卷子答案网-一个不只有答案的网站鹤壁市高中2025届高二上学期第三次段考·数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知等比数列，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与直线，若，则( )
A. B. C. 或 D.
5.直线与曲线的交点个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.已知，分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点， ，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多项符合题目要求）
9.已知空间向量，，下列说法正确的是( )
A. B. 在方向上的投影向量为
C. D. 在方向上的投影数量为
10.已知实数，满足方程，则下列说法错误的是( )
A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知数列满足，，则( )
A. B.
C. D.
12.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是( )
A. 椭圆的离心率为
B. 面积的最大值为
C. 到的左焦点的距离的最小值为
D. 若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知空间中单位向量，且，则的值为 ．
14.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的倍，则直线的方程为 ．
15.已知双曲线，且，，依次成公比为的等比数列，则过焦点与相交所得弦长为的直线有 条.
16.过抛物线上任意一点作轴的垂线，垂足为，动点在直线上，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余题12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求适合下列条件的曲线的标准方程：
焦点在轴上，长轴长等于，离心率等于的椭圆标准方程；
经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．
18.本小题分
已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上
求圆的方程；
已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
19.本小题分
已知四棱锥中，平面，，，，为中点．
求证：平面
设平面与平面的夹角为，求三棱锥的体积．
20.本小题分
记是等差数列的前项和，若，．
求的通项公式，并求的最小值；
设，求数列的前项和．
21.本小题分
已知数列的前项和为，，为常数．
若，求的通项公式
若，设数列的前项和为，求证：，．
22.本小题分
已知点，分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．
求双曲线的方程
若直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，为坐标原点若，求实数的取值范围．鹤壁市高中2025届高二上学期第三次段考·数学答案
一、单选题
1.B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D
5.解：因为 ，
所以或 ，
联立 ，解得 ，
此时不满足，故舍去，
联立 ，解得 或 ，
经检验，都符合题意，
所以直线 与曲线 的交点个数为个．故选：．
7.解：设，则，是定义在上的奇函数，
．由，且，得，
，．数列是以为周期的周期数列，
则．．故选：．
8.解：过，两点分别作准线：的垂线，垂足分别为，，易知∽，所以，由抛物线定义得，因为，所以，设，因为，所以，，不妨取，又直线过点，所以，所以直线的方程为，将代入上式得，，解得或，设，则，，所以，所以，故选D．
二、多选题
9.ABD 10.AB 11.AD 12.ACD
9.解：因为，所以，故A正确；
又，所以在方向上的投影向量为：
，故B正确；
因为，所以与不平行，故C错误；
在方向上的投影数量为，故D正确．故选ABD．
10.解：实数，满足方程，所以把看作是以为圆心，以为半径的圆；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，于是弦长，故A错误；
B.原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，所以的最大值为，故B错误．
令，，则两条直线都与圆有公共点，所以，，
解得，，所以的最大值为，的最大值为．
故CD正确；故选AB．
11.解：数列满足，，
所以时，，此时，故B错误；
，，
，化为：．当时，．．
，，故可知．故选AD．
12.解：对于，依题意，过椭圆 的上顶点作 轴的垂线，过椭圆 的右顶点作 轴的垂线，则这两条垂线的交点在 上，
，得 ，
椭圆 的离心率 ，故A正确；
对于，点 ， ， 都在 上，且 ，
为 的直径，
，
面积的最大值为 ，故B错误；
对于，设 ， 的左焦点为 ，连接 ，
，
，
又 ，
，则 到 的左焦点的距离的最小值为 ，故C正确；
对于，由直线 经过坐标原点，易得点 ， 关于原点对称，
设 ， ，则 ，又 ， ，
又 两式相减得 ，
，
又 ，
，故D正确．
三、填空题
13. 14.或 15. 16.
16.解：由题设得，，的最小值为到直线的距离，
，则的最小值为故答案为．
四：解答题
17.解：长轴长等于，离心率等于，
，，，
焦点在轴上，
椭圆标准方程；………………………………………………………………5
设双曲线方程为，
代入点，得，
双曲线方程为．……………………………………………………10
18.解：因为圆心在直线上，可设圆心为
则点到直线的距离
据题意，，则，
解得 ………………………………………………………………………………3
所以圆心为，半径，
则所求圆的方程是 …………………………………………6
直线被圆截得的弦长为，则，
即圆心到直线的距离为，
直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意；………………………………7
直线斜率存在时，设直线方程为，
圆心到直线的距离，，
直线方程为……………………………………………………10
综上所述，直线方程为或 ………………………………12
19.证明：取中点，连，，
是中点，且，
又且，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面．……………………………………………………………………5
解：取中点，连，过作交于，连．
，分别是，中点，，又平面，
平面，又平面，
，
又，，，平面，
平面，又平面，
，
是平面与平面的夹角的平面角，
，……………………………………………………………………………………7
，，，，，
，，………………………………10
．……………………………………12
20.解：设的公差为，则，，
，，．………………………………………3
由得，
，，，时，时，，
的最小值为．…………………………………………………………5
由知，当时，
时，，…………………………………………………………………………6
，…………………………………………………… 8
当时，．……………………………………………………9
当时，，…………………………………………10
．…………………………………………………12
21.解：当时，，，
又因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，…………………………………3
所以，所以；……………………………………………………4
当时，，则，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，……………………………………………………………………………6
则，………………………………………………………………7
所以，
当时，，…………………………………………………………9
所以当时，
，………………………………………………………………………………11
当时，，
综上，．……………………………………………………………………12
22解：1如图，，，
由已知，，
则，解得，
所以双曲线的方程为．…………………………………………………… 4
2 设，，
则 ……………………………………………… 5
所以
则，且…………………………………………………………………… 6
且
所以
，………………………………………………………………………………7
点到直线的距离，
，……………………………………………………8
设，，
由得，同理可得，
所以，
点到直线的距离为，
，………………………………………………………………9
所以，………………………………………………………………10
令，
则，
令，
则，
故的取值范围是 …………………………………………………………12
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