卷子答案网-一个不只有答案的网站2023～2024天津市第四十七中学高三年级第一学期
第二次阶段性检测数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 选择题（共45分）
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．“a，b，c成等比数列”是，，成等比数列”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）．
A．直方图中x的值为0.040
B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为84分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80％分位数约为93分
4．函数的部分图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
5．设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，，过且垂直于x轴的直线与C相交于P，Q两点，与y轴的交点为R，，则C的离心率为（ ）．
A． B． C．2 D．
7．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚跳、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（ ）．
A．函数的周期为
B．将函数图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．方程在区间上的根的个数共有6个
9．已知中，，，，，，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共105分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中的相应横线上）
10．若复数为实数，则实数a的值为__________．
11．的展开式中项的系数为__________．
12．已知圆C的圆心坐标是，若直线与圆C相切于点，则圆C的标准方程为__________．
13．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，__________；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为__________．
14．已知正实数m，n，满足，则的最小值为__________．
15．已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为__________．
三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若的面积，．
①求的值；②求．
17．（本小题满分15分）
如图，已知SA垂直于梯形所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求面与面夹角的正弦值；
（3）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分15分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为．
①求四边形的面积的最大值；
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由．
19．（本小题满分15分）
已知数列的前n项和为，，是与的等差中项．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）设，若数列是递增数列，求t的取值范围；
（3）设，且数列的前n项和为，求证：．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求使恒成立的最大偶数a．
（3）已知当时，总成立．令，若在的图像上有一点列，若直线的斜率为，求证：．
2023～2024天津市第四十七中学高三年级第一学期
第二次阶段性检测数学参考答案
一、选择题：每小题5分，满分45分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C A C A C B D D A
二、填空题：每小题5分，共30分．（两空中对一个得3分，对两个得5分）
10． 11．2 12．
13．； 14． 15．
三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
（1）因为，∴，
可得：，解得：或，
三角形为锐角三角形，∴，∴．（4分）
（2）①∵，可得，
又，可得：，
在中，由余弦定理得，，
∴，
在中，由正弦定理可得：．（9分）
②由余弦定理得：，
，，
．（14分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：连接FG如图，在中，F、G分别为SD、SB的中点，
所以．
又因为平面，平面，∴平面．（3分）
（2）解：因为平面，AB，平面，
所以，．
又，所以．
以，，为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系．（4分）
则，，，，
，，．（5分）
（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，解得，．（7分）
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，（8分）
所以，，
所以面与面夹角正弦值为．（10分）
（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）
（3）解：假设存在点H，设，，
则．（12分）
由（2）知，平面的一个法向量为．
则，
即，所以．（14分）
故存在满足题意的点H，此时．（15分）
18．（本小题满分15分）
（1）设椭圆C的方程为．
由题意可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）①由（1）可求得点P、Q的坐标为，，则，（5分）
设直线AB的方程为，设点，，
联立，整理得：，
由，可得．
由韦达定理知：，，（7分）
四边形的面积，
故当时，．
②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率，（11分）
则
．（12分）
所以的值为常数0．（15分）
19．（本小题满分15分）
（1）证明：∵是与的等差中项，∴①，
于是有②，
∴①－②，即，（2分）
∴．
又∵，，∴，∴，，
∴，即有．（4分）
又∵，，
∴是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，∴．（5分）
（2）由（1）可知，，
∴，，
所以，
∴是递增数列，∴，∴，（6分）
当n是奇数时，，，
即恒成立．
∵数列单调递增，∴，（8分）
当n是偶数时，，，
即恒成立．
∵数列单调递减，∴，
综上，t的取值范围是．
（3）∵，∴，即，
当时，．
∴，∴，
当时，，综上所述，．（15分）
20．（本小题满分16分）
（1）当时，，，
所以，曲线在点处切线的斜率为，
所以切线方程为．（4分）
（2）当时，使等价于，（5分）
令，所以，
令，所以，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以在上，使，即，（7分）
，，；
，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为，所以，
所以，且，
所以使恒成立的最大偶数为．（9分）
（3）时，，
，
由（需要证明），则，
，
．（16分）
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