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第1讲 万有引力定律及应用
课 程 标 准
通过史实，了解万有引力定律的发现过程．知道万有引力定律．认识发现万有引力定律的重要意义．认识科学定律对人类探索未知世界的作用．
素 养 目 标
物理观念：理解开普勒行星运动定律和万有引力定律．
科学思维：(1)掌握运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法．
(2)掌握计算天体质量和密度的方法．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、开普勒行星运动定律
通常按圆轨道处理
1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等．
对同一个行星而言
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的________的二次方的比都相等，表达式：＝k.
椭圆
焦点
面积
公转周期
只与中心天体有关，不同的中心天体值不同．
二、万有引力定律 满足牛顿第三定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的________成正比、与它们之间距离r的________成反比．
2．表达式：F＝G，G为引力常量，其值通常取G＝6.67×10－11________．
3．适用条件：
(1)公式适用于________间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球________间的距离．
乘积
二次方
N·m2/kg2
质点
球心
走进科学
我国的“天链一号”是地球同步卫星，在发射变轨过程中有一椭圆轨道如图所示，A、B是“天链一号”运动的远地点和近地点．
(1)根据开普勒第一定律，“天链一号”围绕地球运动的轨迹是椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上．( )
(2)根据开普勒第二定律，“天链一号”在B点的运动速度比在A点小．( )
(3)“天链一号”在A点的加速度小于在B点的加速度．( )
(4)开普勒第三定律＝k中，k是只与中心天体有关的物理量．( )
(5)开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律．( )
√
×
√
√
×
关键能力·精准突破
考点一 开普勒定律
1．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
2．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
针 对 训 练
1.2021年4月29日，长征五号B遥二火箭在海南文昌航天发射场点火升空，将载人航天工程空间站“天和核心舱”精准送入预定轨道．“天和核心舱”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N离地高度分别为439 km和2 384 km，则“天和核心舱”运行过程中( )
A．在M点的加速度小于N点的加速度
B．在M点的速度小于N点的速度
C．从M点运动到N点的过程中动能逐渐减小
D．从M点运动到N点的过程中机械能逐渐增大
答案：C
解析：由G＝ma可得，在M点的加速度大于N点的加速度，故A错误；由开普勒第二定律，可得近地点的速度大于远地点的速度，故在M点的速度和动能大于N点的速度和动能，故C正确，B错误；在同一轨道运行，机械能守恒，D错误．
2．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )
A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
答案：A
解析：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km.为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律＝，解得T1＝3 h，A项正确．
考点二 万有引力定律
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg2.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
针 对 训 练
3.(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体．下列说法正确的是( )
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
答案：AC
解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
答案：B
解析：万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确．
5．若将地球看作质量分布均匀的球体(半径为R)，且不计地球的自转．关于地球表面处的重力加速度g1，地球表面下方深处的重力加速度为g2，地球表面上方高处的重力加速度为g3，下列说法正确的是( )
A．g3
解析：在地球表面的物体，万有引力近似等于重力，有G＝mg1；在地球表面下方深处的重力加速度相当于半径为R－＝的球体在其表面产生的加速度，由球的体积公式V＝πr3及M＝ρV可知，半径为的球体质量为半径为R的球体的，故G＝G＝mg2；地球表面上方高处的重力加速度为G＝G＝mg3.由上面的分析可知g3
天体质量和密度的估算方法：
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
③GM＝gR2称为黄金代换公式．
(2)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.
①由G＝mr得天体的质量M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝.
考向1 重力加速度法
例1 假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，物体上升的最大高度为h.已知月球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力．则月球的密度为( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：设月球质量为M，月球表面重力加速度为g′，由自由落体运动公式得h＝g′()2，月球表面质量为m的物体所受重力mg′＝G，月球体积为V＝πR3，则月球密度为ρ＝，联立以上各式得ρ＝，选项C正确．
考向2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
例2 (多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．太阳的平均密度ρ＝
答案：AB
解析：对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝，所以地球质量m地＝，故A项正确；地球绕太阳运动，有＝m地，则m太＝，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误．
针 对 训 练
6.(多选)2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与空间站组合体成功完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富先后进入天和核心舱，中国空间站也迎来了第二个飞行乘组和首位女航天员．已知天和核心舱在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球的自转．由以上数据能求出的物理量是( )
A．地球的平均密度
B．天和核心舱受到的万有引力
C．天和核心舱在轨飞行的速度
D．地球的半径
答案：ACD
解析：设地球半径为R，质量为M，由“黄金代换”公式GM＝gR2得M＝；天和核心舱做匀速圆周运动的半径为R＋h，天和核心舱在绕地做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有G＝m()2(R＋h)，化简得M＝；地球的体积为V地＝πR3，则地球的平均密度为ρ地＝＝.由以上联立可解出M、R、ρ地．天和核心舱受到的万有引力为F引＝G，其中天和核心舱的质量m无法得知，所以无法计算天和核心舱受到的万有引力，B错误．由匀速圆周运动中的线速度公式有v＝，可知天和核心舱的线速度为v＝，其中R可求出，所以天和核心舱在轨飞行的速度可计算．综上可知，本题选ACD.
