卷子答案网-一个不只有答案的网站17.1 勾股定理
17.1.1 勾股定理
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023广东中山期中)在平面直角坐标系中,点P(-4,3)到原点的距离是( )
A.3 B.4 C.5 D.
2.已知Rt△ABC的两直角边长分别是6 cm,8 cm,则Rt△ABC的斜边上的高是( )
A.4.8 cm B.2.4 cm C.48 cm D.10 cm
3.如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB长为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为( )
A. B. C.2.2 D.3-
4.等腰三角形的一腰长为5,这一腰上的高为3,则这个等腰三角形的底边长为( )
A. B.3 C.或3 D.4或3
二、填空题
5.(2023广东广州一模)如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则底边BC上的高AD= .
6.(2022湖北武汉月考)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8 cm,则图中所有正方形的面积的和是 cm2.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于点E,交AB于点D,连接AE,若AC=6,AB=10,则△ACE的周长为 .
8.如图所示的是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形.如果AB=13,EF=7,那么AH= .
9.已知△ABC中,AB=4,AC=5,BC边上的高为4,则BC= .
三、解答题
10.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是6,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.
11.(2023广东江门三模)如图,有一张直角三角形纸片,两直角边分别为AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,若点P从点A出发,以4 cm/s的速度沿AC—CB—BA运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P在边AC上运动,当t的值为多少时,PA=PB
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上,求t的值.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C 点P(-4,3)到原点的距离为=5,故选C.
2.答案 A 设Rt△ABC斜边上的高为h cm,
∵Rt△ABC的两直角边长分别是6 cm,8 cm,
∴斜边长==10(cm),
∵×10×h=×6×8,∴h=4.8,
即Rt△ABC的斜边上的高是4.8 cm,
故选A.
3.答案 B 连接AD,如图,
由题意知AD=AB=3,
在Rt△ACD中,由勾股定理得CD===,
故选B.
4.答案 C 分两种情况:(1)当顶角是钝角时,如图1所示,
在Rt△ACO中,由勾股定理,得AO2=AC2-OC2=52-32=16,
∴AO=4,∴OB=AB+AO=5+4=9,
在Rt△BCO中,由勾股定理,得BC2=OB2+OC2=92+32=90,
∴BC==3.
(2)当顶角是锐角时,如图2所示,
在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD2=AC2-DC2=52-32=16,
∴AD=4,∴DB=AB-AD=5-4=1.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得BC2=DB2+DC2=12+32=10,
∴BC=.
综上可知,这个等腰三角形的底边长为3或.故选C.
二、填空题
5.答案 8
解析 ∵AB=AC,AD为底边BC上的高,
∴∠ADC=90°,DC=BC=6,
∴AD===8.
6.答案 192
解析 如图,设图中正方形的面积分别为A,B,C,D,E,F,
由勾股定理得,A+B=E,C+D=F,E+F=82=64(cm2),
∴图中所有正方形的面积的和是64×3=192(cm2).
7.答案 14
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,
由勾股定理得BC===8,
∵AB的垂直平分线交BC于点E,
∴AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=6+8=14.
8.答案 5
解析 ∵AB=13,EF=7,∴大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,
∴四个直角三角形的面积和为169-49=120,
设AE=a,DE=b,即4×ab=120,
∴2ab=120,a2+b2=169,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=169+120=289,
∴a+b=17,
∵a-b=7,∴a=12,b=5,
∴AH=DE=5.
9.答案 7或1
解析 作AD⊥BC交直线BC于D,在Rt△ABD中,BD==4,
在Rt△ACD中,CD==3,
如图1,BC=BD+CD=7;如图2,BC=BD-CD=1.
综上,BC=7或1.
三、解答题
10.解析 (1)证明:∵大正方形的面积为c2,一个直角三角形的面积为ab,小正方形的面积为(b-a)2,
∴c2=4×ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即c2=a2+b2.
