卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年内蒙古包头市青山区北重一中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在一不透明的箱子里放有m个除颜色外其他完全相同的球，其中只有4个白球，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在0.25，则m大约是（ ）
A．15 B．16 C．12 D．8
3．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．13或20 C．12 D．20
5．（3分）在反比例函数（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝4，BD＝8，则OE的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
7．（3分）某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
D．200[1+x+（1+x）2]＝1000
8．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．50
9．（3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB垂直于y轴，C，D在x轴上，AD∥BC，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是12，则四边形BCGF的面积为（ ）
A．16 B．20 C．36 D．40
11．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B．每条线段只有一个黄金分割点
C．两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似
D．位似图形一定是相似图形
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）已知点A（2，m）、B（n，﹣3）都在反比例函数y＝﹣图象上，则m+n＝ ．
14．（3分）如图，已知∠ACD＝∠B，若CD＝4，CB＝10，△ADC的面积是4，则△BDC的面积为 ．
15．（3分）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：dm），可求得它的体积是 dm3．
16．（3分）设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 ．
17．（3分）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
18．（3分）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC＝100米，BC边上的高AH＝80米，某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE＝40米），则这个矩形的面积是 平方米．
19．（3分）如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米．已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为 米．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB；⑤AF2＝EF EB．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题（共6小题，共60分）
21．（10分）解方程：
（1）2（x+3）2＝x（x+3）；
（2）x2+12x+27＝0（用两种方法解决）．
22．（8分）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
23．（8分）从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．
（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．
24．（10分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求BG的长．
26．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M，N两点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）根据函数图象，请直接写出不等式的解集；
（4）在x轴上是否存在点P，使得△PMO是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2023-2024学年内蒙古包头市青山区北重一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线．
故选：D．
2．（3分）在一不透明的箱子里放有m个除颜色外其他完全相同的球，其中只有4个白球，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到白球的频率稳定在0.25，则m大约是（ ）
A．15 B．16 C．12 D．8
【解答】解：由题意可得，＝0.25，
解得m＝16．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．13或20 C．12 D．20
【解答】解：x2﹣11x+18＝0，
（x﹣2）（x﹣9）＝0，
x﹣2＝0或x﹣9＝0，
x1＝2，x2＝9，
∵三角形两边长分别为7和4，
∴x＝2不符合题意，舍去，
∴这个三角形的周长＝7+4+9＝20，
故选：D．
5．（3分）在反比例函数（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
【解答】解：因为k2+5＞0，
所以反比例函数的图象位于第一、三象限，
且在每个象限内y随x的增大而减小．
又x1＜0＜x2＜x3，
所以点A在第三象限这一支上，点B，C同在第一象限这一支上，
则y1＜0，0＜y3＜y2，
所以y1＜y3＜y2．
故选：C．
6．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝4，BD＝8，则OE的长为（ ）
A． B． C．20 D．10
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝，
故选：B．
7．（3分）某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月营业额的增长率为x，由题意列方程应为（ ）
A．200（1+x）2＝1000
B．200+200×2x＝1000
C．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
D．200[1+x+（1+x）2]＝1000
【解答】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝2：3，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．50
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴，
且△ABC∽△DEF，
∵OA：AD＝2：3，
∴＝＝，
又△ABC∽△DEF，
∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：5，
∵△ABC的周长为8，
∴△DEF的周长为20．
故选：C．
9．（3分）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB垂直于y轴，C，D在x轴上，AD∥BC，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【解答】解：过点A作AM⊥x轴，垂足为M，则有：
S矩形AMOB＝SADCB＝丨k丨＝6，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是12，则四边形BCGF的面积为（ ）
A．16 B．20 C．36 D．40
【解答】解：由题意可知：EH∥FG∥BC，
∴△AEH∽△AFG，△AEH∽△ABC，
∵AE＝EF＝BF，
∴，，
∴，，
∵阴影部分的面积是12，
∴，
∴，
∴S四边形BCGF＝S△ABC﹣S△AFG＝20．
故选：B．
11．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
B．每条线段只有一个黄金分割点
C．两边对应成比例且一个角相等的两个三角形相似
D．位似图形一定是相似图形
【解答】解：A、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故A不符合题意；
B、每条线段有两个黄金分割点，故B不符合题意；
C、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故C不符合题意；
D、位似似图形一定是相似图形，正确，故D符合题意．
