卷子答案网-一个不只有答案的网站播州区2021—2022学年度九年级第一次模拟考试
数学 试卷
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
2. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕、在筹办过程中，中国参与冰雪运动的总人数约达346000000人．数据346000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线a，b被直线c所截，且，则与的数量关系是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是的（ ）
A. B. C. D.
5. 定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象经过第二、四象限 B. 函数的图象经过点
C. y随x增大而增大 D. 函数的图象是双曲线
6. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
8. 在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．图1所示的算筹图表示的是关于x，y的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
9. 已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 120πcm2 D. 130πcm2
10. 如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A. B. C. 4 D. 3
11. 在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且，则四边形BEGF的面积是（ ）
A. B. C. D.
12. 若a，是关于x一元二次方程的两个根，且，则a，b，m，2的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 计算：＝_____．
14. 如图点A在反比例函数y（x＞0）图象上，AB⊥y轴于点B，C为x轴上一动点．若△ABC的面积为，则k的值为___．
15. 科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量如图所示的5G信号塔AB的高度，该小组在点D处测得信号塔顶端A的仰角为30°，在同一平面沿水平地面向前走20m到达点C处（点B，C，D在同一直线上），此时测得顶端A的仰角为60°，则信号塔AB的高度为______m．（精确到0.1m，）
16. 如图，在中，，，，P为线段AB上一动点，以线段CP为边作等边三角形PCD，则点P从点A向点B运动的过程中，点D所经过的路径长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
18. 先化简，再从﹣2＜a≤2中选一个合适的整数a代入求值．
19. 为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织七、八年级各200名学生进行“防震减灾知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84
七八年级测试成绩频数统计表
70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 b 90 36.4
八年级 84 84 c 8.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）规定分数不低于85分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生人数．
（3）你认为哪个年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好？请说明理由．
20. 某校为进一步规范升旗仪式，校团委决定在国旗班的4名优秀学生（七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取作为升旗手．
（1）若随机选取1名作为升旗手，求选中九年级学生的概率；
（2）若随机选取2名，用列表或画树状图的方法求选中的两名学生恰好不在同一年级的概率．
21. 在学习特殊平行四边形时，小李同学用尺规作图在如图所示的矩形ABCD上进行了如下操作：
①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点E；
②分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AD于点F；
③连接EF．
（1）根据以上作法，求证：四边形ABEF是正方形；
（2）连接AE，构成如图所示的阴影部分，若，求图中阴影部分的面积．
22. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，目前冰墩墩和雪容融吉祥物在市场热销．某特许商店准备购进冰墩墩和雪容融吉祥物若干，其进价和售价如下表：
冰墩墩吉祥物 雪容融吉祥物
进价（元/件） m m﹣30
售价（元/件） 300 200
已知用3000元购进冰墩墩吉祥物的数量与用2400元购进雪容融吉祥物的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的两种吉祥物共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，该商店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该商店准备对冰墩墩吉祥物每件优惠a元进行出售，雪容融吉祥物的售价不变，该商店怎样进货才能获得最大利润？
23. 如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当时，函数有最小值2m，求m的值．
24. 如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，已知正方形的边长为，．
（1）如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．
（2）如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF最大值和最小值；
（3）如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若，求GC的长．播州区2021—2022学年度九年级第一次模拟考试
数学 试卷
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 计算的结果为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数加法的运算方法，即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要掌握有理数的加法法则：（1）同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．（2）绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
2. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕、在筹办过程中，中国参与冰雪运动的总人数约达346000000人．数据346000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：解：346000000=
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，直线a，b被直线c所截，且，则与的数量关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质得∠1=∠3，再由对顶角的性质知∠2=∠3，进而得出∠1=∠2．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化．
