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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求
1. 已知集合 A 1,1, 2 ， B x x2 x ，则 A B （ ）
A. 1 B. 1 C. 1,1 D. 1,0,1, 2
2. 若命题“ x R, x2 2mx 2m 3 0”为真命题，则m的取值范围是（ ）
A． 1 m 3 B．m 3或m 1 C．m 1或m 3 D． 3 m 1
3. 函数 f x x 2 log2 x的零点所在的区间为（ ）
A. 3，4 B. 2，3 C. 1，2 D. 0，1
4. “关于 x的不等式 x2 2ax a 0对 x R 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
0 a 1A. 0 a 1 B. a 1 C. D. 0 a 1
2
5. 已知 f (x) 2x 1，a log 0.7，b 30.2， c 0.21.32 ，则 f (a), f (b), f (c)的大小关系为（ ）
A. f (a) f (c) f (b) B. f (c) f (a) f (b)
C. f (a) f (b) f (c) D. f (b) f (c) f (a)
1
6. 函数 y ln x 1 的图象大致为（ ）
x
A. B.
C. D.
7. 函数 f (x) = loga(4x-3)+1(a >0且a 1)的图像恒过定点 A(m,n)，若对任意正数 x, y，都有mx + ny = 3，
1 1
则 + 的最小值为（ ）
x+1 y
1
A.4 B. 2 C. D.1
2
| log (x 1) |,1 x 3
8. 已知函数 f (x) 2 2 ，若方程 y f (x) m有 4个不同的零点 x1, x2 , x3 , x4，
x 8x 16, x 3
1 1
且 x1 x2 x3 x4 ，则 ( )(x x ) x x 3 4 （ ）．1 2
A. 4 B.6 C.8 D. 10
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二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5
分，部分选对的得 2 分，有选错的的 0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若a >b > 0，则 ac2 bc2 B. 若a >b > 0，则 a2 b2
C. 若a b 0，则 a2 2
1 1
ab b D. 若a b 0，则
a b
10. 2已知关于 x的不等式 ax bx c 0的解集为 x x 4或x 3 ，则（ ）
A. a 0 B. 12a c 0
ax b
C. a b c 0 D. 不等式 0的解集为 x 12 x 1
ax c
11. 已知min{a,b,c}表示 a,b,c中的最小值，设函数 f x min x 3 ,3 x 1, x 3 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． f f 3 1 B．函数 f x 为偶函数
C．函数 f x 的最小值为 0 D．当 x 3,3 时， f x 1 a，则 a的取值范围为 2,
12. 若定义在R上的函数 f (x)，其图像是连续不断的，且存在常数 ( R)使得 f (x ) f (x) 0对
任意实数 x都成立，则称 f (x)是一个“ ~特征函数”。下列结论正确的是（ ）
A. f (x) 0是常数函数中唯一的“ ~特征函数” B. f (x) e x是“ ~特征函数”
C. f (x) 2x 1不是“ ~ 1特征函数” D. “ 3 ~特征函数”至少有一个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1
13. 已知函数 f x 2x , x 0 x ，则 f f 2 ______.
2 x 3x 1, x 0
2
2
14. 计算3log3 2 3 3
3 5
3 lg 2lg 2=
2 8 2
x2 2ax a 2, x 1
15. 若函数 f (x) 2a 6 是 R上的单调函数，则 a的取值范围是
x
, x 1
16. 已知函数 f x 是定义在 1 3a,2a 1 上的奇函数，当0 x 2a 1时， f x x2 2x，若 f logam 3，
则 m的取值范围是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分 10 分）
A x 2已知集合 x∣ 0
，集合B x∣2m 3 x m2 ,m R ．
x 1
（1）当m 2时，求 A B；
（2）若 A B B，求实数m的取值范围．
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18. （本小题满分 12 分）
已知幂函数 f x (m2 2m 2)xm 1在 R上单调递增，函数 g x x k .