素养提升 双星或多星模型
1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，
即＝r1，＝r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
2．三星模型
情境导图
运动特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力特点 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
解题规律
典例1 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力之比为3：1
C．恒星A与恒星B的线速度之比为1：3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为：1
答案：A
解析：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力来源于恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA：rB＝3：1，选项B、D错误；设两恒星相距为L，即rA＋rB＝L，则有MrA＝G，解得L＝ ，选项A正确；由v＝r可得恒星A与恒星B的线速度之比为3：1，选项C错误．
典例2 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
答案：BC
解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；三星系统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得T＝4πR ，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M·，联立解得L＝R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝，解得v＝··，D错误．课时分层作业(十九) 万有引力定律及应用
?基础强化练?
1．2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
2．[2022·河北卷]2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星“羲和”的质量是太阳质量的2倍，若将“望舒”与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则“望舒”与地球公转速度大小的比值为( )
A．2B．2
C．D．
3．[2022·抚顺一中月考]如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b.如果把探测器与月球球心连线扫过的面积与所用时间的比值定义为面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的面积速率之比为(已知椭圆的面积S＝πab)( )
A.B．C．D．
4．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A．B．1C．5D．10
5.
[2023·安徽宣城模拟]“天问一号”探测器于2020年7月23日成功发射，由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，成为一颗人造行星，与地球、火星共同绕太阳公转，并逐渐远离地球，飞向火星，其运动轨道如图所示．若地球到太阳的平均距离为1Au(天文单位)，火星到太阳的平均距离为1.5Au，则“天问一号”在地火转移椭圆轨道上运动的周期约为( )
A．0.8年B．1.4年
C．2.2年D．2.6年
6．(多选)夜空中我们观测到的亮点．其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统．在多星系统中，双星系统又是最常见的，图甲为绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统，其抽象示意图如图乙所示，若双中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1.则( )
A.根据图乙可以判断出k>1
B．若双中子星的角速度和它们之间的距离一定，则P和Q做圆周运动的线速度之和一定
C．P星的线速度与双星间距离成正比
D．根据图乙可以判断出k<1
?能力提升练?
7．[2023·上海杨浦区一模]
在半径为R1的K星球表面竖直向上提起一质量为m1的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线1所示．在半径为R2的T星球表面竖直向上提起一质量为m2的物体，拉力F与物体加速度a的关系如图线2所示，设两星球密度相等，质量分布均匀，不考虑星球的自转．则( )
A．m1∶m2＝3∶1，R1∶R2＝1∶2
B．m1∶m2＝3∶2，R1∶R2＝3∶1
C．m1∶m2＝3∶1，R1∶R2＝2∶3
D．m1∶m2＝3∶2，R1∶R2＝2∶1
8．[2023·武汉质检]太空授课中，王亚平演示了测量物体质量的实验，让广大青少年领悟到了太空探索的趣味和航天员的魅力．某中学兴趣小组就在轨做匀速圆周运动的天宫空间站内“测物体质量”的问题，设计了下列四个方案，其中正确的是( )
A.像在地面上那样，用天平可直接测出待测物体质量m
B．根据已知的轨道半径、地球质量、引力常量等，计算出空间站所在处的重力加速度g，再用弹簧测力计测出物体重力G，利用公式G＝mg求出待测物体质量m
C．让待测物体与已知质量为m2的静止物体正碰，测出两物体碰撞前、后(相对于空间站)的速度v1、v′1、v′2，再利用m1v＝m1v′＋m2v′求出待测物体质量m1
D．使待测物体受到沿运行轨道切向的已知恒力F的作用，测出待测物体(相对于空间站)从静止开始经很短时间t移动的位移x，再利用F＝ma＝m·求出待测物体质量m
9.