(2)由题图可知,(b-a)2=2,4×ab=6-2=4,∴ab=2,
∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=10.
11.解析 在Rt△ABC中,AC=6 cm,BC=8 cm,由勾股定理可得AB==10(cm),
由折叠可知CD=DE,AE=AC=6 cm,
∴BE=10-6=4(cm),
设DE=CD=x cm,则BD=(8-x)cm,
在Rt△BDE中,根据勾股定理得BD2=DE2+BE2,即(8-x)2=x2+42,
解得x=3,即CD的长为3 cm.
12.解析 (1)如图1,连接BP,
在Rt△ABC中,AB=10 cm,BC=6 cm,
∴AC===8(cm),
由勾股定理得PB2=PC2+BC2,
当PA=PB时,PA2=(8-PA)2+62,
∴PA= cm,则t=÷4=.
故当t=时,PA=PB.
(2)如图2,过点P作PG⊥AB于G,
∵点P恰好在∠BAC的平分线上,∠C=90°,PG⊥AB,
∴CP=GP,
∵AP=AP,∴Rt△ACP≌Rt△AGP(HL),
∴AG=AC=8 cm,∴BG=10-8=2(cm),
设CP=PG=x cm,则BP=(6-x)cm,
∵Rt△BGP中,BG2+PG2=BP2,∴22+x2=(6-x)2,
解得x=,∴AC+CP=8+=(cm),
∴t=÷4=.
当点P运动到点A时,点P也在∠BAC的平分线上,
此时t=(10+8+6)÷4=6.
综上所述,若点P恰好在∠BAC的平分线上,t的值为或6.17.1 勾股定理
17.1.2 勾股定理的应用
第1课时 勾股定理的应用1
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023广东惠州期末)如图,有一根电线杆垂直立在地面D处,在电线杆的点C处引拉线固定电线杆,拉线AC=BC=6 m,且和地面成60°角,则电线杆引线处C离地面的高度(即CD的长)是( )
A.3 m B. m C.2 m D.3 m
2.(2023河北廊坊期末)第27届LG杯世界围棋棋王赛决赛在2023年2月收官,这是2023年第一个世界围棋大赛决赛.如图所示的是一个围棋棋盘的局部,若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的,则黑、白两棋子的距离为( )
A. B. C.2 D.2
3.将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米,高为12厘米的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外的长为h厘米,则h的取值范围是( )
A.12≤h≤13 B.11≤h≤12 C.11≤h≤13 D.10≤h≤12
二、填空题
4.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架,其中记载了一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何 ”题意:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高 答:折断处离地面
尺高.
5.(2023福建莆田期末)某宾馆在重新装修后,准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯.已知楼梯总高度为5米,楼梯长13米,主楼道宽2米,其侧面如图所示,若这种红色地毯的售价为每平方米30元,则购买地毯至少需要 元.
6.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5 m远的水底,竹竿高出水面0.5 m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为 m.
7.(2022北京四中期中)如图,一架梯子AB长5米,底端离墙的距离BC为3米,当梯子下滑到DE时,AD=1米,则BE= 米.
三、解答题
8.(2023河北保定期中)某校秉承“学会生活,学会学习,学会做人”的办学理念,将本校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教室的黑板上面(如图所示).在三月雷锋活动中,小明搬来一架梯子(AE=5米)靠在宣传牌(AB)A处,底端落在地板E处,然后移动梯子使顶端落在宣传牌(AB)的B处,而底端E向外移动了1米到C处(CE=1米).测量得BM=4米.求宣传牌(AB)的高度(结果用含根号的式子表示).
9.(2023江西抚州一中期中)如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港.
(1)求A、C两港之间的距离(结果保留到0.1 km,参考数据:≈1.414,≈1.732);
(2)确定C港在A港的什么方向.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D ∵CD⊥AB,∠CBD=60°,
∴∠BCD=30°,∴DB=BC=3 m,
在Rt△BCD中,CD===3(m),
故选D.