（1）求m的值；
（2）记 f x , g x 在区间 (1,2)上的值域分别为集合 A,B，若 x A是 x B的必要条件，求实数 k的
取值范围.
19. （本小题满分 12 分）
设 f x loga x
1
（ a 0，且a 1 ）其图象经过点 e, ，又 g x 的图象与 f x 的图象关于直
2
线 y x对称．
（1）若 f x 在区间 e,c 上的值域为 m,n ，且 n m
3
，求 c的值；
2
（2）若 g 2m 4， g n 25，求 2m n的值．
20. （本小题满分 12 分）
2
已知函数 f x x 2ax 5（ a 1）．
（1）若 f x 的定义域和值域均是 1,a ，求实数 a的值；
2
（2）若 g x x x 1 ，且对任意的 x 0,1 ，都存在 x0 0,1 ，使得 f x0 g x 成立，求实数 ax 1
的取值范围．
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21. （本小题满分 12 分）
*
某企业生产大型空气净化设备，年固定成本 500万元，每生产 x x N 台设备，另需投入成本 t万
1 400000
元，若年产量不足 150 2台，则 t x 128x；若年产量不小于 150台，则 t 210x 6900，
2 x
每台设备售价 200万元，通过市场分析，该企业生产的设备能全部售完.
（1）写出年利润 y（万元）关于年产量 x（台）的关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 f x ax 1 m a x a 0,a 1 3 是奇函数，且过点 1, 2 ．
（1）求实数 m和 a的值；
2 g x log 22x 2 2x（ ）设 t tf x t 0, t 1 ，是否存在正实数 t，使关于 x的不等式 g x 0对
x 1, log2 3 恒成立，若存在，求出 t的范围；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1-4、BBCD；5-8、AADC；9、BD；10、BCD；11、BC；12、BCD；
13、 3；14、2；15、 [1,2]；16、(2，32].
x 2
17、（1）由 0，解得： 1 x 2，所以 A x | 1 x 2 .
x 1
当m 2时， B x | 1 x 4 ，
所以 A B x | 1 x 4 . ……………………5 分
（2）因为 A B B，所以 B A . ……………………6 分
当 B 时， 2m 3 m2，解得： 1 m 3； ……………………7分
2m 3 m2
当 B 时，则 2m 3 1 ，解得： 2 m 1 . ……………………9分
2
m 2
综上：实数m的取值范围为 2,3 . ……………………10 分
18、（1）由已知得m2 2m 2 1，
解得m 1或3，
当m 1时， f x x 1不符合题意
当m 3时， f x x3
所以m 3 ……………………6 分
3
（2）由（1）得 f x x 在 R上单调递增，
当 x (1, 2)时， f x 的值域为 (1,8)，即 A (1,8)， ……………………8分
g x x 1 k 1在 x (1, 2)为单调递减，所以 g(x)的值域B ( k ,1 k ) ………9分
2
x A是 x B的必要条件， B A， ……………………10 分
1 k 1, 1 1
2 k 7， k 的取值范围是 ，7 . ……………………12 分
1 k 8, 2 2
1
19、（1）因为 f (x) loga x（a 0，且 a 1
）的图象经过点 e,
，
2
1 1 1
所以 loga e，所以 a 2 e2 ，所以 a e，所以 f (x) ln x，……………………2 分2
因为 f x 1在区间[ e,c]上单调递增，则m f e ，……………………3 分2
3 3 1 3
因为 n m ，所以 n m 2，所以 f c n 2，……………………4分
2 2 2 2
即 ln c 2，解得 c e2 . ……………………6 分
（2） g(x)的图象与 f (x) x的图象关于直线 y x对称， g x e ……………………8 分
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若 g(2m) 4, g(n) 25，则 e2m 4， en 25， ……………………10 分
所以 e2m en e2m n 100，所以 2m n ln100 . ……………………12 分
20、（1） f x x2 2ax 5 x a 2 5 a2 ……………………1 分
