第4章 因式分解
4.3 用乘法公式分解因式
第1课时 用平方差公式分解因式
基础过关全练
知识点1 用平方差公式分解因式
1.(2023浙江杭州中考)分解因式:4a2-1=( )
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
2.【一题多变·利用平方差公式因式分解】(2023浙江宁波中考)分解因式:x2-y2= .
[变式·整体思想的运用]
(1)(2022浙江宁波十五中模拟)分解因式:
(a+b)2-9b2= ;
(2)(2023浙江温州龙湾模拟)分解因式:(y+2x)2-(x+2y)2= .
3.【易错题】(2022浙江杭州西湖期中)若两个多项式有公因式,则称这两个多项式为关联多项式,若x2-25与(x+b)2为关联多项式,则b的值为 .
4.(2022四川广安中考)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为 .
5.分解因式:
(1)9a2-4c2;(2)4x2-100y2;
(3)4(2x+y)2-9(x+2y)2;(4)x4-16y4.
知识点2 简便运算
6.计算:5212-5202-521=( )
A.-520 B.520 C.1 040 D.-1 040
能力提升全练
7.下列式子:①x2+y2;②x2-y2;③-x2+y2;④-x2-y2;⑤1-a2b2;⑥x2+4.其中能用平方差公式分解因式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.分解因式:x2(a-b)+9y2(b-a)= .
9.【一题多解】分解因式:a3-a2-a+1= .
10.(2022浙江杭州拱墅期末,22,★★☆)将一个多项式分组后,再用提取公因式法或乘法公式分解因式的方法是分组分解法,例如:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n).
(1)因式分解:①x2-y2+x+y;②ab-a-b+1.
(2)若a,b都是正整数且满足ab-a-b-6=0,求2a+b的值.
素养探究全练
11.【运算能力】【新考向·代数推理】对于任意一个四位正整数,我们可以记为,即=1 000a+100b+10c+d.若规定:对四位正整数进行F运算,得到整数F()=a4+b3+c2+d1.例如,F(1 049)=14+03+42+91=26.
(1)计算:F(2 023);
(2)当c=e+4时,证明:F()-F()的结果一定是8的倍数.
答案全解全析
基础过关全练
1.A 4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A.
2.答案 (x+y)(x-y)
[变式]答案 (1)(a-2b)(a+4b)
(2)3(x+y)(x-y)
解析 (1)原式=(a+b-3b)(a+b+3b)=(a-2b)(a+4b).
(2)原式=(y+2x+x+2y)(y+2x-x-2y)=3(x+y)(x-y).
3.答案 ±5
解析 x2-25=(x+5)(x-5),
∵x2-25与(x+b)2为关联多项式,∴b=±5.
4.答案 10
解析 a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9,
∵a+b=1,∴原式=a-b+2b+9=a+b+9=10.
5.解析 (1)原式=(3a+2c)(3a-2c).
(2)原式=4(x2-25y2)=4(x+5y)(x-5y).
(3)原式=[2(2x+y)]2-[3(x+2y)]2
=(4x+2y)2-(3x+6y)2
=(4x+2y+3x+6y)(4x+2y-3x-6y)
=(7x+8y)(x-4y).
(4)原式=
=.
6.B 原式=(521+520)×(521-520)-521=521+520-521=520.故选B.
能力提升全练
7.B ②x2-y2,③-x2+y2,⑤1-a2b2能用平方差公式分解因式,故能用平方差公式分解因式的有3个.故选B.
8.答案 (a-b)(x+3y)(x-3y)
解析 原式=x2(a-b)-9y2(a-b)=(a-b)(x2-9y2)=(a-b)(x+3y)(x-3y).
9.答案 (a+1)(a-1)2
解析 解法一:原式=(a3-a2)-(a-1)=a2(a-1)-(a-1)=(a-1)(a2-1)=(a-1)(a+1)(a-1)=(a+1)(a-1)2.
解法二:原式=(a3-a)-(a2-1)=a(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a-1)=(a+1)(a-1)(a-1)=(a+1)(a-1)2.
10.解析 (1)①原式=(x2-y2)+(x+y)
=(x+y)(x-y)+(x+y)=(x+y)(x-y+1).
②原式=(ab-a)+(-b+1)
=a(b-1)-(b-1)=(b-1)(a-1).
(2)∵ab-a-b-6=0,∴ab-a-b+1-1-6=0,
∴(ab-a)+(-b+1)+(-1-6)=0,
∴a(b-1)-(b-1)-7=0,∴(b-1)(a-1)=7,
∵a,b都是正整数,
∴a-1,b-1都是非负整数,
∴或解得或
当时,2a+b=12;当时,2a+b=18.
综上,2a+b=12或18.
素养探究全练
11.解析 (1)F(2 023)=24+03+22+31=16+0+4+3=23.
(2)证明:∵c=e+4,
∴F()-F()=(a4+b3+c2+d1)-(a4+b3+e2+d1)=c2-e2=(e+4)2-e2=(e+4+e)(e+4-e)=8(e+2).∴F()-F()的结果一定是8的倍数.
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