卷子答案网-一个不只有答案的网站丰城市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知，则与垂直的一个单位向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．圆和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内切 D．相交
5．已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为 D．的最大值为
11．已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则两圆相交弦所在直线为
B．圆与直线恒有两个交点，则
C．已知两圆有三条公切线，则
D．过作圆的切线，切点为，，则
12．双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．I到y轴的距离为a B．点的轨迹是双曲线
C．若，则 D．若，则
三、填空题（共20分）
13．若为双曲线，则m的取值范围为 ．
14．已知向量，若与共线，则 ．
15．已知，方程表示圆，圆心为 ．
16．设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为 ．
四、解答题（共70分）
17．求满足下列条件的圆的标准方程.
(1)圆心为，经过点；
(2)圆心在直线上，且与轴交于点，.
18．已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．
(1)求复数z的模；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
19．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，AC边上的中线，求的面积S．
20．已知直线：和直线：，其中m为实数．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
21．如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且．
(1)求，的值；
(2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上．
标准答案
1．C
.
故选：C
2．C
直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为.
故选：C
3．A
设与垂直的一个单位向量的坐标是，
则有，解得或，
所以与垂直的一个单位向量的坐标是或，
故选:A.
4．D
由，则，半径，
由，则，半径，
所以，即两圆相交.
故选：D
5．D
.
故选：D
6．B
由椭圆方程可知，解得.
又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，
所以M到另一个焦点的距离为.
故选：B
7．A
直线整理可得，，
即直线恒过，同理可得恒过，
又，直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，
即的轨迹方程为，（去掉，
（这是因为不能表示直线，不能表示直线，）
设该圆心为，则，则，
由于垂直于直线，故M到的距离即为，而，
即，而当时，点的坐标为，不符合题意。
故的取值范围是，
故选：A．
8．B
连接，中点为，
，
，即椭圆方程为
设，则，，连接,
由题意知，，且
，由二次函数性质得，当时
取得最大值，此时
故选：B
9．CD
对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误；
对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为，
当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误；
对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，故C正确；
对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.
故选：CD.
10．AC
由已知，
.
对于A项，，故A项正确；
对于B项，因为，
根据正弦函数的性质可知，直线不是的对称轴，故B项错误；
对于C项，因为，
所以，是的一个零点，故C项正确；
对于D项，因为，
所以，的最大值为2，故D项错误.
故选：AC.
11．BD
对于A项，当，，圆心为，半径.
圆的圆心为，半径.
圆心距为，所以两圆相交.
两圆方程作差，整理可得.
即相交弦的方程为.故A错误；
对于B项，直线可化为，
解可得，直线过定点.
要使直线与圆恒有两个交点，则应有点在圆的内部，
所以有，即.
因为，所以.故B正确；
对于C项，由A知，圆，圆心为，半径为.
圆的圆心为，半径.两圆圆心距为.
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，
所以有，即，所以.故C项错误；
对于D项，因为，，即.
如图，在中，有，
所以，，
根据对称性可知，，，
所以，为等边三角形，所以.故D正确.
故选：BD.
12．ACD
设圆与三边的切点为，则
，即①
又②
联立①②式得，故，显然横坐标相等，故I到y轴的距离为a，选项A正确；
过作直线的垂线，垂足为D，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，
，则为中点且，连接
由中位线定理可知，
故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B项错误；
若，则等价于，即，解得，故C项正确；
若，设椭圆的长半轴为，由可知，
为直角三角形，，
由双曲线性质可知③，由椭圆性质可知④，
由勾股定理可得⑤，③④⑤式联立可解得，
即，故D选项正确.
故选：ACD
13．或
若为双曲线，则或，
故答案为：或
14．
由于与共线，所以，
，
所以.
故答案为：
15．
由题意得，解得或，
当时，方程化为，此时，
所以此方程表示圆，，
所以圆的圆心为，半径为5，
当时，方程化为，
即，
此时，所以此方程不表示圆，
综上，圆心为，
故答案为：
16．
令圆为且，抛物线，
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有1个公共点，
若，它们没有公共点，
若，它们恒有2个公共点，
所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设；
对于，圆与抛物线公共点情况如下，
若，它们恒有3个公共点，
若，它们恒有2个公共点，
若，它们可能0个或2个或4个公共点，
所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点；
综上，.
故答案为：
17．(1)
(2)
（1）由两点间的距离公式可得圆的半径，
故圆的标准方程为.
（2）因为圆与轴交于点，，所以圆心在直线上.
又圆心在直线上，所以圆心的坐标为，
所以圆的半径，故圆的标准方程为.
18．(1)
(2)
（1）解：设，则，
∴，
∴，，
∴，则；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得：，
即实数m的取值范围为．
19．(1)
(2)
（1），
因为，所以
（2）
20．(1)或0
(2)或．
（1）由题意得，解得或0；
（2）由在直线上，得，解得，可得，
显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，
令，可得，再令，可得，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或，
即或．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）设是的中点，连接，，
由于是的中点,
所以，,
由于，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
由于平面，平面，
所以平面；
（2）设到平面的距离为，
因为平面，平面，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以，
由，
得，
即，
所以点到平面的距离为．
22．(1)，
(2)证明见解析
（1）由已知，得，，，
因为，所以，
解得．
（2）由（1）可知：椭圆的方程为，
因为在椭圆内部，则直线与必相交，
由题意可知：直线的斜率不为0，设直线的方程为，
与的方程联立得，消去可得，
设，则，，
即，
直线，直线，
联立上述两方程消去可得，
整理得，
即，
可得，
由，得，
即，
若，则由，可得得，，
又因为，则，即，不成立；
故，由，解得，
综上所述，动点在定直线上．
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 江西省宜春市丰城市部分中学2023-2024高二上学期期中考试数学试题（含解析）