故选：D．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①＝；②S△BCE＝27；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，AD＝BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴＝，
∵点E是OA的中点，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝BC，
∴AF＝AD，
∴＝，故①正确；
∵S△AEF＝3，
∴＝（）2＝，
∴S△BCE＝27；故②正确；
∵＝＝，
∴＝，
∴S△ABE＝9，故③错误；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
13．（3分）已知点A（2，m）、B（n，﹣3）都在反比例函数y＝﹣图象上，则m+n＝ ﹣2 ．
【解答】解：∵点A（2，m）、B（n，﹣3）都在反比例函数y＝﹣图象上，
∴2m＝﹣12，﹣3n＝﹣12，
∴m＝﹣6，n＝4，
∴m+n＝﹣6+4＝﹣2，
故答案为﹣2．
14．（3分）如图，已知∠ACD＝∠B，若CD＝4，CB＝10，△ADC的面积是4，则△BDC的面积为 21 ．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，＝，
解得：S△CAB＝25，
S△BDC＝S△CAB﹣S△ADC＝25﹣4＝21，
故答案为：21．
15．（3分）如图是一个几何体的三视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：dm），可求得它的体积是 240 dm3．
【解答】解：该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形形，可确定这个几何体是一个四棱柱，
依题意可求出该几何体的体积为×6×8×10＝240dm3．
故答案为：240．
16．（3分）设a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 ﹣2024 ．
【解答】解：因为a，b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，
所以a+b＝﹣2，ab＝﹣2023．
则（a+1）（b+1）
＝ab+a+b+1
＝﹣2023+（﹣2）+1
＝﹣2024．
故答案为：﹣2024．
17．（3分）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为 4或9 时，△ADP和△ABC相似．
【解答】解：当△ADP∽△ACB时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝9，
当△ADP∽△ABC时，
∴＝，
∴＝，
解得：AP＝4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
18．（3分）如图，有一块三角形的土地，它的一条边BC＝100米，BC边上的高AH＝80米，某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上．若大楼的宽是40米（即DE＝40米），则这个矩形的面积是 2000 平方米．
【解答】解：由已知得，DG∥BC
∴△ADG∽△ABC，
∵AH⊥BC
∴AH⊥DG于点M
且AM＝AH﹣MH＝80﹣40＝40（m）
，
即DG＝＝50（m），
∴S矩形DEFG＝DE×DG＝2000（m2）．
故答案为：2000．
19．（3分）如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米．已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为 2 米．
【解答】解：∵FB∥AP，
∴△CBF∽△CAP，
∴＝，即＝，
解得AP＝6，
∵GD∥AP，
∴△EDG∽△EAP，
∴＝，即＝，
解得ED＝2，
故答案为：2．
20．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB；⑤AF2＝EF EB．其中正确的结论是 ①②④⑤ （填序号）．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正确；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，DE：PE＝BE：DE，
而DE＝AF，
∴AF2＝EF EB，故⑤正确；
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正确；
∴＝，
∴＝＝＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③错误，
故答案为：①②④⑤．
三、解答题（共6小题，共60分）
21．（10分）解方程：
（1）2（x+3）2＝x（x+3）；
（2）x2+12x+27＝0（用两种方法解决）．
【解答】解：（1）2（x+3）2＝x（x+3），
2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
（x+3）[2（x+3）﹣x]＝0，
（x+3）（2x+6﹣x）＝0，
（x+3）（x+6）＝0，
∴x+3＝0或x+6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣6；
（2）解法一：x2+12x+27＝0，
（x+3）（x+9）＝0
x+3＝0或x+9＝0
解得x1＝﹣3，x2＝﹣9．
解法二：x2+12x＝﹣27，
x2+12x+36＝36﹣27，
（x+6）2＝9，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣9；
22．（8分）如图，O为原点，B，C两点坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
（3）已知M（x，y）为△OBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．
【解答】解：（1）如图，△OB'C'即为所求．
（2）由图可得，点B'（﹣6，2），C'（﹣4，﹣2）．
（3）由题意得，点M'的坐标为（﹣2x，﹣2y）．
23．（8分）从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．
（1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．
【解答】解：（1）∵共有四张扑克牌，分别是2，5，6，8，其中偶数有3张，
∴从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：；
（2）列表如下：
一共有16种等可能的情况，其中小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的有6种，
则小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是＝．
24．（10分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝130，
整理得：3x2﹣39x+130＝0，
Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且AE＝ED，DF＝DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求BG的长．
【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝AB＝DC＝BC，
∵ED＝AE，
∴＝．
∵DF＝DC，
∴＝，
∴＝，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴BG∥ED，
∴△EDF∽△GCF，
∴＝．
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
26．（14分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M，N两点．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）根据函数图象，请直接写出不等式的解集；
（4）在x轴上是否存在点P，使得△PMO是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）依题意解 ，
∴k＝4，
，
又点M（2，m）在 的图象上，
，
∴点M的坐标为（2，2），
，
解得，
∴y＝2x﹣2．
（2）设直线与y轴交于点A，则A（0，﹣2），OA＝2，
∴S△OMN＝S△OAN+S△OAM＝+＝3．
（3）根据题意，由图象可知不等式的解集为：
﹣1＜x＜0或x＞2；
（4）∵M（2，2），
∴OM＝2．
①OM为等腰三角形的腰时P点坐标（﹣2，0），（2，0），（4，0）；
②OM为等腰三角形的底时P点坐标（2，0），
综上分析满足条件的点P的坐标为：（2，0）或（4，0）或 或 ．
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