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浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，
A、，故答案为：正确，不合题意；
B、，故答案为：正确，不合题意；
C、，故答案为：正确，不合题意；
D、，故答案为：错误，符合题意；
故答案为：D.
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【解析】∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故答案为：D．
3．如图，中，点D是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．∵AB2=BD BC，
∴ ，
∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，
故A不符合题意；
B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，
故B不符合题意；
C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠C=∠BAD，
∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，
故C不符合题意；
D．∵AD BC=AB AC，∴，
∵∠B≠∠BAD，∴不能判定△ABC与△ABD相似，
故答案为：D．
4．如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】C
【解析】∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＝50°.
故答案为：C.
5．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【分析】根据红球的个数占总个数的比例即可求得结果.
由题意得，摸出的球是红球的概率是，
故选A.
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠ACE=90°，AC=CE，
∴∠E=45°，
∵∠ADC是△CDE的外角，
∴∠ADC=∠E+∠DCE=45°+20°=65°，
故答案为：C。
7．已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x＞1时y随x的增大而增大，
∴图象上的点距离对称轴越近对应的函数值越小，
∵，
∴，
故答案为：D.
8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6作D6F6⊥y轴于点F6，
将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，
∵360°÷45°=8，
∵当n=2022时，2022÷8=252· · ·6，
则D2022的坐标与D6的坐标相同，
∵∠DOD6=2×45°=90°，
则OD⊥OD，
∵OE=DE=2，OD= OD，
∴△ODF≌△△OD6F6，
∴DF=D6F6，OF= O6F6，
∵正六边形OABCDE的一 个外角，
∴DF=DEsin∠DEF=2×=，
∴∠DEO=180°-∠DEF=120°，DE= EO，
∴∠DOF=30°，
∴，
∴D6F6= DF= ， OF6=OF=3，
∴D6（-，-3），
∴D2022（-，-3），
故答案为：A.
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，c＜﹣1，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】 抛物线开口向上
对称轴为
a、b同号，则
，则①错误
对称轴为 ，与x轴的交点为
，即
，即
，则②正确
由对称性可知，当 与 时，y的值是相等的
即
，则③正确
当 时，y取得最小值，最小值为
当 时，
则
即 ，则④错误
综上，正确的结论有2个
故答案为：B.
10．如图，在中，，，，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为（ ）.
A．13 B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，取的中点E，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当在一条直线时值最小，
，
∴最小值为，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可得：（答案不唯一）.
故答案为（答案不唯一，只要中a≠0，b=0即可）.
12．在△ABC中，如果，则∠C= .
【答案】105°
【解析】∵ ，
∴ 且，
∴ 且，
∵ 且，
∴∠A=30°，∠B=45°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=105°.
故答案为：105°.
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是 °．
【答案】105
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．
14．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝ .
【答案】
【解析】∵，米，
∴，
设的半径为r，则，
在中，根据勾股定理得，
得：
即，
故答案为：.
15．如图，在中，点为边三等分点，点在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】∵点 D 、 E 为边 AB 的三等分点，
∴ AD=DE=EB ,∴AB=3BE, AE=2AD，
∵DG // EF ,∴ ,
∴
∵HD =3，AE =2AD，∴
∴
∵EF // AC ,∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：18.
16．如图，半径为7的扇形中，，为半径上一点，过作于点D，以为边向右作等边，当点E落在上时， .
【答案】
【解析】如图，连接.设.
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
（负根已经舍去），
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
【答案】（1）解：方法一画树状图得：方法二列表得：
甲 乙 丙 丁
甲 / 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 / 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 / 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 /
∴所有等可能性的结果有12种，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为： =
（2）解：∵一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，
∴恰好选中乙同学的概率为：
18．如图，在正五边形中，连结交于点F.
（1）求的度数.
（2）已知，求的长.
【答案】（1）解：∵五边形是正五边形，
∴，，，，，.
∴四边形是菱形，
∴，
同理可求：，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴.
