+n）2；
（2）原式＝3x（x2﹣4xy+4y2）
＝3x（x﹣2y）2；
（3）原式＝（y2﹣4）2
＝[（y+2）（y﹣2）]2
＝（y+2）2（y﹣2）2；
（4）原式＝（x4+y4+2x2y2）（x4+y4﹣2x2y2）
＝（x2+y2）2（x2﹣y2）2
＝（x2+y2）2[（x+y）（x﹣y）]2
＝（x2+y2）2（x+y）2（x﹣y）2．
8．解：（1）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2；
（2）﹣4ab﹣4a2﹣b2
＝﹣（4ab+4a2+b2）
＝﹣（2a+b）2．
9．解：该三角形是等边三角形，
理由：a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b且b＝c，
即a＝b＝c，
∴该三角形是等边三角形．
10．解：（1）y2+8y+16＝（y+4）2，用到的是完全平方公式；
（2）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，
∴因式分解不彻底；
（3）设y＝x2﹣2x，
∴（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
11．解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴x2﹣mx﹣12＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5，
∴另一个因式为x2+2x﹣5．
12．解：（1）根据题意，，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣12）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332，
故答案为：332．
（3）设一个奇数为2n﹣1，则另一个相邻的奇数为2n+1，
∴（2n﹣1）2﹣（2n+1）2＝[（2n﹣1）+（2n+1）][（2n﹣1）﹣（2n+1）]＝4n×（﹣2）＝﹣8n，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
13．解：（1）∵x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y），
又∵当x＝16，y＝4时，x+y＝20，x﹣y＝12，
∴可得到数字密码为：162012或161220；
（2）∵x＝10，得到的密码为101213，
∴多项式x3+（m﹣n）x2+nx可分解为x（x+2）（x+3），
∵x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，
∴x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3）．
∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
∴n＝6，m﹣n＝5，
∴m＝11．
∴m＝11，n＝6．
14．解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
15．解：（1）x2﹣10x﹣56＝x2﹣10x+25﹣81
＝（x﹣5）2﹣92
＝（x﹣5+9）（x﹣5﹣9）
＝（x+4）（x﹣14）；
（2）x2+10x﹣24＝x2+10x+25﹣49
＝（x+5）2﹣72
＝（x+5+7）（x+5﹣7）
＝（x+12）（x﹣2）．
16．解：（1）4x4+1
＝4x4+4x2+1﹣4x2
＝（2x2+1）2﹣4x2
＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；
（2）x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．
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