2023-2024江苏省南通市崇川区重点中学九年级（上）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市崇川区重点中学九年级（上）月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列函数中一定是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 过圆心的线段是直径 B. 面积相等的圆是等圆
C. 两个半圆是等弧 D. 相等的圆心角所对的弧相等
3.如图，的直径垂直于弦，垂足为，，的长为
( )
A. B. C. D.
4.关于二次函数，下列说法正确的是
( )
A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数有最大值，最大值是 D. 当时，随的增大而增大
5.已知抛物线经过和两点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是
( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点，若的半径为，点的坐标是，则点的坐标是
( )
A. B. C. D.
8.如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是
( )
A. B. C. D.
9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为
( )
A. B. C. D.
10.如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.用反证法证明命题“若，则”时，应假设_____．
12.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____．
13.已知一个圆锥的底面直径为，母线长为，则这个圆锥的表面积是_____．
14.已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是______．
15.在中，弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角的度数是__________．
16.当时，二次函数有最大值，则实数的值为________．
17.在平面直角坐标系中，抛物线经过点若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围为________．
18.如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一个动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，．
试判断的形状，并给出证明；
若，，求的长度．
20.本小题分
如图，点，，在直径为的上，．
求弧的长度；
求图中阴影部分的面积．结果中保留
21.本小题分
某件产品的成本是每件元，试销售阶段每件产品的销售价元与产品的日销售量件之间的关系如下表所示．
元
件
观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：是的什么函数？并求出解析式．
要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？
22.本小题分
如图，线段经过的圆心，交圆于点，，，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点．
求证：直线是的切线；
求线段的长．
23.本小题分
二次函数的图象如图所示，经过、、．
求二次函数的解析式；
不等式的解集为____；
方程有两个实数根，的取值范围为____
24.本小题分
已知抛物线．
求抛物线的对称轴用含的代数式表示；
若点，在该抛物线上，试比较的大小；
已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．
25.本小题分
课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心与的位置关系进行分类．图是其中一种情况，请你在图和图中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
知识应用：如图，若的半径为，分别与相切于点，，，求的长．
26.本小题分
定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
点的“坐标差”为____；
抛物线的“特征值”为____；
某二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等．
直接写出___；用含的式子表示
求此二次函数的表达式．
如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径的圆与直线相交于点、，请直接写出的“特征值”为____．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数进行分析．
【详解】解：、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
B、当时，不是二次函数，故此选项错误；
C、是一次函数，故此选项错误；
D、是二次函数，故此选项正确；
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，解题关键是注意二次项系数不为．
2.【答案】
【解析】【分析】根据圆的 相关知识进行逐一判断即可．
【详解】解：过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故该选项说法错误；
B. 面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故该选项说法正确；
C. 同圆或等圆中两个半圆是等弧，故该选项说法错误；
D. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法说法错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查圆的基本知识，熟知圆的相关知识是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，进而求出，则．
【详解】解：，
，
的直径垂直于弦，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于，
，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为，故B错误；
该函数有最小值，最小值是，故C错误；
当时，随的增大而增大，故D正确，
故选：．
【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
5.【答案】
【解析】【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
7.【答案】
【解析】【分析】在中根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理求出的长，进而求出，的长，从而求出点的坐标．
【详解】设切点分别为，，连接，，，，并延长交与，则，四边形是矩形．
，
，
，
．
过圆心，
，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】连接，根据切线的性质得，再利用圆内接正五边形的性质可得，再利用三角形的内角和等于，即可求解．
【详解】如图：连接
与相切于点
正五边形内接于
所对的圆心角的度数为：
故选：
【点睛】本题考查了正多边形与圆，切线的性质，熟练掌握正多边形的性质与切线的性质是解题关键．
9.【答案】
【解析】【分析】由已知可得，，把代入的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得的最大值．
【详解】，，
由，得，代入上式，得：
设，当取得最大值时，也取得最大值
当时，取得最大值
的最大值为
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
10.【答案】
【解析】【详解】分析：连接由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，当最短时，最短．连接交于点，则此时最短，且，计算即可得到结论．
详解：连接．
，，，当最短时，最短．
连接交于点，则此时最短，且，的最小值为故选C．

点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的 性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把的长转化为．
11.【答案】
【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设．
故答案为：
【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于列式计算即可得解．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】由题意知，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的表面积．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
14.【答案】且
【解析】【分析】根据题意可得，且判别式，求解不等式即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点
，且判别式
，
解得且
故答案为：且
【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】【分析】如图，连接、，先证明为等边三角形得到，利用圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
【详解】解：如图，连接、，和为弦所对的圆周角，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
弦所对的圆周角的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16.【答案】或
【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线，再分，，三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下，
时，取得最大值，，
解得，
，
不符合题意，
时，取得最大值，，
解得，
所以，
时，取得最大值，，
解得，
综上所述，或时，二次函数有最大值．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定的取值范围即可求解．
【详解】解：抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为．
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，
当时，，
当时，．
方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．
18.【答案】
【解析】【分析】如图，由，确定在以为圆心，半径为的圆上运动，连接，再证明，可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，由，可得在以为圆心，半径为的圆上运动，连接，
正方形，

