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专题02 三角形全等的性质与判定、角平分线之八大题型
全等图形的识别
例题：（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2022上·河南驻马店·八年级统考期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（ ）
A．B．C． D．
全等三角形的性质
例题：（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，点B在线段上，若，则的度数是 ．
2．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图：，与相交于点F，.
(1)若平分，求的度数;
(2)若，求的度数.
几何动点中找全等三角形
例题：（2022上·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是 ．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在正方形中，，，动点以的速度从点出发沿边匀速移动，同时，动点以的速度从点出发沿边匀速移动，当点与点相遇时停止移动．设移动的时间为，连接，当 时，以、、为顶点的三角形与全等．
2．（2022上·浙江·八年级期末）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结，
（1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？
（2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？
添加条件使三角形全等
例题：（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是 ．（不添加辅助线，写出一个即可）
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图，，现要添加一个条件使，可以添加 ．（只添一个即可）．
2．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图，点E，F在上，，，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得≌，你添加的条件是 ．
三角形全等的性质与判定综合
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）如图，在和中，点在上，，，，，求的度数．
【变式训练】
1．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）如图①，，垂足分别为D、E．
(1)求证：；
(2)在图①中的边上取一点F，使，连接交于点G，连接（如图②）．
①求证：；
②若，请直接写出的面积．
2．（2023上·广东汕头·八年级统考期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
角平分线的性质定理
例题：（2023下·河南开封·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于E，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，中，，，是的平分线，于，若，则的周长等于 ．
2．（2023上·云南红河·八年级统考期末）如图，平分，于点M，于点N，D，E分别是边和上的点，且．
求证：
(1)；
(2)．
角平分线性质的实际应用
例题：（2023下·湖南株洲·八年级统考期末）的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【变式训练】
1．（2022上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
2．（2022上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
角平分线的判定定理
例题：（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，D是的中点，，垂足分别是点E、F，．求证：平分．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示，于点F，于点E，和相交于点D，若，求证：平分．
2．（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，于点E，于点F，若，．
(1)求证：AD平分；
(2)求证：．
一、单选题
1．（2023下·四川·七年级统考期末）如图，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）已知原图形如图，则下面四个图形中与原图形不是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·云南红河·八年级统考期末）如图，在的两边上截取，点C、D在和上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，已知点P到，，的距离相等，下列说法：①点P在的平分线上；②点P在的平分线上；③点P在的平分线上；④点P在，，的平分线的交点上，其中正确的是（ ）
A．① B．②③ C．①②③ D．①②③④
5．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知，如图1，．画一个，使得．在已有的条件下，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
A．甲同学作图判定的依据是
B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．乙同学作图判定的依据是
D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
二、填空题
6．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）如图，已知，请你添加一个合适的条件，使．你添加的条件是________．
7．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是 ．
8．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）如图，在中，，的平分线交于，，则点到斜边的距离为________．
9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，，，是的平分线，且交的延长线于点E，延长与的延长线相交于点F．若，则线段的长为 ．
10．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．
三、解答题
11．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，在和中，已知，是的平分线．求证：．
12．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图，在五边形中，，．
(1)请你添加一个与角有关的条件，使得，并说明理由：
(2)在（1）的条件下，若，，求的度数．
13．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期末）如图，四边形中，E是中点，交延长线于点F，此时E也是中点．
(1)判断与的位置关系并说明理由．
(2)若，试说明：．
14．（2023下·甘肃兰州·七年级校考期末）已知：在中，平分，平分．
(1)如图，若，，求的度数．
(2)如图，连接，作，，，求的面积．
15．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是_________．
【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
16．（2023下·四川达州·七年级校考期末）已知是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且
(1)若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题．
如图若，，则______，______填“”、“”、“”；
如图，若，则与的关系还成立吗？请说明理由．
如图，若直线经过的外部，，请写出、、三条线段数量关系（不要求说明理由）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题02 三角形全等的性质与判定、角平分线之八大题型
全等图形的识别
例题：（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
【变式训练】
1．（2022上·河南驻马店·八年级统考期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·八年级统考期末）与下图全等的图形是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据全等形的定义逐个判定即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
B选项图形与题干图形形状一样，故符合题意；
C选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
D选项图形与题干图形形状不一样，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查全等形的定义：完全重合的两个图形叫全等形，即形状及大小都相同．
全等三角形的性质
例题：（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）如图，已知，与交于点C，与交于点D，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由可得选项A、C是正确的，再利用外角的性质可得D是正确的，选项B是错误的．
【详解】解：∵，
∴，故A、C正确；
∵．
∴，故D正确；
∵与不平行，
∴，
∴，故B错误．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）如图，点B在线段上，若，则的度数是 ．
【答案】/65度
【分析】根据得到，，结合，得到，代入计算即可．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
故答案为：65．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平角的意义，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质和直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）如图：，与相交于点F，.
