直击2024年高考--高三数学秋季期末押题卷（全国版）3(原卷版+解析版)

高三数学秋季期末押题卷（全国版）3 –答案解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知全集，，，则等于(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D;
【解析】 解：因为全集，，，
所以，，
则．
故选：．
2、已知复数满足(其中为虚数单位)，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B;
【解析】 解：，，，
则．
故选：B．
3、“，”为真命题的充分必要条件是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B;
【解析】 解：，，，，
，，
，
“，”““，
“”“，”，
“，”为真命题的充分必要条件是．
故选：．
4、已知向量，满足，，，则与的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C;
【解析】 解：由，，，
得，
解得，
又，
所以，
即与的夹角为．
故选：．
5、已知，，则实数，，的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A;
【解析】 解：因为，所以，
又因为，
则实数，，的大小关系是．
故选：．
6、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C;
【解析】 解：根据题意，分种情况讨论：
如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的种中任意选，此时的选法有种；
如果同学甲选羊，那么同学乙只能选兔、狗和牛中的一种，丙同学可以从剩下的种中任意选，此时的选法有种；
如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的种中任意选，此时的选法有种，
则不同的选法共有种，
而总数有种，
故让三位同学选取的礼物都满意的概率是．
故选：．
7、已知双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 解：由右焦点为，点的坐标为，得，，由的周长的最小值为， 可得的最小值为，
设为双曲线的左焦点，连接，如图所示，则，
当，，三点共线时，取得最小值，为，
即有，即，又，
可得．
故选：．
8、对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中．若，且，则数列的通项公式为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B;
【解析】 解：根据题中定义，可得，
即，即，
等式两边同时除以，得，
，又，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，．
故选：．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知点是直线：上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 A;C;
【解析】 解：设点的坐标为，当、均为圆的切线时，，
此时四边形为正方形，则，即，
解得或，
故或，
故选：．
10、已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题错误的是(　　)
A.
B. 函数在定义域上是周期为的函数
C. 直线与函数的图象有个交点
D. 函数的值域为
【答案】 B;C;D;
【解析】 解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，有，则，即有，
又当时，，则，
故，
故，，
又为奇函数，则，
故，正确；
对于，函数在定义域上不是周期为的函数，错误；
对于，直线与函数的图象有个交点，即，错误；
对于，函数的值域为，错误．
故选：．
11、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生可能有（ ）人
附表：
附：
A. B. C. D.
【答案】 B;C;D;
【解析】 解：设男生可能有人，依题意可得列联表如下；
若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则，
由，解得，
由题意知，且是的整数倍，所以，和都满足题意．
故选：．
12、已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 A;B;C;
【解析】 解：如图，，直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，得，
解得：，，
由，得，
抛物线的方程为．
，则；
又，，
，则为中点，
结论正确的是，，．
故选：．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、随机变量的取值为、、，，，则 ．
【答案】 1;
【解析】 解：随机变量的取值为、、，，，
设，则，，
则，
，
整理得，
解得或（舍），
．
故答案为：．
14、已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为 ．
【答案】 ;
【解析】 解：由题意知，在函数中，，，
，，
，
又的图象关于直线对称，
，，解得，，
，
，
，
，，可得，
．
故答案为：．
15、在的展开式中，常数项为 ；系数最大的项是 ．
【答案】 ;;
【解析】 解：展开式的通项公式为，令，则，
，故展开式的常数项为．
若设第项的系数最大，则有．
解得，，，，
系数最大的项为．
故答案为：，．
16、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于 ．
【答案】 ;
【解析】 解：鳖臑可以看成如图所示的长方体的一部分，
则长方体的外接球即为鳖臑的外接球，
又鳖臑的外接球的体积为，
鳖臑的外接球的半径为，
，，
阳马可以看成如图所示的长方体的一部分，
则长方体的外接球即为阳马的外接球，
阳马的外接球的半径为，
阳马的外接球的表面积为，
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、已知数列的前项和为，且，．
(1) 求数列的通项公式．
【答案】 数列的通项公式为．
【解析】 解：，，
当时，，解得，
当时，，又，
两式相减可得，
化简为，
由可得，
则．
(2) 若，求数列的前项和．
【答案】 数列的前项和．
【解析】 由，
则，
可得
．
18、已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．
(1) 满足有解三角形的序号组合有哪些？
【答案】 满足有解三角形的序号组合有：①③④，②③④．
【解析】 解：①，化为．由，可得．
②，化为，，解得，
可得①②不能同时出现作为条件，
满足有解三角形的序号组合有：①③④，②③④．
(2) 在所有组合中任选一组，并求对应的面积．
(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)
【答案】 取②③④，对应的面积为．
【解析】 取②③④．
由正弦定理可得，解得，，，
，的面积．
19、如图，在边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图．
(1) 求证：．
【答案】 见解析
