卷子答案网-一个不只有答案的网站专题01 平面直角坐标系中两点距离的表达
积累一：如下左图，位于x轴上两点间的距离可表示为两点横坐标差的绝对值，或者用右边点的横坐标减去左边点的横坐标。
或
积累二：如上右图，位于与x轴平行的直线上两点间的距离，由于纵坐标相等，也可表示为两点横坐标差的绝对值，或者用右边点的横坐标减去左边点的横坐标。
或
【注意】在具体的题目中，如若无法确定两点的左右位置，则需要进行分类讨论，或者用绝对值进行表示。
积累三：如下左图，位于y轴上两点，由于横坐标相同，因此两点间的距离可表示为两点纵坐标差的绝对值，或者用上方的点的纵坐标减去下方点的纵坐标。
或
积累四：如上右图，位于与y轴平行的直线上两点间的距离，由于横坐标相同，也可表示为两点纵坐标差的绝对值，或者用上方的点的纵坐标减去下方点的纵坐标。
或
【注意】1.在具体的题目中，如若无法确定两点的左右位置，则需要进行分类讨论，或者用绝对值进行表示。
2.与坐标轴平行的线段长度的表示，是平面直角坐标系中最简单的线段长度表示方法，对于平面直角坐标系中任意两点间的线段长度，通常可以利用几何图形的性质将其转化为与坐标轴平行的类型来解答。
积累五：如下左图，坐标系中任意两点间的距离的表示，分别过A、B点作坐标轴的垂线，相交于点C，所以C点的坐标为，所以，，根据勾股定理可得：
；
（两点距离公式）
积累六：平面直角坐标系中任意两点的距离都可以用两点距离公式求出，因此两点距离公式是普遍适用的，其缺点就是计算量过大，比较繁琐，在具体的题目中，当需要用坐标表示线段长度时，如果是平行于坐标轴的线段，则直接用横坐标或纵坐标的差的绝对值表示即可；如果线段不平行于坐标轴的线段长度的表示除了用两点距离公式外，还可以用转化的方式，即利用几何图形的性质将所求线段转化到与坐标轴平行的相等线段上。如上右图，已知，，如若要用坐标表示AB的长度，两点距离公式表示：
，但也可以用AC的坐标表示来表示AB的长度，即。这样就使得AB线段的坐标表示变得极为简单。这种方法在中考压轴题中是常用的方法，希望考生们能够重视。
例题1：如图，已知中，BC//x轴，AD是BC边上的高，，，。
（1）求AD的长。
（2）求AB的长。
【解析】（1）
（2）。
例题2：如图，已知的三个顶点坐标分别为，，。AC交x轴与点D。
（1）求BD的长度。
（2）求AC边上的高的长度。
【思路分析】（1）要求BD的长，只需知道D点的坐标。
（2）要求AC边上的高，通过观察，AC边上的高既不平行于x轴，也不平行于y轴，如果直接求解则比较复杂，此题可以采用等积法，列出方程进而求出AC边上的高。
【解析】（1）设AC的解析式为：；
将和代入得：
，解得；
所以AC的解析式为：；
令，，
（2）过点B做AC的垂线，垂足为点G；过A做AE垂直于x轴于点E，过点C做CF垂直于x轴于点F。
，
又，，，
例题3：（2023·北京·北京四中校考模拟）已知二次函数的图象过点
(1)求证：；
(2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若二次函数的图象与x轴交于点、，，求b的值．
【思路分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明；
（2）令得到一元二次方程：，再利用（1）题结论求得方程的即可确定二次函数与x轴的交点个数；
（3）由可得，两边平方可得，再化为，在一元二次方程中利用根与系数关系可得和的表达式，然后再代入解方程便可求得b值；
【详解】（1）证明：将点代入可得：，
整理得：；
（2）证明：令可得一元二次方程：，
此方程，
由可得，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在一元二次方程中，由根与系数关系可得：
，，
∵，
∴，
代入可得：，
整理得：，
解得：，；
1．（2022·北京海淀·校考模拟）已知二次函数的图像经过点．
(1)用含的代数式表示______；
(2)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解；
（2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题意可得关于a的方程，解方程即可求得a的值；
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）得二次函数解析式为，
由题意得：，解得：，，
即直线与抛物线的两个交点坐标为；
由题意得：，
解得：或；
2．（2023·山西忻州·校联考模拟）综合与探究
如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，解得，，
∴二次函数解析式为．
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为．
3．（2023·北京海淀·校考模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与平行于x轴的一条直线交于A、B（点A在点B的左侧）两点．
(1)如果点A的坐标为，求点B的坐标；
(2)抛物线的对称轴交直线于点C，如果直线与y轴交点的纵坐标为2，且抛物线顶点D到点C的距离大于3，求m的取值范围．
【分析】（1）将抛物线化成顶点式求出对称轴，根据抛物线是轴对称图形，即可求解；
（2）根据题意求出点D和点C的坐标，再利用顶点D到点C的距离大于3，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴对称轴为；
∵抛物线是轴对称图形，
∴点A点B关于轴对称，
∵点A的坐标为，
∴．
（2）解：∵抛物线，
∴顶点．
∵直线与y轴交点的纵坐标为2，对称轴交直线于点C，
∴，
∵顶点D到点C的距离大于3，
当点D在点C的上方，则，解得：；
当点D在点C的下方，则，解得：；
∴或；
1．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
【分析】（1）根据对称轴和过点列二元一次方程组求解即可；