4. 下列计算正确的是的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
5. 定义新运算：．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象经过第二、四象限 B. 函数的图象经过点
C. y随x的增大而增大 D. 函数的图象是双曲线
【答案】C
【解析】
【分析】根据新运算的运算方法，得出y与x的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
A．该函数图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
B．当x=1时，y，故本选项不符合题意；
C．y随x增大而增大，故本选项符合题意；
D．函数的图象是直线，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数图象和性质，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
6. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，且，，则该一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵，，
，
当时，，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．
7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质进行判断即可．
【详解】解：A．当BD≠AB时，∠BAD≠60°，故该选项不正确，不符合题意；
B．当菱形ABCD不是正方形时，AC≠BD，故该选项不正确，不符合题意；
C．因为菱形的四边相等，所以AB=BC，故该选项正确，符合题意；
D．当OA≠BD时，OA≠2OD，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．
8. 在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于x，y的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由图1前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．
【详解】根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：
，
故选A
【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法．
9. 已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 120πcm2 D. 130πcm2
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长=，
所以这个圆锥的侧面积=×2π×5×13=65π（cm2）．
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
10. 如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A. B. C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
11. 在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且，则四边形BEGF的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由折叠性质和点F是AB的中点得出AF与DF的数量关系，由勾股定理求得AF与DF，再平行四边形的面积公式求得BCDF的面积，进而求得四边形BEGF的面积．
【详解】】解：由折叠性质得BE=GE=CE，BF=GF，CD=DG，
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴CD=BF，DF=BC，
∵AF=BF，
∴AF=BF=FG=DG，
∴2AF=DF，
在中，DF2-AF2=AD2，即4AF2-AF2=62，
∴AF=，
∴BF=，
∴S BCDF＝BF AD＝，
∵DG=FG，
∴S△EDG=S△EFG，
由折叠性质知S△CDE=S△EDG=S△RFG=S△BEF，
∴S四边形BEGF＝S BCDF＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，平行四边形的面积计算，折叠的性质，关键在应用勾股定理求出AF的长度．
12. 若a，是关于x的一元二次方程的两个根，且，则a，b，m，2的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出，将问题转化为二次函数与的交点问题，根据图象即可求解．
【详解】如图，a，是关于x的一元二次方程的两个根，且，
的交点的横坐标即为方程的解，
，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，将方程问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
14. 如图点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，C为x轴上一动点．若△ABC的面积为，则k的值为___．
【答案】3
【解析】
【分析】根据反比例函数k的几何意义即可确定；
【详解】解：连接OA，如图所示：
∵AB⊥y轴，
∴AB∥y轴，
∴
∵△ABC的面积为，
∴△ABO的面积为，
∴k＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练掌握比例系数k的几何意义是解决本题的关键．
15. 科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量如图所示的5G信号塔AB的高度，该小组在点D处测得信号塔顶端A的仰角为30°，在同一平面沿水平地面向前走20m到达点C处（点B，C，D在同一直线上），此时测得顶端A的仰角为60°，则信号塔AB的高度为______m．（精确到0.1m，）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得∠D=30°，∠ACB=60°，然后利用三角形的外角求出∠CAD=30°，从而可得AC=CD=20m，最后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：∠D=30°，∠ACB=60°，CD=20m
∴∠CAD=∠ACB-∠D=30°，
∴AC=CD=20m，
在Rt△ABC中，AB=AC sin60°=20×（m），
∴信号塔AB的高度为m，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，P为线段AB上一动点，以线段CP为边作等边三角形PCD，则点P从点A向点B运动的过程中，点D所经过的路径长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】由点P从点A向点B运动可知，画出P点在A点时D点的位置，在B点时D的位置，发现D点的经过的路径长即是D1D2的长；
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=2×2=4，
∠BAC=90°-30°=60°，
故当点P位于A点时，点D位于点D1，
∴△CAD1为等边三角形，
∴AD1=AC=2，
∴BD1=AB-AD1=4-2=2，
当点P位于点B时，点D位于点D2，
