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中考数学几何模型
第二十五节:二次函数三角形相似存在性问题
448.二次函数三角形相似存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于两点,点,分别位于原点的左、右两侧,,过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为,
(1)求b,c的值;
(2)求直线BD的函数解析式;
(3)点在抛物线的对称轴上且在轴下方,点在射线上.当与相似时,请直接写出所有满足条件的点的坐标.
449.二次函数线段最大值三角形相似存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于两点,且,与轴交于点,连接,抛物线对称轴为直线为第一象限内抛物线上一动点,过点作于点,与交于点,设点的横坐标为.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
450.二次函数铅垂定理面积最大值三角形形似存在性(初三)
如图,已知抛物线经过两点是抛物线与轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设的面积为,求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值;
(3)点在抛物线上运动,点在轴上运动,是否存在点、点使得,且与相似,如果存在,请求出点和点的坐标.
451.二次函数三角形面积定值三角形相似存在性问题(初三)
如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,顶点为,连接与抛物线的对称轴l交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点是第一象限内抛物线上的动点,连接,当时,求点的坐标;
(3)点是对称轴1右侧抛物线上的动点,在射线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似 若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
452.二次函数平行四边形存在性三角形相似存在性问题(初三)
如图,二次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,抛物线的顶点为,其对称轴与线段交于点,垂直于轴的动直线1分别交抛物线和线段于点和点,动直线1在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿轴正方向移动到点.
(1)求出二次函数和所在直线的表达式;
(2)在动直线1移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点的坐标;
(3)连接,在动直线1移动的过程中,抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似 如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
453.二次函数三角形相似存在性问题(初三)
已知抛物线与轴分别交于两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)点是线段上一个动点.
①如图1,设,当为何值时,
②如图2,以为顶点的三角形是否与相似 若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由.
454.二次函数三角形相似存在性问题(初三)
如图1,直线与抛物线交于两点,与轴于点,其中点的坐标为.
(1)求的值;
(2)将点绕点逆时针旋转得到点.
①试说明点D在抛物线上;
②如图2,将直线向下平移,交抛物线于两点(点在点的左侧),点在线段上.若(点分别与点对应),求点的坐标.
455.二次函数三角形存在性问题面积倍分动点问题(初三)
如图,已知抛物线过点和点.过点作直线轴,交轴于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上取一点,过点作直线的垂线,垂足为.连接,使得以为顶点的三角形与相似,求出对应点的坐标;
(3)抛物线上是否存在点,使得 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
448.【解】(1),
点,点,
抛物线解析式为:
;
(2)如图1,过点作于,
,
点横坐标为,
点坐标为,
设直线的函数解析式为:,
把点
代入得:,解得:,
直线的函数解析式为;
(3)点,点,点,,对称轴为直线直线BD:与轴交于点点,
,
如图1,过点作于,
,
,设对称轴与轴的交点为,即点
,现在分两种情况讨论:
第一种情况:若,如图3:
,(1)当,
点;
(2)当,点;
第二种情况:若，如图3:
,
(3).当点;
(4).当点;综上所述:满足条件的点的坐标为或或或.
449.【解】(1).设,则,则点的坐标分别为,则,解得:,故点的坐标分别为,,则抛物线的表达式为:,解得:,故抛物线的表达式为:;
(2).对于,令,则,故点,由点的坐标得,
直线的表达式为:,设点的横坐标为,则点,则点,则,,故DF有最大值,DF最大时,点;
(3)存在,理由如下:点,则,
以点为顶点的三角形与相似,则或,即或,即或,
解得:或-2(舍去)或或(舍去),经检验或是方程的解,且符合题意,故或.
450.【解】(1)将代入,得:,解得:,
抛物线的解析式为.
(2)过点作轴,交于点,如图1所示.
当时,点的坐标为,6).设直线的解析式为,
将代入,得:,
解得:直线的解析式为.
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,点的坐标为,则点的坐标为,
,
,
当时,面积取最大值,最大值为.