(1)若平分，求的度数;
(2)若，求的度数.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由全等可得，根据三角形的内角和定理可求，由角平分线的定义即可求的度数；
（2）由（1）可得，根据可求，进一步即可求的度数．
【详解】（1）解：∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
（2）解：由（1）可得：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，三角形的内角和定理，角平分线的定义等．熟记相关结论是解题关键．
几何动点中找全等三角形
例题：（2022上·河北张家口·八年级统考期末）如图所示，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是 ．
【答案】或
【分析】分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案．
【详解】解：如下图，
①当点在上时，
∵和全等，
∴，
由题意可得，
所以（秒）；
②当点在上时，
∵和全等，
∴，
由题意得：，解得（秒）．
所以，当的值为3.5秒或6.5秒时．和全等．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在正方形中，，，动点以的速度从点出发沿边匀速移动，同时，动点以的速度从点出发沿边匀速移动，当点与点相遇时停止移动．设移动的时间为，连接，当 时，以、、为顶点的三角形与全等．
【答案】或/或
【分析】先求出的取值范围，分点在正方形的边，，上，分别建立方程求解，即可得出结论．
【详解】解：由题意可知相遇相间为：，
，
∴点Q的最大路程是，
∴相遇点是点C，即点Q运动到点C时停止．
当点在边上时，如图1，，
，，要使和全等，只能是，
，
，，
，
，
当点在边时，不能构成，
当点在边上时，如图2，，，
∴．
要使和全等，只能是，
，
，
，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质解本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．
2．（2022上·浙江·八年级期末）如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结，
（1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？
（2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？
【答案】（1）t=1；（2）t=或t=
【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可；
（2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可．
【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等，
则PC=CM，
由题意得：2t=4-2t，
解得：t=1；
（2）当点P在点C左侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴PC=CM，
∴4-3t=1.5t，
解得：t=；
当点P在点C右侧时，
则△DCP≌△BCM，
∴CP=CM，
∴3t-4=1.5t，
解得：t=，
综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论．
添加条件使三角形全等
例题：（2023上·湖南张家界·八年级统考期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是 ．（不添加辅助线，写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题要判定，已知，可得，添加可判定其全等．
【详解】解：补充．
∵，
∴，
∵，
∴
在和中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图，，现要添加一个条件使，可以添加 ．（只添一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，
∴添加条件，根据证明；
添加条件，根据证明；
添加条件，根据证明．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
2．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）如图，点E，F在上，，，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使得≌，你添加的条件是 ．
【答案】或或
【分析】本题要判定≌，已知，由可得，那么只需添加一个条件即可．添边可以是或添角可以是或．
【详解】解：所添加条件为：或或，
∵，
∴，
即，
添加：，
在和中，
，
∴≌；
添加：，
在和中，
，
∴≌
添加：，
在和中，
，
∴≌．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三角形全等的性质与判定综合
例题：（2023上·福建厦门·八年级校考期末）如图，在和中，点在上，，，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得，再利用可得，进而可得，再利用三角形的外角性质及等量代换即可求解．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形判定及性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·吉林松原·八年级统考期末）如图①，，垂足分别为D、E．
(1)求证：；
(2)在图①中的边上取一点F，使，连接交于点G，连接（如图②）．
①求证：；
②若，请直接写出的面积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)①证明过程见解析；②
【分析】（1）根据“”证明，即可得出结论；
（2）①由，可得，再根据“”证明即可；
②由可得，，从而可得，由可得，，从而可得，再利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
②解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
2．（2023上·广东汕头·八年级统考期末）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过证明，得到，在中，根据三角形三边关系可得：，即，从而可得到中线的取值范围；
（2）延长至点，使，连接，通过证明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三边关系得：；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，证明得到，证明得到，，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到．
【详解】解（1）：如图1，延长至，使，连接，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，根据三角形三边关系可得：，
即，
，
，
，
故答案为：，；
（2）如图2中，延长至点，使，连接，
点是的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴；
（3）结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．
角平分线的性质定理
例题：（2023下·河南开封·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于E，有下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：∵，平分，，
∴，故①正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
平分，故④正确；
∵，，
