卷子答案网-一个不只有答案的网站将乐重点中学2023—2024学年高二上第三次月考
数 学 试 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）在等差数列中，，则
A．5 B．6 C．8 D．9
2.（ ）已知两条直线，，若，则a＝
A． 1 B．1或2 C．3 D．1或3
3．（ ）直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为：
A． B．
C． D．
4．（ ）若数列满足，且，则：
A． B． C． D．
5.（ ）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是：
A. B. C. D.
6．（ ）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则：
A．2 B． C．5 D．
7.（ ）若为圆上任意两点，为直线上一 个 动点， 则的最大值是：
A. B. C. D.
8．（ ）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为：
A． B．3 C． D．6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．（ ）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
10.（ ）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，则下列选项正确的有
A.数列{an}是单调递增数列 B.当n＝10时，Sn最大
C.S19·S20<0 D.S20·S21<0
11.（ ）已知正方体的棱长为为的中点，为平面内一动点，则下列命题正确的有
A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
B.若与平面所成的角为，则的轨迹为圆
C.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
12.（ ）已知椭圆C：＋＝1的离心率为，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，△F1PF2的周长为14，则下列选项正确的有
A.椭圆C的方程为＋＝1 B.·≤16
C.△F1PF2内切圆的面积S的最大值为π D.cos∠F1PF2≥－
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的方程是，则它的焦点坐标为____________.
14．等差数列的前项和为，若，，则 .
15．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于 .
16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8＝6，S21＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an 与Sn； (2)求数列的前50项和T50.
18．(本小题满分12分)已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求定点的坐标与圆的方程；
(2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.
19.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时， .
（1）求抛物线的标准方程.
（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)当时，求二面角的余弦值．
21．(本小题满分12分)已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
22.(本小题满分12分)已知一动圆与圆E：(x＋3)2＋y2＝18外切，与圆F：(x－3)2＋y2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程．
(2)已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点P)，记直线PA和直线PB的斜率分别为k1，k2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①P； ②k1＋k2＝0； ③k＝－.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）在等差数列中，，则
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】直接利用等差数列的性质求解即可
【详解】因为是和的等差中项，所以，即，.
故选： A
2.（ ）已知两条直线，，若，则a＝
A． 1 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】C
【解析】∵，∴或
故选：C
3．（ ）直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为：
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：A.
4．（ ）若数列满足，且，则：
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据题干中的递推公式进行逐项代入，即可判别出数列为周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出的值．
【详解】数列满足，且，，
，，，
则数列是以4为最小正周期的周期数列，即，
∴.
故选：B
5.（ ）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是：
A. B. C. D.
5.【答案】D
【详解】依题椭圆的焦点（即：双曲线的焦点）为，
所以可设椭圆方程为：
∴依题得：
∴椭圆方程为：
故选：D
6．（ ）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则：
A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由题意作出垂直于准线，然后得，得，写出直线方程，联立方程组，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，代入焦点弦公式计算.
【解析】如图，过点作垂直于准线，由抛物线定义得.
因为是的中点，所以，所以，焦点，
则直线的方程为，联立
消去得.设，
所以，得，
故选：D.
7.（ ）若为圆上任意两点，为直线上一 个 动点， 则的最大值是：
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由图上易知，当不动时，为两切线角最大，再将的最值问题转化为的最值问题可求.
【详解】
如图，为两切线，为直线上一个点，
所以当为两切线是取等号；
又，故只需求，
，又，
故选：B
8．（ ）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为：
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】根据等方差数列的定义，结合等差数列的通项公式，运用裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为是方公差为4的等方差数列，所以，，
∴，∴，
∴
，
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．（ ）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】AC
【分析】由给定条件求出，的坐标，借助向量共线的坐标表示即可判断A，B，再求出的坐标，用向量夹角公式计算可判断C，最后求出平面的一个法向量判断D而得解.
【详解】依题意，不存在实数，使得成立，即与不共线，A不正确；
与同方向的单位向量是，B正确；
，则与夹角的余弦值是，C不正确；
设平面的一个法向量，则，令，则，即，D正确.
故选：AC
10.（ ）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a9＋a10＋a11>0，a9＋a12<0，则下列选项正确的有
A.数列{an}是单调递增数列 B.当n＝10时，Sn最大
C.S19·S20<0 D.S20·S21<0
【答案】BC
【解析】设{an}的公差为d.因为a9＋a10＋a11＝3a10>0，所以a10>0.