，
，
当三点共线时，最短，则最短，
位中点，
此时
此时
所以的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
19.【答案】是等腰直角三角形；证明见解析；
；

【解析】【分析】根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明；
中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可；
【小问详解】
证明：是圆的直径，则，
，，，
，
是等腰直角三角形；
【小问详解】
解：等腰直角三角形，
，
，
中，，，则，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
20.【答案】

【解析】【分析】连接，根据，，可得，根据的直径为，可得，即利用弧长公式即可求解答案；
根据，可知是直角三角形，根据，即可求出的面积和扇形的面积，再根据扇形即可求解．
【小问详解】
如图，连接，．
，，
，
的直径为，
，
；
【 小问详解】
，
是直角三角形，
的直径为，
，
的面积为，
，
即扇形．
【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、扇形面积公式等知识，掌握圆周角定理证明出是解答本题的关键．
21.【答案】是的一次函数，
产品的销售价应定为元，此时每日的销售利润最大，为元

【解析】【分析】先根据表中数据判断出是的一次函数，再用待定系数法求出函数解析式；
设所获利润为元，根据销售利润一件利润销售件数，一件利润销售价成本，得出日销售量是销售价的一次函数；所获利润为二次函数，再运用二次函数的性质，利用配方法可求最大利润．
【小问详解】
解：由表中数据可知，是的一次函数．
设此一次函数关系式为，
则
解得，，
故一次函数的关系式为；
【小问详解】
解：设所获利润为元，
则
，
所以产品的销售价应定为元，此时每日的销售利润最大，为元．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的实际运用，注意求最大值的方法和二次函数的性质．
22.【答案】见解析
【解析】【分析】根据圆周角定理可得，从而得到，即可求证；
连接，中，根据直角三角形的性质可得 ，从而得到，，再由的直径，可得，，从而得到，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．
【小问详解】
证明：，
，
又，
，即，
又为的半径，
直线是的切线；
【小问详解】
解：如图，连接，
中，，
，
又，，
，
，
的直径，
，，
在中，，
，
，
在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
23.【答案】；或；．
【解析】【分析】把、、代入解方程组即可得到结论；
根据图象即可得到结论；
设和，方程有两个实数根，即二次函数图象与直线有两个交点或一个交点，结合一元二次方程根的判别式即可求出的取值范围．
【详解】解：把、、代入得
解得：
二次函数的解析式为；
由函数图象可知抛物线和轴的两个交点横坐标为，，
所以不等式的解集为或；
设和，
方程有两个实数根，则二次函数图象与直线有两个交点或一个交点，
即有两个实数根，
，即，
解得．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，抛物线与轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
24.【答案】对称轴为

或

【解析】【分析】根据抛物线的交点式可确定抛物线与轴的两个交点的横坐标，根据对称轴的计算方法即可求解；
由可知抛物线的对称轴，且抛物线开口向上，根据抛物线的增减性即可求解；
抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，，点在线段上，则点不在线段上，由此即可求解．
【小问详解】
解：抛物线，
抛物线开口向上，与轴的两个交点的横坐标为，，
抛物线的对称轴为，即对称轴为．
【小问详解】
解：抛物线的开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
，
．
【小问详解】
解：已知点，，
线段在轴上，且长为，
抛物线的开口向上，与轴的两个交点为，，
点在线段上，
抛物线与线段只有一个公共点，
点不在线段上，
或，
或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，对称轴的计算方法，二次函数与线段交点，解一元一次不等式等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．
25.【答案】见解析；
【解析】【分析】如图，当点在的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；如图，当在的外部时，作直径，同理可理结论；
如图，先根据中的结论可得，由切线的性质可得，可得，从而得的长．
【详解】解：如图，连接，并延长交于点，
，
，，
，，
，
；
如图，连接，并延长交于点，
，
，，
，，
，
；
如图，连接，，，
，
，
，分别与相切于点，，
，，
，
，
【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．
26.【答案】；；
；；
．

【解析】【分析】根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；
因为点与点的“坐标差”相等，推出，把代入，得到：，推出，因为二次函数的“特征值”为，所以的最大值为，可得，解得，由此即可解决问题；
如图，设，作轴于，交于，轴于，作的平分线交于，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点的“坐标差”的值最大．
【小问详解】
点的“坐标差”为，
故答案为；
设为抛物线上一点，
坐标差，最大值为，
所以抛物线的“特征值”为
故答案为．
【小问详解】
由题意：，可得．
，
又点与点的“坐标差”相等，
，
把代入，得到：，
，
二次函数的“特征值”为
所以的最大值为，
，
解得，
，
二次函数的解析式为．
【小问详解】
如图，设，作轴于，交于，轴于，作的平分线交于，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点的“坐标差”的值最大．
作轴于交于．
易知是等腰直角三角形，
，，，
，，
半径为的圆的“特征值”为．
故答案为．
【点睛】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．
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