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理科数学试题(甲卷）
1．C【详解】因，则，，所以.故选：C
2．B【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；
对于B：乙的星期三步数7030，星期四步数12970.因为，所以没有增加1倍上.故B不正确；
对于C：，.所以.故C正确；对于D：所以.故D正确；故选：B.
3．C【详解】由题意得，则，而，
故，故选：C
4．D【详解】由题意中的三视图可还原的几何体为底面边长为2的正方形，
高为3的正四棱柱被平面截去一个三棱锥所得，（如图），其中点为的中点，
所以几何体的体积为：故选：D
5．D【详解】∵，定义域为R，又，
为奇函数，图象关于原点对称，可排除BC，又，可排除A.故选：D.
6．B【详解】由题意，，则，解得，所以，
故在上单调递增，则，解得.故选：B.
7．B【详解】设.连接.在长方体中，因为，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，因为，所以的取值区间为.故选B.
8．D【详解】解：设的长为.所以扇形的面积为.的面积为.所以该拱券的面积为.故选：D
9．B【详解】设圆锥形酒杯的母线为.作出轴截面图，如图所示，因为该酒杯的杯子口径为，侧面积（不含杯座和杯茎）为，所以，解得，即，.又红酒的高度比杯子的高度低，所以，所以，即，则红酒的体积为.故选：B．
10．B【详解】由题意可知，，设，，则，
于是所以，所以，故选：B
11．B【详解】当时，，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，所以，函数在上有且只有一个零点，所以，函数在上有个零点，当时，则，所以，，解得，故选：B.
12．C【详解】设，求导，所以当时，，单调递增，
故，即，所以；设，求导，所以当时，，单调递增，，所以，故.故选：C
13．【详解】由，有.故答案为：
14．【详解】双曲线的渐近线为，圆的圆心为，半径为1，由直线和圆没有公共点，可得，即为，解得，双曲线的焦距为：
．故答案为：．
15．/0.5【详解】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土共10种，其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共5种，所以取出的“两行”相生的概率,故答案为：
16．【详解】的内角所对的边成等比数列，所以,有.
由余弦定理得,所以.
又,解得.
故答案为.
17．（1）.当时，；
当时，，也符合.故的通项公式为.....................6分
（2），
，是以为首项，2为公差的等差数列，
，当时，的最小值为......................12分
18．（1）证明：∵在三棱柱中，平面，因为平面，故，因为，，所以平面，∵平面，∴，因为∥，所以，
因为，故四边形为菱形，故，∵，∴平面.....................6分
（2）由平面，平面，平面平面，
故，又M为中点，故N为中点.
以B为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则
，，设平面的法向量，
由，得，取，
又，设直线与平面所成的角大小为，
则即直线与平面所成角的正弦值为...............12分
19．【详解】（1）设“甲班级在篮球、足球、羽毛球中获胜”为事件A，B，C，
“甲班级获得冠军”为事件D，由题意得甲班级要获胜需至少胜两个项目，
则，，，
所以
（或者0.656）.....................6分
（2）由题意可得：X的可能取值为0，8，16，24，
所以X的分布列为
X 0 8 16 24
P
期望．
20．【详解】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．
....................5分
（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．
设直线：，若，则则不满足，所以．
设，，，由得：，，．因为，即，则，，
所以，解得，则，即，
直线：，联立，解得，
∴，当且仅当或时等号成立
∴的最小值为5．.....................12分
21．【详解】（1）当时，，所以
所以，
所以切线方程为，即.....................5分
（2）由题意得，即，
因为，所以
设，
令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，又时，，又时，，所以存在，使，
令，因为，所以当时，，即在区间上单调递减，
当时，，即在区间上单调递增，所以，所以，
即，得到，当且仅当时取等号，
所以，
当且仅当时取等号，所以，又，所以a的取值范围是......................12分
22．【详解】（1）把，代入，得曲线的极坐标方程为，即．
将中的参数消去，得曲线的普通方程为，
把，代入，得曲线的极坐标方程为，即．.....................5分
（2）由题得，，，
，
因为，所以
，
其中，，当，即时，的面积取得最大值．................10分
23．【详解】（1）∵，，
∴，
当且仅当，即，时取等号，∴．.....................5分
（2）由（1）得，即，
当时，不等式转化为，解得，
与求交集得，；
当时，不等式转化为，解得，
与求交集得，；
当时，不等式转化为，解得，
与求交集得．
综上，不等式的解集为．.....................10分
答案第1页，共2页安居育才卓同学校2023届高三下学期6月考前热身
理科数学试题(甲卷）
使用方法：快班先做后对答案，普通班边看边做
单选题（60分）
1．已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则为（ ）
A． B． C． D．
2．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
3．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且，函数在上的最大值为20，则c的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．0
7．在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为
A． B． C． D．
8．拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱 等边哥特拱 弓形拱 马蹄拱 二心内心拱 四心拱 土耳其拱 波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示是一个装有红酒的圆锥形酒杯（杯体为一个圆锥），已知该酒杯的杯子杯口直径为（忽略杯子的厚度），侧面积（不含杯座和杯茎）为，红酒的高度比杯子的高度低，则红酒的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率e为（ ）．
A． B． C． D．
11．若函数有个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
填空题（20分）
13．已知向量，其中，为单位向量，向量，的夹角为120°，则___________.
14．（理）已知双曲线的渐近线与圆没有公共点， 则该双曲线的焦距的取值范围为_____.
15．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______
16．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围为__________．
三、解答题（70分）
17．（12分）已知数列的前n项积.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前n项为，求的最小值.
18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)记和的交点为M，点N在线段上，满足平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）为了丰富学生的课外活动，学校举办篮球、足球、羽毛球比赛，经过前期的预赛和半决赛，最终甲、乙两个班级进入决赛，决赛中每个项目胜方得8分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军．已知甲班级在篮球、足球、羽毛球中获胜的概率分别为0.4，0.8，0.6，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲班级获得冠军的概率；
(2)用X表示乙班级的总得分，求X的分布列与期望．
20．（12分）已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．
21．（12分）已知，函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
选做题（10分）在22题，23题中选做一题
22．在直角坐标系xOy中，曲线的方程为．曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线和曲线的极坐标方程；
(2)若射线（，）交曲线于点P，直线与曲线和曲线分别交于点M、N，且点P、M、N均异于点O，求面积的最大值．
23．已知实数，，的最小值为M．
(1)求M的值；
(2)求不等式的解集．试卷第1页，共3页
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