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2023年中考数学真题分项精练(三)
变量与函数
类型1 平面直角坐标系和函数的概念
1.【中华优秀传统文化】(2023浙江台州中考)如图所示的是中国象棋棋盘的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,已知“車”所在位置的坐标为(-2,2),则“炮”所在位置的坐标为( )
A.(3,1) B.(1,3)
C.(4,1) D.(3,2)
2.(2023浙江丽水中考)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.【跨学科·化学】(2023山东滨州中考)由化学知识可知,用pH表示溶液酸碱性的强弱程度,当pH>7时溶液呈碱性,当pH<7时溶液呈酸性,若将给定的NaOH溶液加水稀释,则在下列图象中,能大致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是( )
A B C D
4.(2023山东临沂中考)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花,如图所示.若A,B两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路所在直线为x轴、y轴的平面直角坐标系内,若点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为( )
A.(6,2) B.(-6,-2) C.(2,6) D.(2,-6)
5.(2023河南中考)如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,=y,图2是点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为( )
A.6 B.3 C.4
6.(2023浙江温州中考)【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示,①④⑥各路段路程相等,⑤⑦⑧各路段路程相等,②③两路段路程相等.
【素材2】设游玩行走速度恒定,经过每个景点都停留20分钟.小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟;小州游路线①②⑧,他离入口的路程s(米)与时间t(分钟)的关系(部分数据)如图2所示,在2 100米处,他到出口还要走10分钟.
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为( )
A.4 200米 B.4 800米 C.5 200米 D.5 400米
7.(2023四川泸州中考)在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原点对称,则m的值是 .
类型2 一次函数的图象与性质及其应用
8.(2023山东临沂中考)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是( )
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=-b
9.(2023江苏无锡中考)将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式是( )
A.y=2x-1 B.y=2x+3 C.y=4x-3 D.y=4x+5
10.【数学文化】(2023湖北武汉中考)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图所示的是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
11.【新考法】(2023浙江台州中考)【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置.
【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验:先在甲容器里加满水,此时水面高度为30 cm,开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度,获得的数据如下表:
流水 时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度 h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量.
【建立模型】小组讨论发现:“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据,水面高度值的变化不均匀,但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.
任务2 利用t=0时,h=30;t=10时,h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式.
【反思优化】经检验,发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式,存在偏差,小组决定优化函数解析式,减少偏差.通过查阅资料后知道:t为表中数据时,根据解析式求出所对应的函数值,计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和,记为w;w越小,偏差越小.
任务3
(1)计算任务2得到的函数解析式的w值;
(2)请确定满足t=0时,h=30的一次函数解析式,使得w的值最小.
【设计刻度】得到优化的函数解析式后,综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度,通过刻度直接读取时间.
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案.
类型3 反比例函数
12.(2023湖北武汉中考)关于反比例函数y=,下列结论正确的是( )
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
13.【跨学科·物理】(2023湖北恩施州中考)如图,取一根长100 cm的匀质木杆,用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来,在中点O的左侧距离中点O 25 cm(L1=25 cm)处挂一个重9.8 N(F1=9.8 N)的物体,在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉,使木杆处于水平状态,弹簧秤与中点O的距离L(单位:cm)及弹簧秤的示数F(单位:N)满足FL=F1L1,则F关于L的函数图象大致是( )
A B C D
14.(2023广西北部湾经济区中考)如图,过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴、y轴的平行线交y=-的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为S1,S2,S3,S4.若S2+S3+S4=,则k的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
15.(2023湖北恩施州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=x+2交y轴于点A,交x轴于点B,与双曲线y=(k≠0)在第一、三象限分别交于C,D两点,AB=BC,连接CO,DO.
(1)求k的值;
(2)求△CDO的面积.
16.【跨学科·物理】【新考向·实践探究题】(2023四川达州中考)【背景】在一次物理实验中,小冉同学用一固定电压为12 V的蓄电池,通过调节滑动变阻器来改变电流大小,完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2 Ω)亮度的实验(如图),已知串联电路中,电流与电阻R、RL之间关系为I=,通过实验得出如下数据.
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
(1)a= ,b= .
(2)【探究】根据以上实验,构建出函数y=(x≥0),结合表格信息,探究函数y=(x≥0)的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=(x≥0)的图象;
②随着自变量x的不断增大,函数值y的变化趋势是 .
