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第3章《一元一次不等式》精选单元检测试题
满分100分 时间90分钟
一、选择题（共30分）
1．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如果是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
5．把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图表示某个不等式组的解集，这个不等式组可以是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．小聪用元钱去购买笔记本和钢笔共件，已知每本笔记本元，每支钢笔元，小聪最多能买（ ）支钢笔．
A． B． C． D．
9．已知不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，若，则x的取值可以是（ ）
A．56 B．51 C．45 D．40
二、填空题（共18分）
11．将“x与3的和小于5”用不等式表示为 ．
12．如果，那么 填“>”、“<”或“=”
13．不等式的解集是 ．
14．若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是 ．
15．2023年4月23日是第28个世界读书日，鼓励人们尤其是年轻人发现读书的乐趣，并以此对那些推动人类社会和文化提高的人们所做出的伟大贡献表示感激和尊重．小明读一本390页的书，计划15天内读完，但前6天由于身体原因只读了120页，如果他想按原计划读完，则从第7天起平均每天至少要读 页．
16．若关于的不等式组的解集为，且关于的方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
三、解答题（共52分）
17．（6分）解不等式， 并把解集在数轴上表示出来．
18．（6分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
19．（6分）不等式组的所有整数解之和．
20．（8分）阅读与思考
阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或．
任务：
(1)填空：上述解答过程中的“依据”是指__________．
(2)仿照例题利用分类讨论思想解不等式：．
21．（8分）为传承红色精神，发扬党的红色传统，东方红学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，此次竞赛一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)小伟同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为81分，则他一共答对了多少道题？
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
22．（9分）在“抗击疫情”期间，某超市购进甲，乙两种有机蔬菜销售．设甲种蔬菜进价每千克元，乙种蔬菜进价每千克元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求，的值．
(2)该超市决定每天购进甲，乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1152元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克（为正整数），请写出所有可能的购买方案．
23．（9分）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，如：方程就是不等式组的“关联方程”．
(1)方程①，②是不等式是的关联方程的是___________________．
(2)若关于x的方程（k为整数）是不等式组的一个关联方程，求整数k的值．
(3)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】根据不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式，
∴共个不等式．
故选：．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
2．D
【分析】根据，得出是不等式的解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴是不等式的解，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式解的意义．
3．D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次进行判断即可得，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意；
B、，则，选项说法错误，不符合题意；
C、，则，选项说法错误，不符合题意；
D、，则，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．
5．D
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【详解】解：将不等式移项得：，
合并同类项得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．
6．C
【分析】观察数轴上表示的解集，判断即可．
【详解】解：根据数轴得：，
则这个不等式可以是．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
7．D
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出不等式的正整数解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∴不等式的正整数解为1，2，3，4，一共4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
8．B
【分析】设小聪买了支钢笔，则买了本笔记本，根据总价=单价×数量结合总钱数不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可得出结论．
【详解】解：设小聪买了支钢笔，则买了本笔记本，
根据题意得：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据总价=单价×数量结合总钱数不超过元，列出关于的一元一次不等式是解题的关键．
9．D
【分析】根据不等式组无解，得到大大小小无解，进而确定出a的范围即可．
【详解】解：不等式组无解，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
10．B
【分析】根据新定义，列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】根据题意得：，解得：，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
11．
【分析】x与3的和表示为：，“小于”用数学符号表示为“”，由此可得不等式．
【详解】解：根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
12．
【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；由依次运算即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了不等式的性质，注意两边乘以同一个负数要改变不等号的方向．
13．
【分析】根据一元一次不等式的解法步骤进行求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式与根式的化简，注意：当两边同除以一个小于0的数时，不等号的方向要改变，此乃解题的关键所在．
14．
【分析】求出不等式组的解集，由整数解有2个，再确定出m的范围即可．
【详解】解：不等式组整理得：
即，
因为不等式组有2个整数解，则整数解为3，4，
则m的范围为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．30
【分析】设从第7天起平均每天要读x页，根据题意得出不等关系：120页+后9天读的页数，根据不等关系列出不等式，进而可得答案．
【详解】解：设从第7天起平均每天要读x页，才能按计划读完，
则根据题意得：，
解得：；
∴从第7天起，平均每天至少要读30页才能按计划读完．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到题目中的不等关系，列出不等式．
16．22
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据方程的解为非负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
由于不等式组的解集为，
∴，
解得，
关于y的方程的解为，
由于方程的解是非负整数，
∴整数a可能的值为或3或8或13，
∴符合条件所有的整数a的和为：．
故答案为：22．
17．x＜ 33，在数轴上表示见解析.