【解析】 证明：折叠前，，，
折叠后，，
又，
所以平面，
因为平面，所以．
(2) 求二面角最小时的余弦值．
【答案】 二面角最小时的余弦值为．
【解析】 解：作交于点，连接，
，为二面角的平面角，
令，，则，
由题意得，，
，
二面角最小时的余弦值为．
20、顺次连接椭圆:的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
(1) 求椭圆的标准方程．
【答案】 椭圆的标准方程为．
【解析】 解：由题意知：，，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
(2) 设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值．
【答案】 面积最大值为．
【解析】 显然切线的斜率存在且不为，设直线：，
联立方程组，消去，整理得，且，
得，所以，
联立，得，
所以，
则，
，
当且仅当时，等号成立，
故面积最大值为．
21、已知函数(为常数)．
(1) 若在处的切线与直线垂直，求的值．
【答案】 的值为．
【解析】 解：由题意知，，则，
由于函数的图象在处的切线与直线垂直，
则，，因此．
(2) 若，讨论函数的单调性．
【答案】 见解析
【解析】 ，则．①若时，，
当或时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减；
②若时，，对，恒成立，在上单调递增；
③若时，，当或时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减．
(3) 若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值．
【答案】 的值为．
【解析】 为正整数，若，则，即，
由知在和上单调递增，在上单调递减，
又，在区间内仅有个实根，，
又，在区间内仅有个实根，
此时在区间内恰有个实根；
若，在上单调递增，至多有个实根；
若，，
令，则，，，
．
由知在上单调递减，在和上单调递增，
，在上至多有个实根．
综上，．
22、某公司为了了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令，(,2，，)，经计算得如下数据：
附：①相关系数，
回归直线中，，；
②参考数据：，，．
(1) 请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
【答案】 从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．
【解析】 解：由题意，，
，
所以，从相关系数的角度，模型的拟合程度更好．
(2) 根据的选择及表中数据，建立关于的回归方程；
若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
【答案】 ；预测下一年的研发资金投入量约是亿元．
【解析】 先建立关于的线性回归方程，
由，得，即．
由于，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则；
下一年销售额需达到亿元，即，
代入，得，
又，所以，
所以，
所以预测下一年的研发资金投入量大约是亿元．
第1页， 共16页高三数学秋季期末押题卷（全国版）3
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知全集，，，则等于(　　)
A. B.
C. D.
2、已知复数满足(其中为虚数单位)，则(　　)
A. B. C. D.
3、“，”为真命题的充分必要条件是(　　)
A. B. C. D.
4、已知向量，满足，，，则与的夹角为(　　)
A. B. C. D.
5、已知，，则实数，，的大小关系是(　　)
A. B. C. D.
6、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是(　　)
A. B. C. D.
7、已知双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
8、对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中．若，且，则数列的通项公式为(　　)
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知点是直线：上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）．
A. B. C. D.
10、已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题错误的是(　　)
A. B. 函数在定义域上是周期为的函数
C. 直线与函数的图象有个交点 D. 函数的值域为
11、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生可能有（ ）人
附表：
附：
A. B. C. D.
12、已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、随机变量的取值为、、，，，则 ．
14、已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为 ．
15、在的展开式中，常数项为 ；系数最大的项是 ．
16、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、已知数列的前项和为，且，．
(1) 求数列的通项公式．
(2) 若，求数列的前项和．
18、已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．
(1) 满足有解三角形的序号组合有哪些？
(2) 在所有组合中任选一组，并求对应的面积．
(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)
19、如图，在边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图．
(1) 求证：．
(2) 求二面角最小时的余弦值．
20、顺次连接椭圆:的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
(1) 求椭圆的标准方程．
(2) 设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值．
21、已知函数(为常数)．
(1) 若在处的切线与直线垂直，求的值．
(2) 若，讨论函数的单调性．
(3) 若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值．
22、某公司为了了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响．对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令，(,2，，)，经计算得如下数据：
附：①相关系数，
回归直线中，，；
②参考数据：，，．
(1) 请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2) 根据的选择及表中数据，建立关于的回归方程；
若下一年销售额需达到亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？
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