2.答案 D 黑、白两棋子的距离==2.故选D.
3.答案 A 当筷子与杯底垂直时,h最大,h最大=25-12=13.
当筷子按如图所示的方式放置时,h最小,
此时AB===13(cm),
则h最小=25-13=12.
故h的取值范围是12≤h≤13.故选A.
二、填空题
4.答案 4.55
解析 设折断处离地面x尺高,
根据题意可得x2+32=(10-x)2,解得x=4.55.
故折断处离地面4.55尺高.
5.答案 1 020
解析 如图,把楼梯的台阶平移,构成一个长、宽分别为=12米、5米的长方形,
∴地毯的长度为12+5=17米,∴地毯的面积为17×2=34平方米,
∴购买这种地毯至少需要30×34=1 020元.
6.答案 2
解析 如图,在直角△ABC中,AC=1.5 m,
设河深BC=x m,则AB=BD=(0.5+x)m.
根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,
∴1.52+x2=(x+0.5)2,解得x=2.故河水的深度为2 m.
7.答案 1
解析 在Rt△ABC中,根据勾股定理,可得AC===4(米),
∴DC=AC-AD=4-1=3(米),
在Rt△DCE中,CE===4(米),
∴BE=CE-BC=4-3=1(米).
三、解答题
8.解析 由题意可得AE=BC=5米,BM=4米,EC=1米,
在Rt△MBC中,MC==3(米),
则EM=3-1=2(米),
在Rt△AEM中,AM==(米),
故AB=AM-BM=(-4)米.
答:宣传牌(AB)的高度为(-4)米.
9.解析 (1)由题意可得,∠PBC=30°,∠MAB=60°,
∴∠CBQ=60°,∠BAN=30°,∴∠ABQ=30°,∴∠ABC=30°+60°=90°.
∵AB=BC=10 km,∴AC==10≈14.1 km.
答:A、C两港之间的距离约为14.1 km.
(2)由(1)知,△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=45°,
∴∠CAM=60°-45°=15°,∴C港在A港北偏东15°方向上.17.1 勾股定理
17.1.2 勾股定理的应用
第2课时 勾股定理的应用2
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023北京景山学校期末)如图,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是( )
A.2.2 B.2.3 C. D.
2.在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴正半轴于点C,则点C的横坐标在哪两个数之间( )
A.0与1 B.1与2 C.2与3 D.3与4
3.(2023青海西宁期末)如图,点A,B在数轴上分别表示数1,2,以AB为边作正方形ABCD,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交数轴正半轴于点E,则点E表示的数是( )
A. B.1+ C.2+ D.-1
二、填空题
4.如图,网格中的小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上,则△ABC中AB边上的高为 .
5.(2023天津五十一中期末)如图,在数轴上方作边长为1的小正方形网格,以原点O为圆心,OB的长为半径画弧,与数轴正半轴交于点A,则点A表示的数为 .
6.(2023山西大同一中期末)如图,数轴上点A、B表示的数分别为1、2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,连接OC,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴正半轴于点M,则点M所表示的数是 .
7.如图所示的是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走8 m,又往北走3 m,遇到障碍后又往西走4 m,再转向北走9 m后往东拐,仅走1 m就到达了B处,则A、B两点之间的距离为 m.
8.(2023重庆育才成功学校期末)如图,平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),点B(0,2),点D为AB的中点,以点O为圆心,OD长为半径画弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为 .
9.(2022广西钦州期末)图①是第七届国际数学教育大会(ICME-7)会徽图案,它是由一串有公共顶点O的直角三角形(如图②)演化而成的.如果图②中的OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,S1代表△A1OA2的面积,S2代表△A2OA3的面积,以此类推,S7代表△A7OA8的面积,则+++…+的值为 .
三、解答题
10.在同一直角坐标系中分别描出点A(-3,0)、B(2,0)、C(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的周长.
