卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年3月份高二数学考试卷
一、单选题
1．设函数，则（ ）
A． B． C． D．0
2．已知，若方程有99个实数根，则的值为（ ）
A．5050 B．1 C．0 D．100
3．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
5．如果自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．那么，“集中数”一共有（ ）个．
A．65 B．70 C．75 D．80
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是离最近的整数，则数列的前2021项和是（ ）
A．60544 B．60585 C．60612 D．60625
二、多选题
9．已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（ ）
A．椭圆的长轴长为8 B．满足的面积为4的点恰有2个
C．的的最大值为16 D．直线与直线斜率乘积为定值
10．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．数列为等差数列
C．数列为等差数列 D．为奇数时，
11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时， B．，都有
C．的解集为 D．的单调递增区间是，
12．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是的极小值点
B．有三个零点
C．曲线与直线只有一个公共点
D．函数为奇函数
三、填空题
13．已知集合，集合，则以集合为定义城，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答）
14．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.
15．已知函数所有满足的点中，有且只有一个在圆C上，则圆C的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）
16．对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为______．
四、解答题
17．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，求：
(1)能被5整除的概率；
(2)是偶数的概率；
(3)千位大于百位大于十位大于个位的概率．
18．已知数列的前n项和为，且对任意正整数，都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求的最大值．
19．某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．
20．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前n项和，证明：．
21．已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
1．D
【详解】因为为常数，所以. 故选：D.
2．C
【详解】根据题意，有．故选：C.
3．B
【详解】由题意杯子的底面面积，
则杯中溶液上升高度，则，
当时，，
即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为. 故选：B.
4．D
【详解】由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.
故. 故选：D.
5．C
【详解】解：自然数是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把自然数叫做“集中数”．
则3个数，相等或相邻，
十位数为0时，有100，或101，共2个；
十位数为1时，有110，111，112，210，211，212共6个；
十位数为2时，有121，123，122，222，221，223，321，322，323，共9个；
十位数为3，4，5，6，7，8时，与十位数是2时，相同各有9个；
十位数为9时，有，899，898，998，999共4个．综上共有：个．
故选：．
6．A
【详解】.
设，则有，单调递减，
从而，所以，故，即，
而，故有． 故选：A．
7．D
【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图象，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为,，
由，得，，故切线方程为，
把定点代入得：，即．，
即直线的斜率为．
则使有三个不同的零点的的取值范围是．故选：D
8．B
【详解】显然，其中，
因此，
因此取值为k的项有个，考虑到，
于是数列的前2021项和． 故选：B.
9．AC
【详解】由椭圆方程可得：.
对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；
对于，因为，则，，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；
对于，由椭圆的定义可得：当且仅当等号成立，则， 所以的的最大值为，故选项正确；
对于，设点，则，则有，
又因为，所以，
故选项错误， 故选：.
10．AC
【详解】对于A，因为，
所以，则，故A正确；
对于B，因为，，所以不是等差数列，故B错误；
对于C，因为，所以，
两式相减，得，所以为等差数列，故C正确；
对于D，因为，所以，
两式相减，得，所以数列的奇数项为等差数列，公差为，
又由选项C知，的偶数项也为等差数列，公差为，，
当为奇数时，
，故D错误.
11．BD
【详解】对于A，当时，，则，
函数在其定义域上是奇函数，则，故A错误；
对于B，当时，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，
当时，，，则；
当时，，，则，
综上，当时，，
因为函数是奇函数，所以，
当时，，故B正确；
对于C，由B可知，当时，，，则；
当时，，，则，
因为函数是奇函数，所以当时，；当时，，
因为函数是奇函数，所以，
综上，不等式，其解集为，故C错误；
对于D，由B可知，当时， 单调递增；当时， 单调递减，
因为函数是奇函数，所以当时， 单调递减；
当时， 单调递增，故D正确. 故选：BD.
12．ABC
【详解】由函数，则求导可得，
令，解得或，可得下表：
极大值 极小值
则是的极小值点，故A正确；
，，
由，，
显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；
联立，消去可得，化简可得，
则该方程组存在唯一实根，故C正确；
令，
，故D错误. 故选：ABC.
13．
【详解】分以下两种情况讨论：
①集合中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，满足条件的函数个数；
②集合中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，满足条件的函数个数.
由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为. 故答案为：.
14．
【详解】以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则，
所以，所以，
，则，
则
，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以当时，最短，此时. 故答案为：
15．(答案不唯一，与直线相切即可)
【详解】解：因为，，
所以为奇函数，因为，所以在上单调递增，
因为，即，
即，因为单调，所以有，
即，所以在直线上，
因为直线与圆C有且只有一个共同的点，只需直线与圆相切即可，
若圆的圆心为，则，此时圆的方程为
故答案为：(答案不唯一，与直线相切即可)
16．
【详解】由题意可得，
∴时，，
两式相减可得：，化为，
时，，满足上式，故
故，
∵对任意的恒成立，
∴ ，即，
解得，即， 故答案为：
17．(1)； (2)； (3).
【详解】（1）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数的个数是：，
能被5整除的四位数，个位数字是0的四位数有个，个位数字是5的四位数有个，
因此能被5整除的四位数的总个数是：，
所以能被5整除的概率是.
（2）组成的四位偶数中，个位数字是0的有，个位数字是2，4之一的有个，
因此组成的四位偶数总个数是：，
所以是偶数的概率.
（3）千位大于百位大于十位大于个位的四位数个数是：，
所以千位大于百位大于十位大于个位的概率.
18．(1) (2)
【详解】（1）解：当时，，所以，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．
（2）解：，所以，，
所以，数列为等差数列，所以，
所以当或时，取得最大值．
19．把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为，且，所以，即，
故点所在曲线段的方程为，
设是曲线段上的任意一点，
则在矩形中，，，
所以，桌面板的面积为，
，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以当时，有最大值，此时，，此时，.
答：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米．
20．(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，所以，即
从而，
， 则．
显然满足上式，所以
（2）由（1）知，
所以，所以．
又因为，
所以，
所以．
21．(1) (2)存在，
【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，
因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，
又点在双曲线上，所以，整理得：
因为的面积为8，所以，则，
故双曲线的方程为；
（2）由（1）可得，所以为
当直线的斜率存在时，设方程为：，，
则，所以，则
恒成立，所以，
假设在轴上是否存在定点，设，则
要使得为常数，则，解得,定点，；
又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，
若，则，符合上述结论；
综上，在轴上存在定点，使为常数，且.
22．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为； (2).
【详解】（1），，
令，得或，
令，得或，令，得，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）关于x的不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，得，即，
令，
，
因为，所以，设，则，
令，得,令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
所以，所以在上为增函数，
所以，即.
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