∴△CBD2是等边三角形，
∴BD2=CB，∠CBD2=60°，
∴∠ABD2=∠ABC+∠CBD2=90°，
∴△D1D2B是直角三角形，
在Rt△ABC中，BC==2，
∴BD2=2，
∴D1D2==4．
【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质和勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）2；（2）2＜x≤4
【解析】
【详解】（1）根据绝对值的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值进行计算求解；
（2）先分别求出两个一元一次不等式的解集，再确定出一元一次不等式组解集即可．
解：（1）
1+1+2﹣2
1+1+2
＝2；
（2），
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：2＜x≤4．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，一元一次不等式组的解法，理解绝对值班的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，一元一次不等式组的解法是解答关键
18. 先化简，再从﹣2＜a≤2中选一个合适的整数a代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵a0，1，﹣1时，原式无意义，
∴把a＝2代入得：
原式
．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
19. 为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织七、八年级各200名学生进行“防震减灾知识测试”（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生测试成绩x（单位：分）进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84
七八年级测试成绩频数统计表
70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 b 90 36.4
八年级 84 84 c 8.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）规定分数不低于85分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生人数．
（3）你认为哪个年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好？请说明理由．
【答案】（1）2，85，84
（2）七、八年级测试成绩达到优秀的学生人数分别为100人和60人
（3）八年级学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好，见解析
【解析】
【分析】（1）从题目中给出七，八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩中可直接求出a，c的值，根据中位数定义可求出b；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：∵八年级的10名学生中有8名学生成绩低于90分，
∴a＝10﹣7﹣1＝2，
由数据可知：84出现次数最多，根据众数的定义可知：c＝84，
把七年级10名学生测试成绩排好顺序为：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
故答案为：2，85，84；
【小问2详解】
七年级10名学生的成绩中不低于85分的所占比例为，
八年级10名学生的成绩中不低于85分的所占比例为，
∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200100（人），
八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：20060（人），
∴七、八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数分别为100人和60人；
【小问3详解】
∵七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，则说明八年级的测试成绩更稳定，
∴八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查了频数分布表，平均数、方差的意义，中位数和众数的定义，样本估计总体等知识，掌握各知识点定义、意义及计算方法是解题的关键．
20. 某校为进一步规范升旗仪式，校团委决定在国旗班的4名优秀学生（七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取作为升旗手．
（1）若随机选取1名作为升旗手，求选中九年级学生的概率；
（2）若随机选取2名，用列表或画树状图的方法求选中的两名学生恰好不在同一年级的概率．
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，选中的两名学生恰好不在同一年级的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵七年级1名，八年级1名，九年级2名，共4名，
∴选中九年级学生的概率；
【小问2详解】
解：把七年级1名记为A，八年级1名记为B，九年级2名记为C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名学生恰好不在同一年级的结果有10种，
则选中的两名学生恰好不在同一年级的概率为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识以及统计表等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
21. 在学习特殊平行四边形时，小李同学用尺规作图在如图所示的矩形ABCD上进行了如下操作：
①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交BC于点E；
②分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AD于点F；
③连接EF．
（1）根据以上作法，求证：四边形ABEF是正方形；
（2）连接AE，构成如图所示的阴影部分，若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，根据角平分线的定义得到∠ABF=∠EBF=45°，求得AF=AB，根据正方形的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=，，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵
∴∠AFB=∠EBF ，
∴AF=AB，
同理可得
由作图可知
四边形ABEF是菱形；
∴四边形ABEF是正方形；
【小问2详解】
解：由（1）知，四边形ABEF是正方形，CD=AB=4，
∴图中阴影部分的面积=
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
22. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，目前冰墩墩和雪容融吉祥物在市场热销．某特许商店准备购进冰墩墩和雪容融吉祥物若干，其进价和售价如下表：
冰墩墩吉祥物 雪容融吉祥物
进价（元/件） m m﹣30
售价（元/件） 300 200