11.(2023四川自贡期末)在平面直角坐标系中,已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),根据勾股定理,我们可以求得这两点间的距离P1P2=.当P1、P2两点所在直线与坐标轴重合或平行于坐标轴时,两点间的距离可简化为P1P2=|x1-x2|或P1P2=|y1-y2|.
请利用以上结论,回答下列问题:
(1)已知A(4,3),B(-2,-5),则A,B两点间的距离为 ;
(2)已知M,N两点所在直线平行于x轴,点M的横坐标为5,点N的横坐标为-2,求M,N两点之间的距离.
12.(2023湖南长沙南雅中学期末)如图1,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长为 ;
(2)求AC+CE的最小值;
(3)根据(2)中的规律和结论,请模仿图1在网格中(图2)构图并求代数式+的最小值.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D 由题意得,a==,
∴点A所表示的数为.
故选D.
2.答案 C ∵A(-1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3,
在Rt△OAB中,由勾股定理得AB===,
∴AC=AB=,∴点C的横坐标为-1,
∵3<<4,∴2<-1<3,故选C.
3.答案 B 利用勾股定理得AC==,
∵AE=AC=,
∴OE=OA+AE=1+,
∴点E表示的数为1+,
故选B.
二、填空题
4.答案
解析 由题图知△ABC是等腰三角形,AB=AC==,BC==,BC边上的高==.设AB边上的高为h,∴S△ABC=××=×h,∴h=.
5.答案
解析 由题图可知OB==,
∵OA=OB,∴OA=,
∴点A表示的数为.
6.答案
解析 ∵数轴上点A、B表示的数分别为1、2,
∴AB=1,OB=2,
∵以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,
∴BC=AB=1,
∵PQ⊥AB,∴∠OBC=90°,
在Rt△OBC中,由勾股定理得OC===,
∵以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴正半轴于点M,
∴OM=OC=,∴点M所表示的数为.
7.答案 13
解析 过点B作BC垂直A所在水平直线于点C,如图,
根据题意可得,A处与B处的水平距离为8-4+1=5(m),竖直距离为3+9=12(m),
∴AC=5 m,BC=12 m,∴AB==13(m).
8.答案
解析 ∵点A(1,0),点B(0,2),
∴OA=1,OB=2,
∵点D为AB的中点,∴D,
∴OD==,∴OC=OD=,
∴点C的坐标为.
9.答案 7
解析 根据题意得OA2==,OA3==,OA4===2,
……,OA6=,
∴OAn=.
∴S1=×1×1=;
S2=×1×=;
S3=×1×=;
……
△An-1OAn的面积=.
∴+++…+=+++…+==7.
三、解答题
10.解析 如图所示,△ABC即为所求作:
利用勾股定理得AC==5,BC==,AB=2-(-3)=5,
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=5++5=10+.
11.解析 (1)∵A(4,3),B(-2,-5),
∴A,B两点间的距离===10.
(2)∵M,N两点所在直线平行于x轴,点M的横坐标为5,点N的横坐标为-2,
∴M,N两点之间的距离=|-2-5|=7.
12.解析 (1)∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴△ABC和△CDE都是直角三角形,
∵BD=8,CD=x,
∴BC=8-x,
在Rt△ABC中,AC==,
在Rt△CDE中,CE==,
∴AC+CE=+,
故答案为+.
(2)过点A作AF⊥DE,交ED的延长线于点F,连接AE,如图所示:
易知四边形ABDF是长方形,
∴DF=AB=2,AF=BD=8,
∴EF=3,
∵AC+CE≥AE,
∴要使AC+EC的值最小,则需满足A、C、E三点共线即可,即最小值为AE的长,
∴AC+CE的最小值=AE==.
(3)取P为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AP、EP.已知AB=1,DE=2,BD=3,如图所示:
设BP=x,则DP=3-x,
根据勾股定理可得AP=,PE=,
∴AP+PE=+,
同理(2)可知AP+PE的最小值即为点A与点E之间的距离,
∴AP+PE的最小值为=3.