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析,当x≥0时,≥-x+6的解集为 .
类型4 二次函数
17.(2023湖北鄂州中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,且过点(-1,0),顶点在第一象限,其部分图象如图所示.给出以下结论:①ab<0;②4a+2b+c>0;③3a+c>0;④若A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1
A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
18.(2023贵州中考)如图1所示的是一座抛物线形拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图2所示),抛物线的顶点在C处,对称轴OC与水平线OA垂直,OC=9,点A在抛物线上,且点A到对称轴的距离OA=3,点B在抛物线上,点B到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图2,为更加稳固,小星想在OC上找一点P,加装拉杆PA,PB,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点P的位置并求出坐标;
(3)为了造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时,函数y的值总大于或等于9,求b的取值范围.
图1 图2 备用图
19.【新考向·新定义型试题】(2023内蒙古赤峰中考)定义:在平面直角坐标系xOy中,当点N在图形M的内部,或在图形M上,且点N的横坐标和纵坐标相等时,称点N为图形M的“梦之点”.
(1)如图1,矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),
D(3,2),在点M1(1,1),M2(2,2),M3(3,3)中,是矩形ABCD “梦之点”的是 ;
(2)点G(2,2)是反比例函数y1=图象上的一个“梦之点”,则该函数图象上的另一个“梦之点” H的坐标是 ,直线GH的解析式是y2=
,y1>y2时,x的取值范围是 ;
(3)如图2,已知点A,B是抛物线y=-上的“梦之点”,点C是抛物线的顶点,连接AC,AB,BC,判断△ABC的形状,并说明理由.
图1 图2
答案全解全析
1.A 由“車”所在位置的坐标为(-2,2)可知,每个小方格的边长为1,
∴“炮”所在位置的坐标为(3,1).故选A.
2.B ∵m2+1>0,∴点P(-1,m2+1)在第二象限.故选B.
3.B NaOH溶液呈碱性,则pH>7,随着加入水的体积的增加,溶液碱性越来越弱,则pH值逐渐减小,但不会小于7.故选B.
4.A 关于y轴对称的点,纵坐标相等,横坐标互为相反数.故点B的坐标为(6,2).故选A.
5.A 观察题图2可知,当0≤x≤2时,=y=1,∴PB=PC,∴当0≤x≤2时,点P在BC边的垂直平分线上移动,如图,设x=2时,点P移动到O处,则AO=2,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAO=∠CAO=30°,由题图2可知点P到达点B时的路程为4,∴AO=OB,过点O作OD⊥AB,垂足为D,∴AD=BD,在Rt△ADO中,AD=AO·cos 30°=3,∴AB=2AD=6,即等边三角形ABC的边长为6.故选A.
6.B 由图象可知:小州游玩行走的时间为75+10-2×20=45(分钟),小温游玩行走的时间为3×60+25-5×20=105(分钟),设①④⑥各路段路程为x米,⑤⑦⑧各路段路程为y米,②③两路段路程为z米,由图象可得,解得x+y+z=2 700,∴游玩行走的速度为(2 700-
2 100)÷10=60(米/分),∵游玩行走速度恒定,∴小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y=105×60=6 300(米),∴x+y=2 100,∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为2x+2y+z=x+y+z+x+y=2 700+2 100=4 800(米).
故选B.
7.1
解析 关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数,故m=1.
8.C ∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象不经过第二象限,且函数图象经过点(2,0),∴图象经过第一、三、四象限,2k+b=0,∴k>0,b<0,k=-
b<0,故选项A、B、D正确,选项C错误.故选C.
9.A 将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度,所得图象对应的函数表达式是y=2x+1-2,即y=2x-1,故选A.
10.250
解析 由题意可知,不善行者函数解析式为s=60t+100,善行者函数解析式为s=100t,联立∴两图象交点P的纵坐标为250,故答案为250.
11.解析 任务1 变化量分别为29-30=-1(cm),28.1-29=-0.9(cm),27-28.1=-1.1(cm),25.8-27=-1.2(cm),∴每隔10 min水面高度观察值的变化量(单位:cm)为-1,-0.9,-1.1,-1.2.
任务2 设水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=kt+b,∵t=0 时,h=30;t=10时,h=29,∴∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h=-0.1t+30.
