湖南省娄底市双峰县2023-2024八年级上学期期中数学试题（含解析）

2023年八年级（上）作业（二）
数学
时量：120分钟 满分：120分
考生注意：
1. 本学科作业分试题和答题卡两部分；
2. 请在答题卡上作答，答在试题上无效.
一、选择题（每小题只有一个答案，每小题3分，共30分）
1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2. 若分式的值等于0，则a的值（ ）
A. 1 B. 3 C. -3 D. 0
3. 如图，中，于点D，若，则有（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线DE为AB边的垂直平分线，若，的周长为，则的周长为（）
A B. C. D.
6. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍
7. 一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（）
A B. C. D.
8. 如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依次类推，与的平分线相交于点，则的大小是（ ）
A B. C. D.
9. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ）
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是__．
12. 化简=__________________
13. 分式与最简公分母是__________．
14. 如图，在和中，点A，E，F，C在同一直线上，，，若≌全等，可添加的条件是__________．
15. 如图，中，已知点D、E、F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为_________．
16. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为__________．
三、计算题（每小题6分，共18分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 解方程：
四、解答题（每小题8分，共16分）
20. 如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，求度数．
21. 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．
五、解答题（每小题9分，共18分）
22. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小安共用10秒通过．其中通过段的速度是通过段速度的1.5倍，求小安通过段时的速度．
23. 在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．
（1）如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
（2）如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
六、综合题（每小题10分，共20分）
24. 先阅读，再答题：
，
，
……
一般地，有．
（1）计算：；
（2）计算：．
25. 已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（3）若，试判断与的位置关系，并说明理由．
2023年八年级（上）作业（二）
数学
时量：120分钟 满分：120分
考生注意：
1. 本学科作业分试题和答题卡两部分；
2. 请在答题卡上作答，答在试题上无效.
一、选择题（每小题只有一个答案，每小题3分，共30分）
1. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A.，
，，不能构成三角形，不符合题意；
B.，
，，不能构成三角形，不符合题意；
C.，
，，不能构成三角形，不符合题意；
D.，
，，能构成三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较短的两边的和是否大于第三边．
2. 若分式的值等于0，则a的值（ ）
A. 1 B. 3 C. -3 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零列出等式与不等式，进而得出答案．
【详解】解：若分式的值等于0，则且，
解得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
3. 如图，中，于点D，若，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据垂直的定义得到，根据和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】，
，
，，
，
．
故选：D
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂及整式的乘法法则即可判断．
【详解】A. ，故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，正确
故选D．
【点睛】此题考查了整式的乘除法，解题的关键是熟知其运算法则．
5. 如图，直线DE为AB边的垂直平分线，若，的周长为，则的周长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为可知，即可得出的周长．
【详解】∵为边的垂直平分线，
∴．
∵的周长为，
∴．
∵，
的周长为，
故选：A．
6. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍
【答案】B
【解析】
【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案．
【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为，
因此分式的值较原来扩大了倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提．
7. 一次数学活动中，小明对纸带沿AB折叠，量得，则的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了翻折问题，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是利用折叠的性质解决问题．
首先根据平行线性质求出，再根据折叠性质求出三角形内角和定理即可得到．
【详解】∵，
，
∵纸带沿折叠，
，
故选：C．
8. 如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依次类推，与的平分线相交于点，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据角平分线的定义可得，，从而可得，，再根据三角形的内角和定理可得，归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：与的平分线相交于点，
，，
，
，，
，
同理可得：，，
归纳类推得：（为正整数），
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
9. 关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】去分母，分式方程化为整式方程，由增根的定义，则整式方程根为，代入求解参数值．
【详解】解：分式方程变形，得，
把代入，得；
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的求解，增根的定义；理解增根的定义是解题的关键．
10. 如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④，其中正确结论是（ ）
A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明，即可判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出，判断出②正确；根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出④错误．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点D为中点，
∴，，，
∴，
∵是直角，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，
又∵是直角，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确结论有①②③；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是__．
【答案】如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角
【解析】
【分析】本题考查了命题与逆命题：判断一件事情的语句，叫做命题．交换原命题的题设与结论部分即可得到原命题的逆命题．
【详解】解：命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角．
故答案为：如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角另一个是钝角．
12. 化简=__________________
【答案】.
【解析】
【分析】先计算积的乘方、幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，注意最后结果要把负指数化为正指数；
【详解】解：=
【点睛】本题主要考查整式的乘方运算，熟练掌握整式的积的乘方、幂的乘方运算法则以及负指数的定义是解题的关键．
13. 分式与的最简公分母是__________．
【答案】x(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】先对分式的分母进行因式分解，根据确定最简公分母的方法即可求出最简公分母．
【详解】∵x2+2x=x(x+2)，x2-4=(x+2)(x-2)，
∴分式与的最简公分母是x(x+2)(x-2)，
故答案为：x(x+2)(x-2)
【点睛】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
14. 如图，在和中，点A，E，F，C在同一直线上，，，若≌全等，可添加的条件是__________．
【答案】或或
【解析】
【分析】利用全等三角形的判定方法分别验证即可．
【详解】解：添加，
在 和 中，
≌，
可证全等；
添加，
在 和 中，
，
≌，
可证全等；
添加，
在 和 中，
，
≌，
可证全等；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
15. 如图，中，已知点D、E、F分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：点是中点，
，，
，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
16. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答；
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴ ， ，，
①+②+③，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度．
三、计算题（每小题6分，共18分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：要从高级到低级，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【详解】解：原式．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】先把括号内的式子通分，再利用分式的除法计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
19 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件得到，方程两边同时乘以再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：方程两边同时乘以，
得，
即，
解得，
经检验是分式方程的解，
故分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程求解的方法是解题的关键，注意解分式方程要检验．
四、解答题（每小题8分，共16分）
20. 如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形的内角和求出，再利用内角与外角的关系先求出∠ADC，再求出．
【详解】解：∵平分交于点D，于点E，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的角平分线、高线的性质及三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键．
21. 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行线的性质得，再由证≌，即可得出结论．
【详解】证明：∵，，
，
在和中
，
．
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
22. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小安共用10秒通过．其中通过段的速度是通过段速度的1.5倍，求小安通过段时的速度．
【答案】通过时的速度是
【解析】
【分析】设通过段的速度是，则通过段的速度是，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x的值并验算即可．
【详解】解：设通过段的速度是，则通过段的速度是，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：通过时的速度是．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．
23. 在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．
（1）如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形；
（2）如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而推出，由此即可证明结论；
（2）同理可得，进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到，再根据三线合一定理得到，则，即为等腰三角形．
小问1详解】
证明：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
【小问2详解】
证明：同（1）可知，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
六、综合题（每小题10分，共20分）
24. 先阅读，再答题：
，
，
……
一般地，有．
（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给出的规律将原式展开，再进行分式的加减运算；
（2）利用根据给出的规律将原式展开，再进行分式的加减运算．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是利用公式将原式展开．
25. 已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．
（1）求证：；
（2）求的度数．
（3）若，试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；
（2）由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；
（3）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．
【小问1详解】
证明：三角形是等边三角形，
，
，
，
平分，
，
和中，
，
；
【小问2详解】
解：三角形是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
由（1）得，，
；
【小问3详解】
解：，
理由如下：
由（1）得，，
，
由（2）得，，
，
，
，
，
如图，令交于点，
，
则
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．

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