（2）如图：过点M作交于D，设点，则；然后表示出，再根据是等边三角形可得,，根据三角函数解直角三角形可得，进而求得即可解答；
【详解】（1）解：由题意可得：
，解得：，
所以抛物线的函数表达式为；
当时，，则顶点M的坐标为．
（2）解：如图：过点M作交于D
设点，则,
∴，
∵是等边三角形,
∴,
∴,即，解得：或（舍去）
∴，，
∴该三角形的边长．
2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；
（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；
（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：将A（-1，0），B（4，5）代入得， ，
解这个方程组得，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，设直线AB的解析式为：，
把点 A（-1，0），B（4，5）代入，
得，
解得 ，
直线AB的解析式为： ，
由（1）知抛物线的对称轴为，
点C为抛物线对称轴上一动点，，
当点C在AB上时，最小，
把x=1代入，得y=2，
点C的坐标为（1，2）；
（3）解：如图，由（2）知 直线AB的解析式为y=x+1
设，则，
则，
当时，DE有最大值为，专题01 平面直角坐标系中两点距离的表达
积累一：如下左图，位于x轴上两点间的距离可表示为两点横坐标差的绝对值，或者用右边点的横坐标减去左边点的横坐标。
或
积累二：如上右图，位于与x轴平行的直线上两点间的距离，由于纵坐标相等，也可表示为两点横坐标差的绝对值，或者用右边点的横坐标减去左边点的横坐标。
或
【注意】在具体的题目中，如若无法确定两点的左右位置，则需要进行分类讨论，或者用绝对值进行表示。
积累三：如下左图，位于y轴上两点，由于横坐标相同，因此两点间的距离可表示为两点纵坐标差的绝对值，或者用上方的点的纵坐标减去下方点的纵坐标。
或
积累四：如上右图，位于与y轴平行的直线上两点间的距离，由于横坐标相同，也可表示为两点纵坐标差的绝对值，或者用上方的点的纵坐标减去下方点的纵坐标。
或
【注意】1.在具体的题目中，如若无法确定两点的左右位置，则需要进行分类讨论，或者用绝对值进行表示。
2.与坐标轴平行的线段长度的表示，是平面直角坐标系中最简单的线段长度表示方法，对于平面直角坐标系中任意两点间的线段长度，通常可以利用几何图形的性质将其转化为与坐标轴平行的类型来解答。
积累五：如下左图，坐标系中任意两点间的距离的表示，分别过A、B点作坐标轴的垂线，相交于点C，所以C点的坐标为，所以，，根据勾股定理可得：
；
（两点距离公式）
积累六：平面直角坐标系中任意两点的距离都可以用两点距离公式求出，因此两点距离公式是普遍适用的，其缺点就是计算量过大，比较繁琐，在具体的题目中，当需要用坐标表示线段长度时，如果是平行于坐标轴的线段，则直接用横坐标或纵坐标的差的绝对值表示即可；如果线段不平行于坐标轴的线段长度的表示除了用两点距离公式外，还可以用转化的方式，即利用几何图形的性质将所求线段转化到与坐标轴平行的相等线段上。如上右图，已知，，如若要用坐标表示AB的长度，两点距离公式表示：
，但也可以用AC的坐标表示来表示AB的长度，即。这样就使得AB线段的坐标表示变得极为简单。这种方法在中考压轴题中是常用的方法，希望考生们能够重视。
例题1：如图，已知中，BC//x轴，AD是BC边上的高，，，。
（1）求AD的长。
（2）求AB的长。
【解析】（1）
（2）。
例题2：如图，已知的三个顶点坐标分别为，，。AC交x轴与点D。
（1）求BD的长度。
（2）求AC边上的高的长度。
【思路分析】（1）要求BD的长，只需知道D点的坐标。
（2）要求AC边上的高，通过观察，AC边上的高既不平行于x轴，也不平行于y轴，如果直接求解则比较复杂，此题可以采用等积法，列出方程进而求出AC边上的高。
【解析】（1）设AC的解析式为：；
将和代入得：
，解得；
所以AC的解析式为：；
令，，
（2）过点B做AC的垂线，垂足为点G；过A做AE垂直于x轴于点E，过点C做CF垂直于x轴于点F。
，
又，，，
例题3：（2023·北京·北京四中校考模拟）已知二次函数的图象过点
(1)求证：；
(2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若二次函数的图象与x轴交于点、，，求b的值．
【思路分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明；
（2）令得到一元二次方程：，再利用（1）题结论求得方程的即可确定二次函数与x轴的交点个数；
（3）由可得，两边平方可得，再化为，在一元二次方程中利用根与系数关系可得和的表达式，然后再代入解方程便可求得b值；
【详解】（1）证明：将点代入可得：，
整理得：；
（2）证明：令可得一元二次方程：，
此方程，
由可得，
∴，
∴方程有两个不等的实数根，
∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在一元二次方程中，由根与系数关系可得：
，，
∵，
∴，
代入可得：，
整理得：，
解得：，；
1．（2022·北京海淀·校考模拟）已知二次函数的图像经过点．
(1)用含的代数式表示______；
(2)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
2．（2023·山西忻州·校联考模拟）综合与探究
如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
3．（2023·北京海淀·校考模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与平行于x轴的一条直线交于A、B（点A在点B的左侧）两点．
(1)如果点A的坐标为，求点B的坐标；
(2)抛物线的对称轴交直线于点C，如果直线与y轴交点的纵坐标为2，且抛物线顶点D到点C的距离大于3，求m的取值范围．
1．（2023·四川雅安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；