∴，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）如图，中，，，是的平分线，于，若，则的周长等于 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：平分，，，
，
∵
∴
∴
，
，
的周长，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
2．（2023上·云南红河·八年级统考期末）如图，平分，于点M，于点N，D，E分别是边和上的点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用角平分线的性质得出，再利用证明即可；
（2）利用求得，推出，再利用四边形的内角和定理即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵平分，于M，于N，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴，
在四边形中，
∵，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
角平分线性质的实际应用
例题：（2023下·湖南株洲·八年级统考期末）的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【分析】根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据网格特点可知M点符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【变式训练】
1．（2022上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息.若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （ ）
A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解答．
【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为三条角平分线的交点．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
2．（2022上·辽宁大连·八年级校联考阶段练习）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【答案】见解析
【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
角平分线的判定定理
例题：（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，D是的中点，，垂足分别是点E、F，．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】证明，得到，即可得证．
【详解】证明：∵D是的中点，
∴，
∵，
∴和都是直角三角形，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
即平分．
【点睛】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图所示，于点F，于点E，和相交于点D，若，求证：平分．
【答案】见解析
【分析】先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论．
【详解】证明：于，于，
．
在与中，
，
∴，
，
平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题关键．
2．（2023下·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，于点E，于点F，若，．
(1)求证：AD平分；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明，得到，再根据角平分线的判定定理，求证即可；
（2）通过证明，得到，利用线段之间的关系，求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴AD平分．
（2）证明：由（1）：，
在和中，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．
一、单选题
1．（2023下·四川·七年级统考期末）如图，，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理．熟记相关结论是解题关键．
2．（2023下·河南南阳·七年级统考期末）已知原图形如图，则下面四个图形中与原图形不是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、B、C图形与原图形能够完全重合，
D图形不能与原图形完全重合，故不是全等图形，
故选D．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．
3．（2023上·云南红河·八年级统考期末）如图，在的两边上截取，点C、D在和上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、根据，，，由可判定，故此选项不符合题意；
B、根据，，，不能判定，故此选项符合题意；
C、根据，，由可判定，故此选项不符合题意；
D、根据、可以得出，再根据，，由可判定，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．注意：两个三角形只有两边及一边的对角相等不能判定两个三角形全等．
4．（2023下·河南平顶山·八年级统考期末）如图，已知点P到，，的距离相等，下列说法：①点P在的平分线上；②点P在的平分线上；③点P在的平分线上；④点P在，，的平分线的交点上，其中正确的是（ ）
A．① B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
【详解】解：∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，①正确．
∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，②正确．
∵点P到，的距离相等，
∴点P在的平分线上，③正确．
∴点P在，，的平分线的交点上，④正确．
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上时解题的关键．
5．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知，如图1，．画一个，使得．在已有的条件下，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
A．甲同学作图判定的依据是
B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．乙同学作图判定的依据是
D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【分析】根据两人作图的过程即可作出判断．
【详解】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，则选项A、B正确；
乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，则判定的依据是，则选项C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂两人作图的步骤及作图原理是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·山西晋中·七年级统考期末）如图，已知，请你添加一个合适的条件，使．你添加的条件是________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】要使，已知，，具备了两组边相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一．
【详解】解：添加条件是，
在和中，