[2022·辽宁卷]如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sinβm
D．水星与金星的公转线速度之比为∶
课时分层作业（十九）
1．解析：根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得M＝＝＝，可知已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量．故D正确．
答案：D
2．解析：地球绕太阳公转和行星“望舒”绕恒星“羲和”的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，有G＝m
解得公转的线速度大小为v＝，根据题述天文观测得到恒星“羲和”的质量是太阳质量的2倍，即中心天体的质量M之比为2∶1，公转的轨道半径r相等，由此可知“望舒”与地球公转速度大小的比值为，C正确．
答案：C
3．解析：由开普勒第三定律得＝，解得＝，根据探测器与月球球心的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为面积速率得＝＝＝.故B正确．
答案：B
4．解析：行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，M＝，则＝（）3·（）2＝（）3×（）2≈1，选项B正确．
答案：B
5．解析：“天问一号”做椭圆运动的半长轴为r火＝（1Au＋1.5Au）＝1.25Au，根据开普勒第三定律可得＝，地球公转周期为T地＝1年，解得T火≈1.4年，故B正确．
答案：B
6．解析：设OP＝RP，OQ＝RQ，PQ＝r，两星角速度为ω，由万有引力提供向心力有＝mPω2RP＝mQω2RQ，可得mPRP＝mQRQ，已知RP>RQ，故mP
7．解析：物体在星球表面竖直向上加速，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，变形得F＝ma＋mg，则F a图线的斜率表示物体的质量，所以有k1＝m1＝，k2＝m2＝，故m1∶m2＝3∶1.当a＝0时，拉力等于物体的重力，则有m1g1＝3F0、m2g2＝2F0，故K星球与T星球表面的重力加速度之比为g1∶g2＝1∶2.物体在星球表面上，当不考虑星球自转时，万有引力等于重力，则有G＝mg，又M＝ρ×πR3，联立解得星球的半径R＝，故R1∶R2＝g1∶g2＝1∶2，选项A正确．
答案：A
8．解析：在天宫空间站中，所有的物体都处于完全失重状态，一切与重力有关的仪器都不能使用，所以天平不能直接测出物体的质量m，弹簧测力计也不能测出物体的重力G，故A、B错误；因为不能确定两物体的碰撞是否为弹性碰撞，因此碰撞前、后两物体组成的系统的机械能不一定守恒，故C错误；在运行轨道切向方向上，待测物体受恒力作用，相对空间站做匀加速运动（很短时间可近似看作匀加速直线运动），则由x＝at2，可得a＝，由牛顿第二定律有F＝ma＝m·，解得m＝，故D正确．
答案：D
9．解析：天体运动，万有引力提供向心力有，G＝mR＝ma
可解得T＝2π，a＝.因为水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，A错误，B正确；设水星的公转半径为R水，地球的公转半径为R地，当α角最大时有sinαm＝，同理可知有sinβm＝
所以水星与金星的公转半径之比为R水∶R金＝sinαm∶sinβm，C正确；
根据万有引力提供向心力，G＝m，可得v＝，由v＝，R水∶R金＝sinαm∶sinβm联立解得v水∶v金＝∶，D错误．
答案：BC第1讲 万有引力定律及应用
课 程 标 准
通过史实，了解万有引力定律的发现过程．知道万有引力定律．认识发现万有引力定律的重要意义．认识科学定律对人类探索未知世界的作用．
素 养 目 标
物理观念：理解开普勒行星运动定律和万有引力定律．
科学思维：(1)掌握运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法．
(2)掌握计算天体质量和密度的方法．
必备知识·自主落实
一、开普勒行星运动定律
通常按圆轨道处理
1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等．
对同一个行星而言
3．开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的________的二次方的比都相等，表达式：＝k.
只与中心天体有关，不同的中心天体值不同．
二、万有引力定律 满足牛顿第三定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的________成正比、与它们之间距离r的________成反比．
2．表达式：F＝G，G为引力常量，其值通常取G＝6.67×10－11________．
3．适用条件：
(1)公式适用于________间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球________间的距离．
走进科学
我国的“天链一号”是地球同步卫星，在发射变轨过程中有一椭圆轨道如图所示，A、B是“天链一号”运动的远地点和近地点．
(1)根据开普勒第一定律，“天链一号”围绕地球运动的轨迹是椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上．( )
(2)根据开普勒第二定律，“天链一号”在B点的运动速度比在A点小．( )
(3)“天链一号”在A点的加速度小于在B点的加速度．( )
(4)开普勒第三定律＝k中，k是只与中心天体有关的物理量．( )
(5)开普勒根据自己长期观察的实验数据总结出了行星运动的规律，并发现了万有引力定律．( )
关键能力·精准突破
考点一 开普勒定律
1．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
2．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
针 对 训 练
1.2021年4月29日，长征五号B遥二火箭在海南文昌航天发射场点火升空，将载人航天工程空间站“天和核心舱”精准送入预定轨道．“天和核心舱”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N离地高度分别为439 km和2 384 km，则“天和核心舱”运行过程中( )
A．在M点的加速度小于N点的加速度
B．在M点的速度小于N点的速度
C．从M点运动到N点的过程中动能逐渐减小
D．从M点运动到N点的过程中机械能逐渐增大
2．如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6 400 km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)( )
A．3 h B．8 h
C．15 h D．20 h
考点二 万有引力定律
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg2.
