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南部县重点中学2023-2024学年高二上学期第二次月考 数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.直线 恒过定点 ( )
A. B. C. D.
2.空间四边形 中,（ ）
A. B.
C. D.
3.若圆 与圆关于原点对称, 则圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.在正方体 中,是的中点, 则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5.设 是双曲线上一点, 双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点, 若, 则（ ）
A.1 或 5 B.6 C.7 D.8
6.已知 是双曲线的两个焦点,为上一点, 且, 则的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 若椭圆的中心为原点, 焦点在轴上, 椭圆的面积为, 且离心率为, 则的标准方程为 ( )
A. B.
C. D.
8.过椭圆 右焦点的直线交于两点,为的中点, 且的斜率为, 则椭圆的方程为 ( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设 为不同的直线,为不同的平面, 则下列结论中正确的是（ ）
A.若 , 则
B.若 , 则
C.若 , 则
D.若 , 则
10.椭圆 的离心率为, 短轴长为, 则（ ）
A.椭圆的方程为
B.椭圆与双曲线 的焦点相同
C.椭圆过点
D.直线 与椭圆恒有两个交点
11.已知直线 , 圆, 则下列结论正确的是（ ）
A.直线 恒过定点
B.直线 与圆恒有两个公共点
C.直线 与圆的相交弦长的最大值为
D.当 时, 圆与圆关于直线对称
12.已知曲线 分别为曲线的左、右焦点, 则下列说法正确的是（ ）
A.若 , 则曲线的两条渐近线所成的锐角为
B.若曲线 的离心率, 则
C.若 , 则曲线上不存在点, 使得
D.若 为上一个动点, 则面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知空间向量 , 则___________.
14已知 是直线的方向向量,是平面的法向量, 若, 则___________.
15已知圆 , 点为轴上一个动点, 过点作圆的两条切线, 切点分别为, 则的最小值为__________.
16若坐标原点 和点分别为双曲线的中心和左焦点, 点为双曲线右支上的任意一点, 则的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）已知直线 .
(1) 若 , 求的值;
(2) 若 , 求的值.
18.（本题满分12分）解答下列两个小题：
(1) 双曲线 实轴长为 2 , 且双曲线与椭圆的焦点相同, 求双曲线的标准方程;
(2) 已知双曲线 与双曲线有相同的渐近线, 且经过点, 求双曲线的方程;
19（本题满分12分）如图, 棱长为 2 的正方体 中,是的中点.
(1) 证明: 平面;
(2) 求三棱锥 的体积.
20.（本题满分12分）已知点 动点满足.
(1) 求动点 的轨迹方程;
(2) 若动点 满足, 求动点的轨迹方程;
(3) 过点 的直线交动点的轨迹于, 且, 求直线的方程.
21.（本题满分12分）如图甲所示, 四边形 为正方形,为的中点.将沿直线翻折使得平面, 如图乙所示.
(1) 求证: 平面 平面;
(2) 求平面 与平面所成二面角的正弦值.
22.（本题满分12分）已知椭圆 的长轴长为 4 , 且离心率为.
(1) 求椭圆 的标准方程;
(2) 椭圆 的右顶点为, 若点在椭圆上, 且满足直线与的斜率之积为, 求
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】当 , 即时,,直线恒过定点.故选: D.
2. 【答案】A
【解析】根据向量的加法、减法法则，得.故选 A.
3. 【答案】A
【解析】由于圆 的圆心, 半径为 1,
圆 与圆关于原点对称, 故、半径为 1,
故圆 的方程为:.故选: A.
4. 【答案】B
【解析】以 为原点,为轴,为轴,为轴, 建立空间直角坐标系:
设正方体 中棱长为 2,
则 ,,
设异面直线 与所成角为, 则,
异面直线与所成角的余弦值为.故选: B.
5. 【答案】C
【解析】双曲线 的一条渐近线方程为, 故,
又 是双曲线上一点, 故, 而, 则.
6. 【答案】A
【解析】因为 ,
由双曲线的定义可得 , 所以;
因为 , 由余弦定理可得, 整理可得,
所以 , 即.故选: A.
7. 【答案】C
【解析】由题意可知, 椭圆 的面积为, 且均为正数,
即 , 解得,
因为椭圆 的焦点在轴上, 所以的标准方程为.故选: C.
8. 【答案】A
【解析】依题意, 焦点 , 即椭圆的半焦距, 设,
则有 , 两式相减得:,
而 , 且, 即有,
又直线 的斜率, 因此有, 而, 解得, 经验证符合题意,
所以椭圆 的方程为.故选: .
9. 【答案】BD
【解析】对 A: , 则或与相交或与异面, 故选项A错误;
对 B: 若 , 则, 故选项B正确;
对C：若 , 则或与相交, 故选项C正确;
对D: 若 , 则, 故选项D正确.