【分析】先根据不等式的解法求解不等式，然后在数轴上表示出解集．
【详解】解：，
去分母得：2x＞3（7＋x）+12，
去括号得2x＞21＋3x+12，
移项得：2x 3x＞12＋21，
合并同类项得： x＞33，
系数化为1得：x＜ 33，
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解答本题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集．
18．；见解析
【分析】先分别求得两个不等式的解，再根据求不等式组解集的口诀求解即可．
【详解】解：
解不等式①，得x＞－3，
解不等式②，得x≤1，
所以该不等式组解集为－3＜x≤1，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查求不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
19．0
【分析】分别解构成一元一次不等式组的各个不等式，再利用不等式组解集的求解原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”得到解集后求整数解即可得到结论．
【详解】解： ，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为，
满足条件的整数解为，
不等式组的所有整数解之和=．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式及不等式组解集的求解原则是解决问题的关键．
20．(1)不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
(2)或
【分析】（1）根据不等式的基本性质3可得答案；
（2）分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别去掉绝对值符号，再解不等式即可．
【详解】（1）解：上述解答过程中的“依据”是指：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
（2）解：①当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
；
②当时，即，
原不等式可化为一元一次不等式，
解这个不等式，得，
，
③当，即时，
原不等式可化为，不成立，此时不等式无解．
所以不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质和分类思想的应用是解题的关键．
21．(1)21道
(2)23道
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，答错了道题，根据总得分答对题数答错题数，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设参赛者需答对m道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，根据总得分答对题数答错题数，结合总得分大于或等于90分，列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可．
【详解】（1）设该参赛同学一共答对了道题，
则该参赛同学一共答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：该参赛同学一共答对了21道题．
（2）设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了道题，
由题意得：，
解得，
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．(1)10，14
(2)共有五种购买方案，
方案一：每天购进甲种蔬菜58千克，购进乙种蔬菜42千克；
方案二：每天购进甲种蔬菜59千克，购进乙种蔬菜41千克；
方案三：每天购进甲种蔬菜60千克，购进乙种蔬菜40千克；
方案四：每天购进甲种蔬菜61千克，购进乙种蔬菜39千克；
方案五：每天购进甲种蔬菜62千克，购进乙种蔬菜38千克
【分析】（1）根据购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，即可列出二元一次方程组，求出答案即可；
（2）根据已知条件可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：，
答：，的值分别为10，14．
（2）依题意得：每天购进千克乙种蔬菜．
列出不等式组：，
解得：，
∴，且为正整数，所以的取值为58，59，60，61，62．
∴共有五种购买方案．
方案如下：
方案一：每天购进甲种蔬菜58千克，购进乙种蔬菜42千克；
方案二：每天购进甲种蔬菜59千克，购进乙种蔬菜41千克；
方案三：每天购进甲种蔬菜60千克，购进乙种蔬菜40千克；
方案四：每天购进甲种蔬菜61千克，购进乙种蔬菜39千克；
方案五：每天购进甲种蔬菜62千克，购进乙种蔬菜38千克．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出方程和不等式是解题的关键．
23．(1)②
(2)，0
(3)
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】（1）解：解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
所以不等式组的关联方程是②；
（2）解方程为整数）得：
解不等式组得：，
关于的方程为整数）是不等式组的一个关联方程，
，
解得
整数，0；
（3）解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
方程，都是关于的不等式组的关联方程，
，
即的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键．
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