f x 在 ,a 上单调递减，又 a 1，
f x 在 1,a 上单调递减， ……………………3 分
f 1 a 1 2a 5 a ，即 ，解得 a 2； ……………………5 分 f a 1 a2 2a2 5 1
x2 x 1 1
（2）∵ g x x ，明显其在 0,1 上单调递增，……………………6 分
x 1 x 1
当 x 0,1 时， g x 1, 1 ……………………7 分 2
又 f x 在 0,1 上单调递减， f x 6 2a,5 ……………………9分
∵对任意的 x 0,1 ，都存在 x0 0,1 ，使得 f x0 g x 成立
∴ 1,
1
6 2a,5 ……………………11 分 2
∴6 2a≤ 1 ∴ a 7
2
a 7即 ,
……………………12 分
2
21、（1）依题意，若年产量不足 150台，即0 x 150, x N*，
t 1另外投本 x2 128x，固定投本 500万，总收入200x万元，
2
y 200x 1故利润 x
2 128x 500
1
x 2 72x 500 ； ……………………2分
2 2
若年产量不小于 150台，即 x 150, x N*，
t 210x 400000另外投本 6900，固定投本 500万，总收入 200x万元，
x
y 200x 210x 400000 6900 500 40000故利润 10
x
x 6400 ，……………4分
x
1
x
2 72x 500,0 x 150
2
综上所述： y ,x N* . ……………………6 分
10 x 40000 6400, x 150 x
1 1
（2）若0 x 150, x N* 2 2时，则 y x 72x 500 (x 72) 2092 ，
2 2
可知当 x 72时， ymax 2092； ……………………8分
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x 150, x N* y 10 40000 40000若 时，则 x 6400 20 x 6400 2400 ，
x x
x 40000当且仅当 ，即 x 200时，等号成立，
x
可知当 x 200时， ymax 2400； ……………………11 分
又因为 2400 2092，所以当年产量为 200台时，该企业所获利润最大 ……………………12 分
22、（1）因为 f x 是定义域为 R 的奇函数，
∴ f x f x [ax (1 m)a x ] [a x 1 m ax ] 0 ……………………1分
即 ax (2 m) (2 m)a x (2 m)(ax a x ) 0
∵ ax a x 0 ∴m 2
∴ f x ax a x． ……………………3 分
（由 f 0 0，得m 2，未检验，扣 1 分.）
又因为 f x 过点 1, 3 ，∴ f 1 a 1 a 3 ，
2 2
∴ a 2 ……………………4分
（2）由（1）得 f x 2x 2 x， g x log 2x 2x x x t 2 2 t 2 2 t 0,t 1
因为 x 1, log 3 x x k 32 ，令 k 2 2 ，∴ ,
8
，
2 3
2
记 h k k tk 2， ……………………6分
∵函数 g x 0在 1, log2 3 上恒成立，
3 8
（ⅰ）若0 t 1时，函数 h k k 2 tk 2 k 在 , 上为增函数， 2 3
所以 g x logt h k 为减函数，
则需函数 h k k 2 tk 2 1恒成立，即 k 2 tk 1 0恒成立．
h 3 0 h 3 9 3∴ 恒成立，∴ t 1 0恒成立，则 t
13
恒成立，
2 2 4 2 6
故0 t 1合题意 ……………………8分
3 8
（ⅱ 2）若 t 1时，则需0 h k k tk 2 1在 k , 恒成立，则： 2 3
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t 3
2 2 t 3
h 3 17① 0
t t ， ……………………9 分
2 6
h 8
t 73 1
3 24
3 t 8
16
2 2 3
3 t 3
Δ t
2 8 0 2 2 t 2 2
② h 3 1
t 13
t ……………………10 分
2
6
h 8 73 1 t 3 24
t 8 16
t
2 3 3
③ h
3 13
1
t t ……………………11 分
2 6
8 41
h 0 t
3 12
综上所述：故存在正数 t 0,1 ，使函数 g x 0在 1, log2 3 上恒成立 ……………………12 分
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