卷子答案网-一个不只有答案的网站2023 年冬令营（CMO)试题完整版
2023年冬令营(CM0)试题解析
1.求最小的实数入，使得对任意的正整数n,可以将其表示成2023个正整数之积，即n=x1x2·x2o23,
且满足对任意的i∈{1,2，·，2023}，均有x:是素数或者x:≤n入.
解：
入的最小值为2
一方面，取n=p2024(其中p为素数)，此时若将n表示成2023个正整数之积，即n=x12…x2023
时，可设x,=p:(a,为非负整数，i=1,2,·,2023),由抽屉原理，存在正整数j,使得a≥2，
此时2=n≥西=产≥2，因此我们有入≥02
另一方面，我们证明，当入=02时，对任意的正整数n,存在正整数，2,20a,使得
c:是素数或者xi≤no2,且n=x1x2·x2023.
对任意的正整数n,我们采用如下方法依次构造出满足要求的x1,x2,·,x2023:
对1≤k≤2023，假设已构造出x1,x2,·,xk-1,接下来考虑xk的取值（特别地，k=1时代表
尚未构造出任何一项，考虑构造x1的值)·
对mk=x12…k-1
—(k=1时m1=n):
若mk的最大素因子Pk≥no2,则令xk=Pk;
若mk的任一素因子均小于no,则令xk为mk的不超过no的最大正约数.
依次得到x1,x2,·,D2023
我们证明这样的构造符合要求：
由于此时对任意的i=1,2,·,2023,已有x:是素数或者x:≤no,因此只须证n=
C1x2·x2023
若存在x=1,则知m不存在不小于no2的素因子，也不存在不超过no2的正约数，自然也
就不存在不超过n0的素因子，所以m=1,这样，n=x1x2…xi-1,x=xi+1=·=x2023=1,
满足n=x1x2·C2023·
若不存在x=1,不妨设x1,2,·,xt为在上述操作中选取的不小于n的素数，其余项为在
上述操作中选取的不超过no的正约数(t可以为0)·
此时如果x2022x2023≤n202,则与x2022为m2022的不超过n02的最大正约数矛盾，所以
c2022x2023≥n10i2,这样有x2022≥n2024,进而有xt+1≥xt+2≥·≥x2022≥n202a;而由取
法可直接得到1≥2≥…≥t≥n应≥n2应，因此我们有12…2022≥n器，此时
m2023≤n202=n0i2,所以m2023=
—,满足n=x1x2·x2023·
x1C2··C2022
综上所述，入的最小值为2
【简评】此题是一道形式优美且并不困难的数论问题，最终结果与整体思路容易得出，但在细
节处理上需要注意对不同情况的分类讨论，避免出现遗漏。