已知用3000元购进冰墩墩吉祥物的数量与用2400元购进雪容融吉祥物的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的两种吉祥物共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，该商店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，该商店准备对冰墩墩吉祥物每件优惠a元进行出售，雪容融吉祥物的售价不变，该商店怎样进货才能获得最大利润？
【答案】（1）m的值为150
（2）该商店有9种进货方案
（3）当0＜a＜70时，该商店购进90件冰墩墩吉祥物，110件雪容融吉祥物才能获得最大利润；当a＝70时，该商店按（2）条件下的9种进货方案进货，全部销售完后获得的利润相同；当a＞70时，该商店购进82件冰墩墩吉祥物，118件雪容融吉祥物才能获得最大利润．
【解析】
【分析】（1）利用数量=总价÷单价，结合用3000元购进冰墩墩吉祥物的数量与用2400元购进雪容融吉祥物的数量相同，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进冰墩墩吉祥物x件，则购进雪容融吉祥物（200﹣x）件，利用总利润=每件的销售利润×销售数量，结合总利润不少于21700元且不超过22300元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出该商店有9种进货方案；
（3）设全部售出后的总利润为y元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：依题意得：，
解得：m=150，
经检验，m=150是原方程的解，且符合题意．
答：m的值为150；
【小问2详解】
解：设购进冰墩墩吉祥物x件，则购进雪容融吉祥物（200﹣x）件，
依题意得：，
解得：x≤90．
又∵x为整数，
∴x可以为82，83，84，85，86，87，88，89，90，
∴该商店有9种进货方案；
【小问3详解】
解：设全部售出后的总利润为y元，则y=（300﹣150﹣a）x+[200﹣（150﹣30）]（200﹣x）=（70﹣a）x+16000，
当70﹣a＞0，即0＜a＜70时，y随x的增大而增大，
∴该商店购进90件冰墩墩吉祥物，110件雪容融吉祥物才能获得最大利润；
当70﹣a=0，即a=70时，y值与x值无关，
∴该商店按（2）条件下的9种进货方案进货，全部销售完后获得的利润相同；
当70﹣a＜0，即a＞70时，y随x的增大而减小，
∴该商店购进82件冰墩墩吉祥物，118件雪容融吉祥物才能获得最大利润．
综上所述，当0＜a＜70时，该商店购进90件冰墩墩吉祥物，110件雪容融吉祥物才能获得最大利润；当a=70时，该商店按（2）条件下的9种进货方案进货，全部销售完后获得的利润相同；当a＞70时，该商店购进82件冰墩墩吉祥物，118件雪容融吉祥物才能获得最大利润．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．
23. 如图，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）当时，函数有最小值2m，求m的值．
【答案】（1）
（2）m=2-或m=6．
【解析】
【分析】（1）通过待定系数法求解；
（2）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标及对称轴，分类讨论x=m-1，x=m及x=1时y取最小值的m的值．
【小问1详解】
解：将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax +bx-3得
，
解得：，
∴．
【小问2详解】
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线顶点坐标为（1，-4），
当m＜1时，x=m时，y取最小值，
∴m2-2m-3=2m，
解得m=2+（舍）或m=2-．
当m-1＞1时，m＞2，x=m-1时，y取最小值，
∴（m-1）2-2（m-1）-3=2m，
解得m=0（舍）或m=6．
当m-1≤1≤m时，1≤m≤2，y=-4为最小值，
∴-4=2m，
解得m=-2（舍），
综上所述，m=2-或m=6．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
24. 如图1，将等腰直角三角形AEF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转，已知正方形的边长为，．
（1）如图2，连接DE，BF，在旋转过程中，线段BF与DE的数量关系是______，位置关系是______．
（2）如图3，连接CF，在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；
（3）如图4，延长BF交DE于点G，连接CG，若，求GC的长．
【答案】（1）BF=DE，BF⊥DE；
（2）CF的最大值为，最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）延长BF交AD于点H，交DE于点G，由四边形ABCD是正方形得AB=AD，∠BAD=90°，而AF=AE，∠EAF=90°，所以∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，即可证明△BAF≌△DAE，得BF=DE，∠ABF=∠ADE，则∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，即可证明BF⊥DE；
（2）连接AC，因为正方形的边长为，，根据勾股定理求出AC的长，再根据“两点之间线段最短”得AC-AF≤CF≤AC+AF，可知当CF=AC-AF时，CF的值最小，当CF=AC+AF时，CF的值最大，求出CF的最大值和最小值即可；
（3）连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，由正方形ABCD的边长为，DG：CB=1：3得AB=CB=CD，根据勾股定理求得BG，取BD的中点O，连接OG、OC，以点O为圆心、以OG长为半径作圆，则点B、C、D、G都在⊙O上，可得∠CGD=∠CBD=45°，∠GCD=∠GBD，可求得GI=DI=DG sin∠CGD，再根据tan∠GCD=tan∠GBD求出CI的长，即可求出CG的长．
【小问1详解】
如图2，延长BF交AD于点H，交DE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AF=AE，∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠DAE=90°-∠DAF，
∴△BAF≌△DAE（SAS），
∴BF=DE，∠ABF=∠ADE，
∵∠AHB=∠GHD，
∴∠ADE+∠GHD=∠ABF+∠AHB=90°，
∴∠DGH=90°，
∴BF⊥DE，
故答案为：BF=DE，BF⊥DE．
【小问2详解】
如图3，连接AC，∵正方形的边长为，
∴AB=BC=,，AF=AE=
∵∠ABC=90°，
∴AC=
∴AC-AF= ,AC+AF=
∵AC-AF≤CF≤AC+AF，
∴当CF的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
如图4，连接BD，作DI⊥CG于点I，则∠DIG=∠DIC=90°，
∵正方形ABCD的边长为，DG：CB=1：3，
∴AB=CB=CD=，
,
∵∠BCD=90°，
∴BD=,，∠CBD=∠CDB=45°，
由（1）得BF⊥DE，
∴∠BGD=90°，
∴BG=,
取BD的中点O，连接OG、OC，则OG=OC=OB=OD=BD，
以点O为圆心、以OG长为半径作圆，则点B、C、D、G都在⊙O上，
∴∠CGD=∠CBD=45°，∠GCD=∠GBD，
∴GI=DI=DG sin∠CGD=DG sin45°=，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形、二次根式的化简、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
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