卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年江苏省南通市海门区重点学校九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.计算的结果
( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，花瓣图案中的正六边形的每个内角的度数是
( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两个不透明的袋子中各有三种颜色的糖果若干，这些糖果除颜色外无其他差别．具体情况如下表所示．
袋子 糖果 红色 黄色 绿色 总计
甲袋 颗 颗 颗 颗
乙袋 颗 颗 颗 颗
若小明从甲、乙两个袋子中各随机摸出一颗糖果，则他从甲袋比从乙袋( )
A. 摸出红色糖果的概率大 B. 摸出红色糖果的概率小
C. 摸出黄色糖果的概率大 D. 摸出黄色糖果的概率小
5.如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
6.直线与直线平行，下列说法不正确的是
( )
A.
B. 直线与没有交点
C. 方程组无解
D. 方程组有无穷多个解
7.如图，小明在的方格纸上写了九个式子其中的是正整数，每行的三个式子的和自上而下分别记为，，，每列的三个式子的和自左至右分别记为，，，其中，值可以等于的是
( )
A. B. C. D.
8.如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，的切线与的延长线交于点，，则( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的正半轴和轴的正半轴上，当在轴的正半轴上运动时，随之在轴的正半轴上运动，矩形的形状保持不变．若时，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则点到点的最大距离是( )
A. B. C. D.
10.若实数，，满足，，则代数式的值可以是
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.分解因式：__________
12.计算：_____．
13.若分式有意义，则的取值范围是___________
14.在年度海门区公务员考试中，考生小丽的笔试成绩为分，面试成绩为分，若笔试成绩、面试成绩按：计算平均成绩，则小丽的平均成绩是_____分
15.一元二次方程的两根分别为____________
16.已知港口位于观测点北偏东方向，且其到观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从港口沿如图所示的方向航行到达处，测得处位于观测点北偏东方向，则此时货轮与观测点之间的距离的长为_________．
17.如图，四边形是平行四边形，点在轴上，反比例函数的图象经过点，且与边交于点若，则点的坐标为_____．
18.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程组：
先化简，再求值：，其中选一个你喜欢的数字代入计算结果．
20.本小题分
如图，四边形是平行四边形，延长，，使得，连接，．
求证：；
连接，，，当__时，四边形是菱形．
21.本小题分
配餐公司为某学校提供、、三类午餐供师生选择，三类午餐每份的价格分别是：餐元，餐元，餐元；为做好下阶段的营销工作，配餐公司根据该校上周、、三类午餐购买情况，将所得的数据处理后，制成统计表如下左图；根据以往销售量与平均每份利润之间的关系，制成统计图如图；
该校上周购买情况统计表
种类 数量份
请根据以上信息，解答下列问题：
该校师生上周购买午餐费用的众数是_________元；
计算该配餐公司上周在该校销售午餐约盈利为__________元；均要写出计算结果
22.本小题分
有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________；
从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
23.本小题分
如图，是的直径，点在的延长线上，直线与相切于点，弦于点，线段，连接；
求证：；
若：：，求的半径及的长．
24.本小题分
如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．
三角函数锐角
求的长结果取整数；
冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少结果取整数？参考数据：
25.本小题分
如图，在正方形中，点与点分别在线段上，且四边形是正方形．
试探究线段与的关系，并说明理由．
如图若将条件中的四边形与四边形由正方形改为矩形，，．
线段在中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．
当为等腰三角形时，求的长．
26.本小题分
定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”例如，点是点的“级变换点”．
函数的图象上是否存在点的“级变换点”若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
点与其“级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，若，求证：；
关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“级变换点”都在直线上，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】先化简绝对值，再算减法．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，以及有理数的减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、、均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故不符合题意；
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】根据多边形内角和公式求解．
【详解】解：多边形内角和公式为，
正六边形内角和，
每个内角．
故选：．
【点睛】本题主要考查内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】分别对甲乙两个袋子的 红色及黄色的糖果的概率进行计算，再去比较即可．
【详解】解：甲袋摸出红色糖果，
甲袋摸出黄色糖果，
乙袋摸出红色糖果，
乙袋摸出黄色糖果，
甲袋摸出红色糖果乙袋摸出红色糖果，故A，B错误；
甲袋摸出黄色糖果乙袋摸出黄色糖果，故D错误，C正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，掌握概率公式并能灵活掌握是解题关键．
5.【答案】
【解析】【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6.【答案】
【解析】【分析】根据一次函数图象的特征解答即可．
【详解】解：两直线平行时，比例系数相等，，故正确，不符合题意；
B.两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意；
C.两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意；
D.两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，掌握当两直线平行时比例系数相等是解题关键．
7.【答案】
【解析】【分析】把，，，的式子表示出来，再结合值等于，可求相应的的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
则不是整数，故的值不可以等于；
，
整理得：，
则不是整数，故的值不可以等于；
，
整理得：，
则是整数，故的值可以等于；
，
整理得：，
则不是整数，故的值不可以等于；
故选：．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
8.【答案】
【解析】【分析】由圆周角定理得，证明，可求出，再利用勾股定理求出，进而可得答案
【详解】点是弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