又a9＋a12＝a10＋a11<0，所以a11＝a10＋d<0，故d<0，所以A错误；
因为d<0，所以a1>a2>a3>a4>a5>a6>a7>a8>a9>a10>0>a11>…>an，
所以当n＝10时，Sn最大，所以B正确；
因为S19＝＝>0，S20＝＝<0，
S21＝＝<0，
所以C正确，D错误．
11.（ ）已知正方体的棱长为为的中点，为平面内一动点，则下列命题正确的有
A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
B.若与平面所成的角为，则的轨迹为圆
C.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
【答案】BCD
【分析】设MN中点为H，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆可判断A；根据已知算出DN，可判断B；根据抛物线定义可判断C；以DA DC 所在直线分别为x轴 y轴 z轴，利用向量的夹角公式计算可判断D.
【详解】对于A，设MN中点为H，DM中点为Q，连接HQ，则，且，
如图，若，则所以，，则，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A错误；
对于B，，，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故B正确；
对于C，点N到直线的距离为BN，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，且B点不在直线DC上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；
对于D，如图，以DA DC 所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立空间直角坐标系，设，，，，
所以，，，
化简得，即，所以的轨迹为双曲线，故D正确；
故选：BCD.
12.（ ）已知椭圆C：＋＝1的离心率为，F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，△F1PF2的周长为14，则下列选项正确的有
A.椭圆C的方程为＋＝1 B.·≤16
C.△F1PF2内切圆的面积S的最大值为π D.cos∠F1PF2≥－
【答案】ABD
【解析】设焦距为2c，由题意，得＝，△F1PF2的周长为＋＋＝2a＋2c＝14，解得a＝4，c＝3.又a2＝b2＋c2，所以b＝，故椭圆C的方程为＋＝1，所以A正确；
因为＋＝2a＝8，所以8＝＋≥2，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等号成立，所以·≤16，所以B正确；
设△F1PF2内切圆的半径为r，则S△F1PF2＝＝r，
所以r＝.又≤，所以r≤，所以S≤，所以C错误；
因为cos∠F1PF2＝
＝＝－1＋.
又·≤16，所以－1＋≥－，所以D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知抛物线的方程是，则它的焦点坐标为____________.
【答案】
【详解】抛物线的方程化为标准形：的 ∴其焦点坐标为.
14．等差数列的前项和为，若，，则 .
【答案】30
【详解】因为 为等差数列的前n项和，且，，
所以成等差数列，
而，∴
∴.
15．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，则点C到平面的距离等于 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离.
【解析】
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
，即，取，又，
所以点到面的距离，
故答案为：.
16．已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________.
【答案】
【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.
【详解】
设过的两条直线与圆分别切于点，
由两条切线相互垂直，知：，
又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，
所以，即得，所以，
所以椭圆C1的离心率，又，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8＝6，S21＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an 与Sn； (2)求数列的前50项和T50.
17.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S21＝21a1＋d＝0，……………….………………………………………………1分
得a1＋10d＝0
又a8＝a1＋7d＝6， ……………….………………………………………………2分
所以d＝－2，a1＝20， ………………………………………………………………3分
所以an＝20＋×＝－2n＋22.…………………………………………………4分
Sn= ……………………………………5分
(2)由an＝－2n＋22≥0，解得n≤11，
所以数列＝………………………………………………………………6分
故T50＝a1＋a2＋…＋a11－a12－a13－…－a50………………………………………………7分
＝－＋2
＝－S50＋2S11…………………………………………………………………………………9分
＝
＝1450＋220＝1670.………………………………………………………………………10分
18．(本小题满分12分)已知直线恒过定点，圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求定点的坐标与圆的方程；
(2)过的直线被圆截得的弦长为8，求直线方程.
【答案】(1)， (2)或
【分析】（1）直线变形为，列出方程组，求出定点的坐标，设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出，从而确定圆心和半径，写出圆的方程；
（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合垂径定理，求出直线方程.
【详解】（1）变形为，
令，解得：，
故定点的坐标为， ………………………………………………2分
由圆心在直线上可设圆心坐标为，……………………………3分
则，即，………………………………………………4分
解得：， ………………………………………………………………5分
故圆心坐标为，半径为，
故圆的方程为；………………………………………………6分
（2）当直线斜率不存在时，直线为，
此时圆心到的距离为，
由垂径定理得：弦长为，满足要求，……………………………………7分
当直线斜率存在时，设直线为，
圆心到直线即距离为，…………………8分
由垂径定理得：，…………………………………………………10分
解得：， ………………………………………………………………11分
故直线方程为：即
综上：直线方程为或…………………………………………12分
19.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时， .