任务3 (1)w=(30-30)2+(29-29)2+(28-28.1)2+(27-27)2+(26-25.8)2=0.05.
(2)设h=at+30,则w=(30-30)2+(10a+30-29)2+(20a+30-28.1)2+(30a+30-27)2+(40a+30-25.8)2=(10a+1)2+(20a+1.9)2+(30a+3)2+(40a+4.2)2=3 000a2
+612a+12+1.92+32+4.22,当a=-=-0.102时,w最小.∴优化后的函数解析式为h=-0.102t+30.
任务4 时间刻度方案要点:①时间刻度的0刻度在水位最高处;②刻度从上向下均匀变大;③每0.102 cm表示1 min(1 cm表示时间约为9.8 min).
12.C 反比例函数y=的图象在第一、三象限,与坐标轴没有交点,故A选项错误,B选项错误;反比例函数y=的图象在每一个象限内,y随着x的增大而减小,故C选项正确;反比例函数y=的图象经过点(a,a
+2),∴a(a+2)=3,解得a=1或a=-3,故D选项错误.故选C.
13.B 根据题意可得FL=25×9.8,即FL=245,
∴F与L成反比例函数关系,
∵O为中点,∴0 cm
故F关于L的函数图象大致是选项B.故选B.
14.C 设A,在y=-中,令y=得x=-,令x=m得y=-
,解得k=2,经检验,k=2是分式方程的解,且符合题意,故选C.
15.解析 (1)在y=x+2中,令x=0得y=2,令y=0得x=-2,
∴A(0,2),B(-2,0),
∵AB=BC,∴A为BC中点,∴C(2,4),
把C(2,4)代入y=得4=,解得k=8.
(2)由∴D(-4,-2),
∴S△CDO=S△DOB+S△COB=×2×4=2+4=6.
16.解析 (1)2;1.5.
(2)①如图:
②不断减小.
(3)如图:
由函数图象知,当x≥2或x=0时,≥-x+6,
故答案为x≥2或x=0.
17.D 二次函数的图象开口向下,则a<0,二次函数图象的对称轴为直线x=1,则-=1,∴b=-2a,∴b>0,∴ab<0,故①正确;∵图象过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一交点为(3,0),由函数图象可得x=2时y>0,∴4a+2b+c>0,故②正确;∵x=-1时y=0,∴a-b+c=0,将b=
-2a代入得3a+c=0,故③错误;∵对称轴是直线x=1,∴当=1,即x1+x2=2时,y1=y2,当x1+x2>2时,点A(x1,y1)到对称轴的距离小于点B(x2,y2)到对称轴的距离,∵二次函数图象开口向下,∴y1>y2,故④正确.综上所述,正确的结论是①②④.故选D.
18.解析 (1)设抛物线的表达式为y=ax2+9,
把点A(3,0)的坐标代入,得9a+9=0,解得a=-1,
∴抛物线的表达式为y=-x2+9.
(2)如图,作A点关于y轴的对称点A'(-3,0),连接A'B交OC于点P,则P点即为所求.
把x=1代入y=-x2+9得y=8,∴B(1,8).
设直线A'B的表达式为y=kx+m,
∴∴y=2x+6,
令x=0,得y=6,∴P点的坐标为(0,6).
(3)∵y=-x2+2bx+b-1=-(x-b)2+b2+b-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=b,顶点坐标为(b,b2+b-1),
当0
综上所述,b的取值范围为b≥.
19.解析 (1)M1,M2.
(2)∵点G(2,2)是反比例函数y1=图象上的一个“梦之点”,∴2=
,∵ “梦之点”的横坐标和纵坐标相等,∴ “梦之点”都在y=x的图象上,联立∴H(-2,-2),∴直线GH的解析式为y2=x,∴y1>y2时,x的取值范围是x<-2或0
∵点A,B是抛物线y=-上的“梦之点”,
∴联立
∴A(3,3),B(-3,-3),
∵y=-(x-1)2+5,∴顶点C(1,5),
∵AC2=(3-1)2+(3-5)2=8,AB2=(-3-3)2+(-3-3)2=72,BC2=(-3-1)2+(-3-5)2=80,
∴BC2=AC2+AB2,∴△ABC是直角三角形.
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