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九年级数学试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置．
3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂图，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写，务必在题号所指示的答题区域内作答．
5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列扑克牌中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，，都在函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
4．国庆节期间某电影上映的第一天票房约为5亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房20.82亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转90°后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）
A．63° B．64° C．66° D．67°
第6题
7．如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点A，与y轴交于点B，C．若点M的坐标是，则弦BC的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第7题
8．如图，已知点A，B，C依次在上，，则的度数为（ ）
A．84° B．72° C．80° D．70°
第8题
9．定义运算：．例如：．则方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第10题
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11．抛物线的顶点坐标是________．
12．关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式________．
13．将图（1）中的大正方形绕着其中心顺时针至少旋转________度时，可变成图（2）．
第13题
14．已知二次函数中，函数y与x的部分对应值如下表：
则一元二次方程的解是________．
第14题
15．如图，在中，，，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是________．
第15题
三、解答题：（本大题共7小题，共55分）
16．（本题共6分）解下列方程：
（1）（配方法） （2）
17．（本题共6分）已知的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
（1）绕点C顺时针旋转90°得到；
（2）画关于点O的中心对称图形．
18．（本题共7分）关于一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根，，满足，求k的值．
19．（本题共8分）如图，AB为的直径，过圆上一点D作的切线CD交BA的延长线与点C，过点O作交CD于点E，连接BE．
（1）直线BE与相切吗？并说明理由；
（2）若，，求DE的长．
20．（本题共8分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
21．（本题共9分）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．
在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象，请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①方程的解为：________．
②若方程有四个实数根，则a的取值范围是________．
（2）延伸思考：
①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？面出平移后的图象；
②观察平移后的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围________．
22．（本题共11分）如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为，点A，B在x轴上，且，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）在直线AC上方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
备用图
2023-2024学年度第一学期期中学业水平测试
九年级数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B A D B D D C A B
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11． 12．2023 13．270 14．， 15．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（6分）（1）解：
∴
解得：，
（2）解：，
，
则或，
解得，．
17．（6分）（1）解：绕点C顺时针旋转90°得到如图所示；
（2）解：关于点O的中心对称图形如图所示；
18．（7分）（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
解得；
（2）由题意得，，，
∴，
∵，∴，
解得
19．（8分）（1）相切
证明：连接OD．
∵CD为切线，∴，
又∵，∴，，
且，∴，
在与中；
∵，∴，
∴
∴半径
∴直线BE与相切．
（2）设半径为r；
则：，得；
在直角三角形CBE中，，
，解得
20．（8分）解：（1）由题意得：，
解得，（大于每日最高产量为40只，舍去）
答：当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元．
（2）设每天所获利润为W，
由题意得，．
∵，∴当时，W有最大值1950
答：当时，W有最大值1950元．
21．（9分）解：（1）观察探究：
①或或；
②；
（2）①将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得到函数的图象，
②当时，自变量x的取值范围是．
22．（11分）（1）解：∵点C的坐标为，∴．
∵，∴，，
∴，．
设抛物线的函数解析式为，
把点代入上式，得，解得，
∴抛物线的函数解析式为，
即．
（2）解：存在．
如图，作轴交AC于点D．
由，，易得直线AC的函数解析式为．
设，则，
∴，
∴．
∵，∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时，
点P的坐标为，面积的最大值为8．
（3）点Q的坐标为或或或．
注：答案仅供参考，解答题只要步骤合理、答案正确，请合理赋分．
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