卷子答案网-一个不只有答案的网站第一单元 集合、常用逻辑用语、不等式检测卷（基础卷）
答题卡
准考证号：
姓 名：_________________________________________
贴条形码区
此栏考生禁填 缺考
标记
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．正确填涂
注意事项
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多选选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。多选、错选不给分，选对部分给2分。
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．____________________ 14．____________________
15．____________________ 16．____________________
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）
数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）
第一单元 集合、常用逻辑用语、不等式检测卷（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝( )
A.4 B.－4 C.8 D.－8
2. 已知命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
3. 设x∈R，则“0
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A.a＋>b＋ B.>
C.a－>b－ D.>
5. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B.≤(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
6. 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
7. 设函数f(x)＝ln(e－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．[－，1]
B．(－，1)
C．(－∞，－]∪(1，)
D．(－∞，－)∪(1，)
8. 对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
10. 已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )
A.l α，l⊥β B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ D.l α，m β，l⊥m
11. 若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1
12. 对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和．给定集合S＝{1,2,3,4}，定义集合T＝{f(A)|A S，A≠ }，则下列说法正确的是( )
A．7∈T
B．8 T
C．集合T中有10个元素
D．集合T中有11个元素
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 命题“ x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是________.
14. 设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1
16. 设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 已知集合A＝{x|x2＋4x＋3＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a－3＝0}．
(1)当a＝1时，求A∪B；
(2)若A∩B＝{－3}，求a的值．
18. (12分)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
19. (12分)在①A∩B＝A，②A∩( RB)＝A，③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A＝{x|a－1
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. (12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
21. (12分)函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
22. (12分)对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称实数x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)对于函数f(x)＝2x－1，分别求出集合A和B；
(2)对于所有的函数f(x)，集合A与B是什么关系？并证明你的结论；
(3)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第一单元 集合、常用逻辑用语、不等式检测卷（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝( )
A.4 B.－4 C.8 D.－8
【解析】∵A∩B＝{－2}，可知－2∈B，
所以(－2)2－2m－12＝0，解得m＝－4.
故选B.
2. 已知命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4]
C.[4，＋∞) D.(0，4)
【解析】因为命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定为“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0
3. 设x∈R，则“0
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】由|x－1|<1可得0
4. 若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A.a＋>b＋ B.>
C.a－>b－ D.>
【解析】取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－ a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.
5. 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B.≤(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
【解析】由图可知，OC＝AB＝，OD＝|OB－BD|＝＝，
在Rt△OCD中，CD＝＝，显然OC≤CD，
即≤.
故选B.
6. 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
【解析】当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0
故选A.
7. 设函数f(x)＝ln(e－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．[－，1]
B．(－，1)
C．(－∞，－]∪(1，)
D．(－∞，－)∪(1，)
【解析】f(x)＝ln(e－x2)的定义域为e－x2>0，即x∈(－，)，
∴A＝(－，)．
∵y＝e－x2在(－，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，
∴f(x)＝ln(e－x2)在(－，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝ln e＝1；当x→－时，f(x)→－∞；当x→时，f(x)→－∞，
∴f(x)的值域为(－∞，1]，
∴B＝(－∞，1]．
图中阴影部分表示 A∪B(A∩B)，
又A∪B＝(－∞，)，A∩B＝(－，1]，
∴ A∪B(A∩B)＝(－∞，－]∪(1，)．
故选C.
8. 对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A. B.2 C.4 D.
【解析】∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，当且仅当＝即m＝n时取等号，∴a≤2，故a的最大值为2，故选B.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是( )
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
【解析】因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a＜b.因为y＝－c在(0，
＋∞)上是减函数，所以－c＞－c.因为－＝＞0，所以＞.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立，故选ABC.
10. 已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )
A.l α，l⊥β B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ D.l α，m β，l⊥m
【解析】由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意，对于选项D，l α，m β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意.故选ABC.
11. 若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A.a＋b＋c≤ B.(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1
【解析】由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，
∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2.因此，A，C错误，B，D正确.故选BD.
12. 对于非空数集M，定义f(M)表示该集合中所有元素的和．给定集合S＝{1,2,3,4}，定义集合T＝{f(A)|A S，A≠ }，则下列说法正确的是( )
A．7∈T
B．8 T
C．集合T中有10个元素
D．集合T中有11个元素
【解析】∵A S且A≠ .
