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专题六 圆的综合
1.如图,在圆O中,AB是直径,AD是弦,点C在圆O上,于点E,,交AD的延长线于点F,且.
（1）求证:CF是圆O的切线:
（2）若,,求BE的长.
2.如图,在中,点D在边AC上,BD平分,经过点B,C的圆O交BD于点E,连接OE交BC于点F,.
（1）求证:AB是圆O的切线;
（2）若,,,求圆O的半径.
3.如图,内接于圆O,AD是圆O直径,E是CB延长线上一点,且.
（1）求证:直线AE是圆O的切线;
（2）若,,,求EB的长及圆O的半径.
4.如图矩形ABCD中,过A,B两点的圆O切CD于E,交BC于F,于H,连结EF.
（1）求证:,
（2）若,求BF的长.
5.已知，如图，在圆O中，AB为直径，C为圆上一点，AD平分并交圆O于点D，点E在AD上，且.
(1)求证：BE平分；
(2)若圆O的半径，，求AC的长.
6.如图,已知AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,,垂足分别为E,F.
（1）求证:;
（2）若,,求阴影部分的面积.
7.如图1，四边形OMTN中，，，我们把这种两组邻边相等的四边形叫做筝形.
(1)探究结论：试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)尝试应用：如图2，在筝形ABCD中，已知，，，BD，AC为对角线，.若存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上，试求出这个圆的半径；
(3)拓展延伸：如图，将正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形GBEF，AD与EF相交于点K，延长DA交GF于点H.①证明四边形KABE是筝形 ；②若，求AH的长.
8.(1) 如图 (1), 等边三角形ABC的边长为 6 , 则该等边三角形的外接圆半径长为
(2) 如图 (2), 在 中, ,, 点D,E,F 分别在边 BC,AB和AC 上, , 若点D 为BC 边的中点, , 求 AF的长度.
(3) 如图 (3), 在 中, ，, 等边三角形DEF的三个顶点分别在边BC,AB 和AC 上, 该等边三角形的面积是否存在最大值 如果存在, 求出面积最大值; 如果不存在, 说明 理由.
9.在四边形中，，，，.直角三角板含角的顶点E在上移动，一直角边始终经过点A，斜边与交于点F.
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，在上有一点P，.若点E从点B到点C移动的速度为每秒个单位长，求点P在直角三角板内部(包括边界)的时长；
(3)连接，当的外心落在的边上时，求的值；
(4)直接写出点E移动过程中的外接圆半径的最小值.
答案以及解析
1.答案：（1）见解析
（2）BE的长
解析:（1）连接OC,AC,
,,且,
是的平分线,
,
,
,
,
,
,
是圆O半径,
是圆O的切线.
（2）,
,
,
,
,
,
,
,
.
答:BE的长.
2.答案：（1）见解析
（2）圆O的半径是5
解析:（1）证明:连接OB,如图,
,
,
BD平分,
,
,
,
,
AB是圆O的切线;
（2）解:,BD平分
,
,
,
解得,
,
,
,
,
解得,
令,
,
,
在中,
,
即
解得,
圆O的半径是5.
3.答案：（1）见解析
（2）圆O的半径为
解析:（1）证明:连结BD.
是圆O的直径,
.
.
,,
.
.
即.
是圆O的直径,
直线AE是圆O的切线.
（2）解:过点B作于点F,则.
,
,.
,,
=15
.
由（1）,又,
.
,
设,则,在中,由勾股定理得,可求得.
圆O的半径为.
4.答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:CE切圆O于E,
,
四边形ABCD是矩形,
,
,
,
（2）CE切圆O于E
,
,
5.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：为直径，.
，，.
又平分，.
，，
，平分.
(2)解：，.
，.
设BC与AD交于点M，如图，则.
，，，
即，，.
易证，，即，
.
6.答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:连接BD,
AD是圆O的直径,B为圆上的点,
,
,
,
,
,
AD是圆O的直径,即O为AD的中点,
E为AB的中点,
.
AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,
,
,即.
（2）解:,
又,
,即.
,
,
,.
如图,连接BD,
,AD是圆O的直径,,
.
同理,,,,
,.
AD是圆O的直径,B,C为圆上的点,,
.
,,
.
,
,
,
.
7.答案：(1)见解析
(2)
(3)①四边形KABE是筝形
②
解析：(1)如图1，连接MN、OT，则，
理由：，，，
，
，
，
；
(2)设AC、BD交于点M，
在中，，，
，
A，B，C，D四个点都在这个圆上，
，
，
，
BD为所求圆的直径，
，，
，
，
解得，
A，B，C，D四点所在圆的半径为；
(3)①连接BK，
四边形ABCD绕点B逆时针旋转30°，得到正方形GBEF，
，，
，
，
，
四边形KABE是筝形；
②，，
，
，
，
，
，
，，
，
.
8.答案： (1)
(2)3
(3) 等边三角形DEF 的面积存在最大值
解析： (1)略
(2) 如图 (1), 连接AD, 过点D 分别作 于点M, 于点N, 则,
, 点D 是BC 的中点,
，
(依据: 角平分线上的点到角两边的距离相等).
易证，.
在四边形AMDN 中, ,
,
, 即,
在和中, ，
，
，
，
，
在中,.
在中, ,
(3) 等边三角形DEF 的面积存在最大值.
如图 (2), 过点D 作 于点 G,于点H, 连接AD.
由 (2) 可知, ,
又,,
,,
AD是 的平分线,
.
是等边三角形,.
易知 ,当 且AD 取得最大值时,
面积最大.作 的外接圆, 过点 O作BC 的垂线, 垂足为点Q, 交 于点, M,N 则MN 平分, 连接AN, 如图(3)
又,
A,N,D三点共线,即AN 交BC 于点D.
,.
, 当ND 最小,即 时, AD取得最大值,
此时AN 为 直径, 点 A与点M 重合, AD 最大.
连接OB,OC, 在优弧BC 上任取一点K, 连接KB,KC,
四边形 ABKC是圆内接四边形,
,
,.
,,
,,
,
的最大值为.
9.答案：(1)证明见解析
(2)2s
(3)的长为或
(4)
解析：(1)，，.
在和中，
；
(2)如图1，分别过点A，D作，，垂足分别为M，N.
则.
当三角板过点P时，如图2，图3.
设，由(1)知，，，
，即，解得，.
点P在直角三角板内部(包括边界)的时长为：
；
(3)如图4，当时，.
，，，
；
如图5，当时，.
，，，
；
综上，当的外心落在的边上时，的长为或；
(4)设外接圆的圆心为O，其半径为r.
，劣弧所对圆周角为45°.
劣弧所对圆心角，
，当最小时，也最小，当最大时，最小.
设，，，，
，
当时，有最大值，最大值为，此时.
如图6，过点F作，交的延长线于点H，则，
，
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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