故选A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】由中的条件可得，由∽，可得，再上取一点，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出，由三角形两边之后大于第三边可求出最大值．
【详解】解：取中点，连接、、，过作与点，
在中，，，
，，
由矩形的性质，可得，，
∽，
的纵坐标为，
；
在 中，，
当、、三点共线时，最大，
此时；
故选：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，根据性质求出相应线段，根据两边之和大于第三边求出最大值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
设
有最大值，最大值为
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】利用提公因式法分解因式．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】直接进行同类二次根式的合并即可．
【详解】解：．
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】
【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】解：小丽的平均成绩
故答案为：．
【点睛】本题考查加权平均数的计算公式，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
15.【答案】，
【解析】【分析】根据因式分解法直接写出方程的根．
【详解】解：由于一元二次方程，
故或，
解得，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案．
【详解】解：，
，
过点作交的延长线于，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
，
在中，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【详解】解：反比例函数的图象经过点，，反比例函数的解析式为，设，由题可得的解析式为，，可设的解析式为，把代入，可得，，的解析式为，令，则，即，平行四边形中，，如图所示，过作于，过作于，则∽，，而，，，，，，解得，，又在的右侧，即，，的坐标为故答案为
点睛：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
18.【答案】且
【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案．
【详解】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
19.【答案】；，时原式
【解析】【分析】利用加减法解方程组；
先计算分式的混合运算，化简后代入符合题意的的值计算即可．
【详解】解：得，
将代入得，，
得
方程组的解为；
原式
，，
当时，原式．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，分式的化简求值，正确掌握各解法是解题的关键．
20.【答案】见解析；当时，四边形是菱形
【解析】【分析】根据平行四边形的性子和“”可证≌；
先证明四边形是平行四边形，再通过证明，可得结论．
【详解】解：证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
≌；
当时，四边形是菱形，
理由如下：≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
21.【答案】 配餐公司上周在该校销售午餐约盈利元．
【解析】【分析】根据图表和众数的定义即可得出答案，众数是一组数据中出现次数最多的数；
根据图表可知上周的、、三类午餐的购买数量，再根据条形统计图中配餐公司上周在该校销售午餐的盈利情况，分别把、、三类午餐的盈利加起来即可．
【 小问详解】
出现次数最多的是餐，
该校师生上周购买午餐费用的众数是元；
故答案为：．
【小问详解】
根据图表和直方图可得：
元．
答：配餐公司上周在该校销售午餐约盈利元．
【点睛】本题考查了频率分布直方图和众数，读懂频数分布直方图，从统计图中获取必要的信息，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】
【解析】【分析】直接由概率公式求解即可；
画树状图求概率即可求解．
【小问详解】
解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于；
故答案为：．
【小问详解】
解：据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁记为事件的结果有种．
．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】见解析
，
【解析】【详解】
证明连接，直线与相切于点，
，
，，
又，
，
，
，
又，
．
解
连接，
是圆的直径，
，
：：，
在中，，
，
，
又在中，，
，
即的半径为，
在中，，，
，
弦直径于点，
，
．
24.【答案】
【解析】【分析】在中，由锐角三角函数定义求出的长，再在中，由锐角三角函数定义求出的长即可；
设交于，过点作于，由锐角三角函数定义求出、的长，得出的长，再由锐角三角函数定义求出的长，然后证为等腰直角三角形，得，由，即可得出答案．
【小问详解】
解：在中，，
，
在中，，
．
【小问详解】
设交一直在点，作延长线于点，如图所示：
则，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，求出、的长是解题的关键．
25.【答案】，理由见解析
位置关系保持不变，数量关系变为；理由见解析；当为等腰三角形时，的长为或或．
【解析】【分析】如图，根据证明，可得，及，则，所以；
如图，连接交于点，连接，根据矩形的性质和直角三角形斜边中线的性质得：，可知在以点为圆心的圆上，根据直径所对的圆周角是直角得，再证明，得；
先根据，设，
分三种情况：
当时，如图，根据等腰三角形三线合一性质和中位线定理可得的值，从而计算的长；
当时，如图，证明，列比例式可得的长，从而根据，求得的值，同理可得的长；
当时，如图，根据，可得的值，同理可得的长．
【小问详解】
理由：如图，四边形是正方形，
四边形是正方形，
，
即．
【小问详解】
位置关系保持不变，数量关系变为
理由：如图，连接交于点，连接，
四边形是矩形，
中，，
中，，
在以点为圆心的圆上，
为的直径，
也是的直径，
，即
，
由知：
设
分三种情况：
当时，如图，过作于，则，
由勾股定理得：
即
当时，如图，过作于，
当时，如图，
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是正方形的性质、菱形的性质、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的判定、圆的定义以及全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理，并采用分类讨论的思想是解题的关键．
26.【答案】存在，
见解析 的取值范围为且
【解析】【分析】根据“级变换点”定义求解即可；
求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明．
由题意得，二次函数的图象上的点的“级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．
【小问详解】
解：函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
【小问详解】
证明：点为点的“级变换点”，
点的坐标为．
直线，的解析式分别为和．
当时，．
，
．
，
．
．
【小问详解】
解：由题意得，二次函数的图象上的点的
“级变换点”都在函数的图象上．
由，整理得．
，
函数的图象与直线必有公共点．
由得该公共点为．
当时，由得．
又得，
且．
当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，的取值范围为且．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
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