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,.
综上所述,关于的函数表达式为:的最大值为.
(3)存在点、点使得,且与相似.
第一种情况:如图2,,当点位于点上方,过点作轴于点,
,
,
若与相似,则与相似,
设,
,
当时,,解得,,此时,当时,,,解得,此时.
第二种情况:如图3,当点位于点的下方,过点作轴于点,设,
,
同理可得:或与相似,解得或或,,此时点坐标为或.
综合以上得,存在或,或或,使得,且与相似.
451.【解】(1)抛物线过点和点
,解得.拋物线解析式为:;
(2)当时,,
直线BC解析式为:,
,
,
如图1,过点作轴,交轴于点,交于点,设,
,
,
;
(3)存在,理由如下:
,
为等腰直角三角形,易知拋物线的对称轴为点的横坐标为3,又点在直线上,
点的纵坐标为,
设,
(1)如图2,当,则,解得或(舍去),此时点的坐标为,
(2)如图3,当时,,则,解得:或(舍去),
此时点的坐标为;
(3)如图4,当时,此时与相似,
此时的点与点关于(1)的结果对称,设,则,解得,;此时点的坐标为;
故在射线上存在点,使得以点为顶点的三角形与相似,点的坐标为:或(3,或.
452.【解】(1)将点,代入,得:,解得:,
次函数的表达式为:,
当时,,设所在直线的表达式为:,将代入,得:,解得:,
所在直线的表达式为:;
(2)轴,轴,,只要,四边形DEFP即为平行四边形,
,
点的坐标为:,将代入,
即点的坐标为:,
,设点的横坐标为,
则的坐标为:的坐标为:,
,由得:,解得:(不合题意舍去),,
当时,,
点的坐标为;
(3)存在,理由如下:如下图,连接,连接:
由(2)得:,
又与有共同的顶点,且在的内部,,
只有时,,
,
由(2)得:,
的坐标为:,,
解得:,当时,点的坐标为:.
453.【解】(1)抛物线过点,B(1,0),,解得:,
拋物线解析式为;
顶点的坐标为;
(2)①在Rt中,,
,A,
为直角三角形,且.求得直线
的解析式为,
设,
,
解得或(舍去),,
为的中点,.
②在Rt中,,
在Rt中,,
,
若以为顶点的三角形与相似,则可分两种情况考虑:
第一种情况:当时,,
,设直线的解析式为,
,解得:直线的解析式为直线的解析式为,
设直线的解析式为,解得:直线的解析式为,联立方程组,并解得:.
第二种情况:当时,,即是的角平分线,直线的解析式为联立得:,解得:.综合以上可得点的坐标为或.
454.【解】(1)由题意,得,解得.
(2)①如图,分别过点作轴于点,轴于点.由(1)可知,
直线的解析式为,
,
,
,当时,,
点在抛物线上.
②由,解得或点的坐标为直线的解析式为,直线的解析式为,设,
直线的解析式为,
由,解得
或,
,由题意可知,,
直线的解析式为,直线FG的解析式为,联立,解得:,
,令,解得
455.【解】(1)把和点代入拋物线得:,解得:,,则抛物线解析式为;
(2)存在,分两种情况讨论:
第一种情况:当在直线上方时,设坐标为,则有,,
①当时,,即,
整理得:,
即,解得:或(舍去)，此时;
②.当时,,
即,
整理得:,
即,解得:或(舍去),此时;
当点时,也满足;
第二种情况,当在直线下方时,同理可得:的坐标为,
综上所述,的坐标为或或或；
(3)在Rt中,,根据勾股定理得:,边上的高为,过作,截取,过作.当时,,,交轴于点,如下图所示:
在Rt中,,即,
过作轴,在Rt中,,,即,设直线解析式为,把代入得:,即,即,联立得:,
解得:或,
即(此时与点重合)或,则拋物线上存在点,使得,此时点的坐标为或.
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