∵，
同理，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，即，
解得（舍去负值）.
∴的长是.
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED；
（2）解：）∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴
20．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB=50，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=30cm．
（1）若EC=36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
【答案】（1）解：，理由如下，
如图，连接，
DE=BC=AB=50，DF=30cm．EC=36cm，
，
在中，，
，
，
，
是直角三角形，是斜边，
；
（2）解：如图，
过点作于，
∠DCF＝45°，
是等腰直角三角形，
BC=AB=50，CF＝AC，
，
，
支杆DF=30cm．
在中，，
，
所以（cm）.
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
【答案】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，
设CG为am，DG为(12-a)m，那么
AD×DC-AE×AH=32
即12×3-1×（12-a）=32
解得：a=8
∴CG=8m，DG=4m．
（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，
两块矩形总种植面积=BC×DC
即y=x·(21-3x)
∴y=-3x2+21x
=-3(x- )2+
∵21-3x≤12
∴x≥3
∴当BC= m时，y最大= m2.
22．如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的长．
【答案】（1）解：∵在△CAD和△CBA中，
∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA
（2）解：∵△CAD∽△CBA， ∴ = ，即AC2=CD×CB，
又∵BD=10，DC=8，
∴AC2=8×18=144，∴AC=±12，
又∵AC＞0，
∴AC=12
（3）解：∵DE∥AC，
∴ = ，
又∵BD=10，DC=8，AE=4，
∴ = ，
∴BE=5．
23．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．
（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离；
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：如图，过作于点，过作交延长线于点．
∵，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
在和中，
，
∴，
∴，即点到边的距离为．
（3）解：如图，过作交的延长线于点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，，∴．
∵，，
∴，∴，
∴．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N（0，
）．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的函数式．
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD= S△ABC，求点D的坐标．
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒3个单位的速度运动到F，再沿着线段PC以每秒5个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．
【答案】（1）解：∵C（0，3），∴OC=3，∵4CN=5ON，∴ON= ，∵∠OAN=∠NCM，∴△AON∽△COB，∴ = ，即 = ，解得OA=1，∴A（﹣1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
把C（0，3）代入得a 1 （﹣4）=3，解得a=﹣ ，∴抛物线解析式为y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3
（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，﹣ x2+ x+3），则Q（x，﹣ x+3），DQ=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，
∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4 （﹣ x2+3x）=﹣ x2+6x，
∵S△BCD= S△ABC，∴﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∴D点坐标为（1， ）或（3，3）；
（3）解：设F（x，﹣ x+3），则EF= = ，CF= = x，点P在整个运动过程中所用时间t= EF+ ，∴ EF+ ≥2 ，当EF= CF时，取等号，此时t最小，即 x2﹣ x+13=（ x）2得x1=2，x2= （舍去），
∴点P在整个运动过程中所用的最少时间2× ×2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）．
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浙教版2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟卷（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
（第2题） （第3题） （第4题） （第6题）
3．如图，中，点D是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图， 内接于 ，CD是 的直径， ，则 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．在不透明的布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是红球的概率是
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题） （第10题）
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，c＜﹣1，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，，，，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为（ ）.
A．13 B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出一个y关于x的二次函数的解析式，且它的图象的顶点在y轴上： .
12．在△ABC中，如果，则∠C= .
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是 °．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝ .
15．如图，在中，点为边三等分点，点在边上，，点为与的交点．若，则的长为 ．
16．如图，半径为7的扇形中，，为半径上一点，过作于点D，以为边向右作等边，当点E落在上时， .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打笫一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
18．如图，在正五边形中，连结交于点F.
（1）求的度数.
（2）已知，求的长.
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
20．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB=50，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=30cm．
（1）若EC=36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
21．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？
22．如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC=∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的长．
23．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．
（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离；
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N（0，
）．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．
（1）求抛物线的函数式．
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD= S△ABC，求点D的坐标．
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒3个单位的速度运动到F，再沿着线段PC以每秒5个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．
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