①当A为单元素集合时，集合A可取{1}，{2}，{3}，{4}，f(A)可取1,2,3,4；
②当A中的元素个数为2时，集合A可取{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，
f(A)可取3,4,5,6,7；
③当A中的元素个数为3时，集合A可取{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，f(A)可取6,7,8,9；
④当A＝S时，f(A)＝10.
综上所述，T＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，AC选项正确，BD选项错误．
故选AC.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13. 命题“ x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是________.
【解析】 x∈R，x2＋x＋1≤0
14. 设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1
又B＝{x|1
【解析】将参加三种竞赛的人数情况画出Venn图，如图所示．
不妨设这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有x人，
则只参加数学、化学竞赛的有(15－x)人，只参加物理、化学竞赛的有(15－x)人，只参加数学、物理竞赛的有(20－x)人，
只参加数学竞赛的有40－(20－x)－(15－x)－x＝5＋x(人)，
只参加物理竞赛的有40－(20－x)－(15－x)－x＝5＋x(人)，
只参加化学竞赛的有45－(15－x)－(15－x)－x＝15＋x(人)，
故参加竞赛的总人数为5＋x＋5＋x＋15＋x＋15－x＋15－x＋20－x＋x＝80，
解得x＝5.
16. 设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
【解析】令t＝cos x，t∈[－1，1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]恒成立，因此 ∵a<0，∴a≤－2.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (10分) 已知集合A＝{x|x2＋4x＋3＝0}，B＝{x|x2－2ax＋a2－a－3＝0}．
(1)当a＝1时，求A∪B；
(2)若A∩B＝{－3}，求a的值．
【解析】(1)依题意，A＝{x|x2＋4x＋3＝0}
＝{－3，－1}，
当a＝1时，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，
所以A∪B＝{－3，－1,3}．
(2)因为A∩B＝{－3}，则－3∈B，
于是得(－3)2－2a×(－3)＋a2－a－3＝0，即a2＋5a＋6＝0，解得a＝－2或a＝－3，
当a＝－2时，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－3，－1}，则A∩B＝{－3，－1}，不符合题意；
当a＝－3时，B＝{x|x2＋6x＋9＝0}＝{－3}，则A∩B＝{－3}，符合题意，
综上得，a的值是－3.
18. (12分) 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
【解析】(1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，
故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2).
19. (12分) 在①A∩B＝A，②A∩( RB)＝A，③A∩B＝ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：已知集合A＝{x|a－1
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)当a＝2时，A＝{x|1
当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝ B，符合题意；
当a－1<2a＋3，即a>－4时，A≠ ，
由A B可得解得－1≤a≤，此时－1≤a≤.
综上所述，实数a的取值范围是.
选②，由(1)可得 RB＝，因为A∩( RB)＝A，则A RB.
当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝ RB，符合题意；
当a－1<2a＋3，即a>－4时，A≠ ，
由A RB可得2a＋3≤－2或a－1≥4，解得a≤－或a≥5，此时－4
选③，当a－1≥2a＋3，即a≤－4时，A＝ ，A∩B＝ ，满足题意；
当a－1<2a＋3，即a>－4时，A≠ ，
因为A∩B＝ ，则2a＋3≤－2或a－1≥4，解得a≤－或a≥5，此时－4
20. (12分) 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x＝4－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
(2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
【解析】(1)由题意，当t＝0时，x＝1，则1＝4－ k＝3，于是x＝4－，所以y＝1.5··x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t
＝3＋6－t＝27－－t(t≥0)．
(2)由(1)得，y＝27－－t＝27.5－
≤27.5－2＝21.5，
当且仅当＝t＋0.5，即t＝2.5时“＝”成立．
所以该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大．
21. (12分) 函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
【解析】(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②或
③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ，解③得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立.
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
22. (12分) 对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称实数x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)对于函数f(x)＝2x－1，分别求出集合A和B；
(2)对于所有的函数f(x)，集合A与B是什么关系？并证明你的结论；
(3)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
【解析】(1)由f(x)＝x，得2x－1＝x，解得x＝1；
由f(f(x))＝x，得2(2x－1)－1＝x，
解得x＝1，
∴集合A＝{1}，B＝{1}．
(2)若A＝ ，则A B显然成立，若A≠ ，设t为A中任意一个元素，由f(f(t))＝f(t)＝t∈B，可得A B.
(3)∵A＝{－1,3}，
∴即
解得
∴f(x)＝x2－x－3，
∴f(f(x))＝f(x2－x－3)＝(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
即(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
即(x－)(x＋)(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＝±或x＝－1或x＝3，
∴B＝{－，－1，，3}．
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