卷子答案网-一个不只有答案的网站高 2025 届 2023－2024 学年（上）12 月名校联考
数学试题参考答案
1—5 CBBAB 6—8 DBD
9．BC 10．ACD 11．BC 12．BCD
2 2
13．（1，0） 14 ． 3 15． = 1 16． 3 2 2
2 4
17 (1) , = 2, = 14, d = 5 ．解： 设等差数列 的公差为 11 5 =-44
所以 = 1 + 1 4 = 4n + 6, n ∈ N
(2) 因为 +2 + +1 +1 + = +2 = 8
所以{an 1 an}是公差为-8 的等差数列
18. 解：(1) 根据题意，显然 a 0，且双曲线C的焦点在 x轴上，
故 a 3 5 a2，即 a2 a 2 0， a 2 a 1 0，
解得 a 2或 a 1，又 a 0，故 a 1；
2
(2) 由(1) y可得双曲线C方程为：x2 1，设其左右焦点分别为 F1,F2 ，故可得F1 2,0 ,F2 2,0 ；不妨3
设点 P在双曲线C的左支上，
由双曲线定义可得： PF2 PF1 2，
2 2 2
又三角形PF1F2为直角三角形，则 PF1 PF2 4 2 PF1 PF2 F1F2 ，
即 PF1 PF2 6
故△PF1F
1
2的面积 S PF1 PF2 3 .2
19．解：(1) 1选①：即点 P到 F的距离等于点 P到 x = 的距离，由抛物线定义可得 2 = 2 .
2
1
选②：过 P作 y轴的垂线，垂足为H，交直线 = 于点 P ，2
设动圆的圆心为 E，半径为 r，则 E到 y轴的距离为 r，
在梯形OFPH中，由中位线性质可得 = 2 1，
2
所以 ' = 2 1 + 1 = 2 ，又 PF 2r PP ，所以 PF ，
2 2
1
由抛物线的定义知，点 P是以 , 0 为焦点的抛物线，
2
所以曲线C的方程为： 2 = 2 .
{#{QQABKQQQggigAgAAABhCAQG6CACQkBGCAAoGgEAMIAAAQBNABAA=}#}
(2) 设M (x1, y1)， N (x2 , y2 )，将 y k(x 2)代入 y2 2x，
消去 y整理得 k 2x2 2(2k 2 1)x 4k 2 0 .
当 4(2k 2 1)2 4k 2 4k 2 0时，
2 2k 2 1
x x 4k
2 2
， x1x2 4 .1 2 k 2 k 2
MN 1 k 2 x x 1 k 2 (x x )21 2 1 2 4x1x2
4k 2 2 2
MN 1 k 2 4 16 2 10
，
k
1 k 2化简得： 16k 2 4 40k 4，解得 k 2 1，
经检验，此时 0，故 k 1 .
20．解：(1) 由题即 的最小值为 1，故 b=1,又 2a=4,a=2,
2
所以椭圆的标准方程为： + 2 = 1
4
(2) ①设直线 l的方程为：x = ty 3, P 1, 1 , 2, 2
x = ty 3,
联立 2 2 2+ 2
得 + 4 6 + 5 = 0，
= 1,
4
由 = 36 2 20 2 + 4 > 0得 2 > 5， 1 +
6 5
2 = 2 ， +4 1 2 = 2+4
∴ = 3 2 , x = t 3 =
12 12 3
+4 2
,M(
+4 2
, )
+4 2+4
MN y = t x + 12 + 3 直线 的方程：
2+4 2+4
令 y=0, x 9 = 2 , ∴ MN = 2 + 1 x 2 x = + 1
12 9 3 2+1
+4 2
+
+4 2
=
+4 2+4
3 3
令 m= 2 3 + 1 > 6 ∴ MN = = 2+3 +3 , y= + 在 单调递增
6， +∞
∴y= + 3 ∈ 3 6， +∞ ，∴ MN ∈ 0 6，
2 3
②若直线 l 倾斜角为 0 时，则直线 l 方程为 y=0，此时 M,N 重合， MN = 0
综上： MN ∈ 0 6，
3
21．解：(1) 设圆心 C（a,0）(a>0),点 C在与切线垂直且过切点的直线：y = 3x + 2 3上
∴C（2,0），半径 r= (2 1)2 + (0 3)2 = 2
2
∴ 圆 C的方程为：（x 2） + 2 = 4
(2) 设M( 1, 1) , N( 2, 2) 直线MN方程为：x = my + 1
{#{QQABKQQQggigAgAAABhCAQG6CACQkBGCAAoGgEAMIAAAQBNABAA=}#}
2
（x 2） + 2联立 = 4得 2 + 1 2 2 3 = 0，
x = my + 1
> 0, + = 2 = 31 2 ， 2+1 1 2 2+1
直线 OM方程为：y = 1 x ，直线 BN方程为：y =
2 ( 4)
1 2 4
y = 1 x
联立 1
y = 2 ( 4)
2 4
3 3
4 1 2 4 1 2+4 2 2 + +1 2 + 2+1 2可得 = = = 4 = 2
+4 3 + 3 + 2 3
=-2
1 2 2 1 1 1 2 1 2 2
2+1 2
∴ 点 G在直线 x = 2上
2
22．解：(1) 2 由题 = 6,c=2得 a = 1, b = 3
2
故双曲线的标准方程为 2 = 1
3
(2) 设 P 1, 1 , Q( 2, 2),易知 PQ斜率不为 0，故设直线 PQ的方程为 x = my + 2
2
2 = 1
联立 3 得 3 2 1 2 + 12 + 9 = 0,
x = my + 2
3 2 1 ≠ 0, = 144 2 36 3 2 1 > 0, + = 12 91 2 3 2 , = 1 1 2 3 2 1
由 PQ直线与双曲线右支交于两点得 m ∈ 3 , 0 ∪ 0, 3
3 3
y = 2 ( ) M( 1 , 2(1 2 1)直线 AQ的方程为 1 所以 )2 1 2 2( 2 1)
法一：
下证明 P,B,M三点共线
2(1 2 1)
1 2( 2 1) 2(1 2 1) = , = 1 = 1 2 2 1 1 2 2 22
即证 1 2 2 1 = 2 1 2 1 ,也即证 3 1 + 2 = 4 1 2
由韦达定理显然成立。
1 1 1 1 1 1
∴ △ = 1 = 2 2 2 2 1
= 1 2 2 2
2 2
∴ = 1 = 1△
2(2 1 1) =1 1
2 2 2 1 2( 1 2 22 1) 2 2
∴ 1 = 1
2
法二：
1 1 1 1 1 1
△ = 2 = 1 2 = 2 2 2 2 2 2
1 2 1
{#{QQABKQQQggigAgAAABhCAQG6CACQkBGCAAoGgEAMIAAAQBNABAA=}#}
= + 2, 1又 2 2 2 1 1 = +
3
2 2 1 2 1
∴ = 1 1 = 1 3 1△ 2 2 1 + 1 = 2 1 +
3 ( 3
2 2 2 2 2 2 1
+ 2) ①2 2
= 1△
1
=
2(2 1 1)
2 1 =
1 11 2 2 2 2( 22 1) 2 2
1 3
又 1= 1 + 2, 1 2 2 = 2 1 + 2 2 2
∴ △ =
1 1 =
3
2 2 2
1 + ②2 2
由①、②结合韦达定理得
∴ 1 = 1
2
{#{QQABKQQQggigAgAAABhCAQG6CACQkBGCAAoGgEAMIAAAQBNABAA=}#}