故选: BD.
10. 【答案】ACD
【解析】因为椭圆的短轴长为 , 所以有,
而椭圆的离心率为 , 所以, 所以可得:.
A: 因为 , 所以该椭圆的标准方程为:, 因此本选项正确;
B: 由 , 该双曲线的焦点在纵轴上, 而椭圆的焦点在横轴, 所以本选项说法不正确;
C: 因为 , 所以点在该椭圆上, 因此本选项说法正确;
D: 直线 恒过点, 而, 所以点在椭圆内部, 因此直线与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确，
故选：ACD
11. 【答案】ABD
【解析】对于 A 选项, 因为直线 可变形为, 所以直线恒过定点, 故 A 选项正确;
对于 B 选项, 因为 , 所以点在圆内, 故直线与圆相交, 由两个公共点, 故 B 选项正确;
对于 C 选项, 对于圆 , 圆心为, 半径为, 当直线线与圆相交, 故相交弦长的最大值为圆的直径, 即为, 故 C 选项错误;
对于 D 选项，当 时，直线, 故圆的圆心关于对称的点的坐标为,
所以圆 关于对称的圆的方程为, 故 D 选项正确.
故选：ABD.
12. 【答案】ABD
【解析】对于 A 选项, 当 时, 曲线表示焦点在轴上的双曲线,
渐近线方程为,
故渐近线的倾斜角分别为 , 所以曲线的两条渐近线所成的锐角为, 故 A 选项正确;
对于 B 选项, 离心率 , 则曲线为焦点在轴上的双曲线,, 故, 所以, 所以, 故 B 选项正确;
对于 C 选项, 若 , 则曲线表示焦点在轴上的椭圆, 此时,
设椭圆 的短轴的一个顶点坐标为, 则, 故为钝角,
所以线 上存在点, 使得, 故 C 选项错误;
对于 D 选项, 若 , 则曲线表示焦点在轴上的椭圆, 此时为上一个动点,
则 面积的最大值为, 故 D 选项正确.
故选：ABD.
13【解析】【解析】因为 , 所以.故答案为: .
14【答案】6【解析】由 得, 所以, 解得. 所以.
15【答案】.【解析】如图所示：因为 , 所以,因为 , 所以的最小值为.
16【答案】.【解析】由题意得： 是已知双曲线的左焦点,, 即,双曲线方程为,设点 , 则有, 解得,,,,根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增,当时,取得最小值.故答案为: .
17 【解析】
(1) 因为 , 所以, 所以;
(2) 当 或重合时,或,
当 时,,, 此时两直线重合, 不符合;
当 时,,, 此时两直线平行, 满足条件,
所以 .
18 【解析】
(1) 椭圆 的焦点为,
设双曲线 的方程为, 所以, 且,
所以, 双曲线 的方程为;
(2) 解: 在双曲线 中,, 则渐近线方程为,
双曲线与双曲线有相同的渐近线,,
方程可化为,
又双曲线 经过点, 代入方程,
, 解得,
双曲线的方程为.
19 【解析】(1) 连接 交于, 连接, 则为的中位线, 所以,
又 平面,平面,
平面;
(2) 为中点, 则, 又正方体中,到平面的距离为,
.
20 【解析】(1) 设点 , 由题意可得, 即,
化简可得;
(2) 设 , 所以①,
又 , 所以代入①得,,
整理得动点 的轨迹方程为;
(3) 设圆心 到直线的距离为, 则,
当斜率不存在时, 直线 与圆的交点坐标为, 满足, 符合题意;
当直线 的斜率存在时，设直线方程为, 即,,
解得, 所以直线方程为,
故所求直线方程为 或.
21 【解析】(1) 证明: 因为 平面平面, 所以,
又 ,,平面, 所以,
又 平面, 所以平面平面;
(2) 解: 取 的中点为的中点为为等边三角形, 则,
又平面 平面, 平面平面,平面,
所以 平面, 如图建立空间直角坐标系,
设 , 则, 则,
设平面 的法向量为, 则, 令, 则,
所以,
显然平面 的法向量为,
设平面 与平面所成二面角为, 则,
所以 , 即平面与平面所成二面角的正弦值为.
22 【解析】(1) 解: 椭圆 的离心率为, 即, 长轴长为 4,
, 故椭圆的方程为;
(2) 易知直线 与的斜率同号,所以直线不垂直于轴,
故可设 ,
由 可得,,
所以 ,,, 即,
而 , 即,
化简可得 ,
,
, 化简得,
所以 或, 所以直线或,
因为直线 不经过点, 所以直线经过定点,
所以直线 的方程为, 易知, 设定点,
,
因为 , 且, 所以, 所以,
设 , 所以,
当且仅当 , 即时取等号, 即面积的最大值为.
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