∵，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
7．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，公园里有一座假山，要测量假山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，分别延长、到D、E，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端A、B的距离，则这两个三角形全等的依据是 ．
【答案】
【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等可得两个三角形全等．
【详解】解：根据题意可得：
在和中，
，
，
，
依据是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等解决实际问题．
8．（2023上·山东临沂·八年级校考期末）如图，在中，，的平分线交于，，则点到斜边的距离为________．
【答案】4
【分析】由角平分线的性质可知D到的距离等于，可得出答案．
【详解】解：过D作的垂线交于点E，如图所示：
∵平分，且，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，，，是的平分线，且交的延长线于点E，延长与的延长线相交于点F．若，则线段的长为 ．
【答案】4
【分析】先证明，即可得，进而有，再证明，即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，掌握全等三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
10．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）如图，在中，已知是的高，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离点的方向运动，连接，设运动时间为秒；（1）当为 秒时，的面积为；（2）当为 秒时，．
【答案】 或； 2或4
【分析】（1）根据面积公式列出方程，求出的值，分两种情况分别求出t的值即可；
（2）假设，根据全等三角形的对应边相等得出，分别用含t的代数式表示和，得到关于t的方程，从而求出t的值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
若D在B点右侧，则，
∴ ；
若D在B点左侧，则，
∴；
综上所述：当t为秒或秒时，的面积为；
故答案为：或；
（2）动点E从点C沿射线方向运动2秒或当动点E从点C沿射线的反向延长线方向运动4秒时，．
理由如下：
①当E在射线上时，D必在上，则需．如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴；
②当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，则需．如图，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴．
综上可知，当或时．
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及面积的计算；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质，注意分类讨论．
三、解答题
11．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，在和中，已知，是的平分线．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可推出．
【详解】证明：是的平分线，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
12．（2023上·河南周口·八年级校联考期末）如图，在五边形中，，．
(1)请你添加一个与角有关的条件，使得，并说明理由：
(2)在（1）的条件下，若，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据已知条件，选择SAS原理，可确定添加的角；
（2）利用三角形全等，的度数，可求，问题可解．
【详解】（1）添加一个角方面的条件为，使得．
在和中
∵，，，
∴；
（2）在（1）的条件下∵，
∴，
若，，
则，
∴，
∴，
即的度数为．
【点睛】本题考查了三角形全等，熟练掌握全等三角形判定原理和性质是解题的关键．
13．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期末）如图，四边形中，E是中点，交延长线于点F，此时E也是中点．
(1)判断与的位置关系并说明理由．
(2)若，试说明：．
【答案】(1)，见详解
(2)见解析
【分析】（1）根据题干条件证进而可证明；
（2）根据题干条件证进而可证明；
【详解】（1）解：∵E是AD中点，E也是CF中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
14．（2023下·甘肃兰州·七年级校考期末）已知：在中，平分，平分．
(1)如图，若，，求的度数．
(2)如图，连接，作，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形内角和计算的度数；
（2）作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【详解】（1）解：平分，
，
平分，
，
；
（2）解：作于，于，如图，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，根据性质定理作出垂线是解题的关键．还考查了角平分线的有关计算．
15．（2023下·山东青岛·七年级统考期末）已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是_________．
【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】[发现问题] ；[探究问题]成立，理由见解析
【分析】[发现问题]利用“”证明，根据全等的性质即可得出；
[探究问题]过点P点作于E，于F，根据垂直的定义得到，由（1）可得，利用四边形内角和定理可得到，而，则，然后根据“”可证明，根据全等的性质即可得到．
【详解】解：[发现问题]
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
[探究问题]
点P点作于E，于F，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
由（1）知：，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．
16．（2023下·四川达州·七年级校考期末）已知是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且
(1)若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题．
如图若，，则______，______填“”、“”、“”；
如图，若，则与的关系还成立吗？请说明理由．
(2)如图，若直线经过的外部，，请写出、、三条线段数量关系（不要求说明理由）．
【答案】(1)①；②成立，见解析
(2)
【分析】求出，，根据证，推出，即可；求出，，根据证，推出，即可；
求出，，根据证，推出，即可．
【详解】（1）解：如图中，
点在点的左侧，，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
当在的右侧时，同理可证，
；
故答案为：，；
②当时，中两个结论仍然成立；
证明：如图中，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
当在的右侧时，同理可证，
；
（2）解：．
理由是：如图中，
，，
又，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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