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
针 对 训 练
3.(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体．下列说法正确的是( )
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
4．火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
5．若将地球看作质量分布均匀的球体(半径为R)，且不计地球的自转．关于地球表面处的重力加速度g1，地球表面下方深处的重力加速度为g2，地球表面上方高处的重力加速度为g3，下列说法正确的是( )
A．g3
天体质量和密度的估算方法：
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
①由G＝mg得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
③GM＝gR2称为黄金代换公式．
(2)测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.
①由G＝mr得天体的质量M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝.
考向1 重力加速度法
例1 假设在月球表面将物体以某速度竖直上抛，经过时间t物体落回月球表面，物体上升的最大高度为h.已知月球半径为R，引力常量为G，不计一切阻力．则月球的密度为( )
A． B．
C． D．
[解题心得]
考向2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
例2 (多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出( )
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．太阳的平均密度ρ＝
[解题心得]
针 对 训 练
6.(多选)2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与空间站组合体成功完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富先后进入天和核心舱，中国空间站也迎来了第二个飞行乘组和首位女航天员．已知天和核心舱在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球的自转．由以上数据能求出的物理量是( )
A．地球的平均密度
B．天和核心舱受到的万有引力
C．天和核心舱在轨飞行的速度
D．地球的半径
素养提升 双星或多星模型
1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝r1，＝r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
2．三星模型
情境导图
运动特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力特点 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
解题规律 ＝man，×cos 30°×2＝man
典例1 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称之为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．两颗恒星相距
B．恒星A与恒星B的向心力之比为3：1
C．恒星A与恒星B的线速度之比为1：3
D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为：1
[解题心得]
典例2 (多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
[解题心得]
第五章 万有引力与航天
第1讲 万有引力定律及应用
必备知识·自主落实
一、
1．椭圆 焦点
2．面积
3．公转周期
二、
1．乘积 二次方
2．N·m2/kg2
3．(1)质点 (2)球心
走进生活
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
关键能力·精准突破
1．解析：由G＝ma可得，在M点的加速度大于N点的加速度，故A错误；由开普勒第二定律，可得近地点的速度大于远地点的速度，故在M点的速度和动能大于N点的速度和动能，故C正确，B错误；在同一轨道运行，机械能守恒，D错误．
答案：C
2．解析：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4 200 km，可知轨道半径约为R1＝10 600 km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36 000 km，可知轨道半径约为R2＝42 400 km.为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24 h，运用开普勒第三定律＝，解得T1＝3 h，A项正确．
答案：A
3．解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1
4．解析：万有引力表达式为F＝G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为＝＝0.4，选项B正确．
答案：B
5．解析：在地球表面的物体，万有引力近似等于重力，有G＝mg1；在地球表面下方深处的重力加速度相当于半径为R－＝的球体在其表面产生的加速度，由球的体积公式V＝πr3及M＝ρV可知，半径为的球体质量为半径为R的球体的，故G＝G＝mg2；地球表面上方高处的重力加速度为G＝G＝mg3.由上面的分析可知g3
例1 解析：设月球质量为M，月球表面重力加速度为g′，由自由落体运动公式得h＝g′()2，月球表面质量为m的物体所受重力mg′＝G，月球体积为V＝πR3，则月球密度为ρ＝，联立以上各式得ρ＝，选项C正确．
答案：C
例2 解析：对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝，所以地球质量m地＝，故A项正确；地球绕太阳运动，有＝m地，则m太＝，故B项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D项错误．
答案：AB
6．解析：设地球半径为R，质量为M，由“黄金代换”公式GM＝gR2得M＝；天和核心舱做匀速圆周运动的半径为R＋h，天和核心舱在绕地做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有G＝m()2(R＋h)，化简得M＝；地球的体积为V地＝πR3，则地球的平均密度为ρ地＝＝.由以上联立可解出M、R、ρ地．天和核心舱受到的万有引力为F引＝G，其中天和核心舱的质量m无法得知，所以无法计算天和核心舱受到的万有引力，B错误．由匀速圆周运动中的线速度公式有v＝，可知天和核心舱的线速度为v＝，其中R可求出，所以天和核心舱在轨飞行的速度可计算．综上可知，本题选ACD.
答案：ACD
典例1 解析：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力来源于恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA：rB＝3：1，选项B、D错误；设两恒星相距为L，即rA＋rB＝L，则有MrA＝G，解得L＝ ，选项A正确；由v＝r可得恒星A与恒星B的线速度之比为3：1，选项C错误．
答案：A
典例2 解析：直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A错误；三星系统中，对直线三星系统有G＋G＝MR，解得T＝4πR，B正确；对三角形三星系统，根据万有引力和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M·，联立解得L＝R，C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝，解得v＝··，D错误．
答案：BC
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