（1）求抛物线的标准方程.
（2）若直线与抛物线交于两点，求的面积.
19（1）解：当轴时，，所以 ………………...........................3分
故抛物线的标准方程为 ……………….................................................4分
（2）解：设，，由（1）可知 .………………............................5分
由，消去得， ………………..........................................6分
则，， ………………...................................................7分
所以， ……………….....................8分
又，，所以， ……………… ....................................9分
故…………………………………10分
因为点到直线的距离， ……………….........................11分
所以的面积为 …………............................... 12分
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)当时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直；
（2）解法一：以C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【解析】（1）因为底面，平面，
所以． ………………………………………………………………1分
因为，，所以．
所以，所以 …………………………………………3分
又因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．………………………………………………………………4分
又平面EAC，
所以平面平面PBC．………………………………………………………5分
（2）解法一：
以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，． ……………………6分
设点E的坐标为，因为，所以，
即，，，所以．……………………………………………7分
所以，．
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以， ………………………………………………………………8分
取，则，．
所以平面ACE的一个法向量为．……………………………………………9分
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为． ………………10分
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．……………………………………12分
解法二：
取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则，，，．………………………6分
设点E的坐标为，因为，所以，
即，，，所以．………………………………………………7分
所以，．
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以， ………………………………………………………………8分
取，则，．
所以，平面ACE的一个法向量为．………………………………………9分
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．………………10分
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为……………………………………12分
21．(本小题满分12分)已知数列的前n项和为，且有，数列满足，且，前9项和为153.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.
【答案】(1)， (2)8
【分析】（1）根据计算出的通项公式，再判断出为等差数列，根据，前9项和，得到公差，求出通项公式；
（2）裂项求和得到，由得到单调递增，故，进而得到不等式，求出的最大正整数k的值.
【详解】（1），故当时，；
当时，，满足上式，
.………………………………………………………………2分
（没有验证n=1,扣1分）
又，∴，
数列为等差数列，令其前n项和为，
∴，
∵， ∴，
∴公差， ……………………………………………………………4分
…………………………………………………………5分
（2）由（1）知：，
故， ………………………………………………………………7分
.………………………………………………………………9分
又，
单调递增，故.…………………………………………………………11分
由题意可知；得：，
∴最大正整数k的值为8 …………………………………………………………12分
22.(本小题满分12分)已知一动圆与圆E：(x＋3)2＋y2＝18外切，与圆F：(x－3)2＋y2＝2内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程．
(2)已知点P在曲线C上，斜率为k的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点P)，记直线PA和直线PB的斜率分别为k1，k2，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①P； ②k1＋k2＝0； ③k＝－.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【详解】(1)设动圆的圆心为M，半径为r，则＝r＋3，＝r－，
所以－＝4<＝6.……………………………………………………………2分
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，
所以曲线C的方程为－y2＝1，x≥2.…………………………………………………4分
(没有注明范围扣1分)
(2)选择①② ③：
设直线l：y＝kx＋m，A，B，
联立得x2－16mkx－8m2－8＝0，…………………………………5分
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.……………………………………………………6分
因为P(4，1)，k1＋k2＝0，所以＋＝0，
即＋＝0， ………………………………………7分
即2kx1x2＋－8＝0，
所以2k×＋－8＝0，………………………………8分
化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，
所以k＝－或m＝1－4k.…………………………………………………………………10分
当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，与题意不符，舍去，
故k＝－，所以③成立. ……………………………………………………………………12分
选择①③ ②：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，
联立得x2－8mx＋8m2＋8＝0，……………………………………………5分
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，…………………………………………………………6分
所以k1＋k2＝＋……………………………………………………………………7分
＝＋………………………………………………………………8分
＝－1＋＋
＝－1＋…………………………………………………………………10分
＝－1＋＝0，
所以②成立.…………………………………………………………………………………12分
选择②③ ①：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，
联立得x2－8mx＋8m2＋8＝0，……………………………………………5分
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8.……………………………………………………………6分
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，…………………………7分
得＋＝0，
即－x1x2＋－2x0＝0，………………………………………8分
所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，
故2m＋2x0y0－8＝0，……………………………………………………………9分
所以………………………………………………………………………10分
又x0>0，解得所以P，①成立.……………………………………………12分
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