作业24：整式的乘法与因式分解（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业（含解析）

作业24：整式的乘法与因式分解（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．设a、b是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②；③（－a）*b＝a*（－b）；④a*（b＋c）＝a*b＋a*c，其中正确推断的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④
3．计算的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（ ）
A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
6．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若代数式的值不小于零，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
8．运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式9x2+6x+1进行因式分解，公式中的a可以是（　　）
A．3x B．3x2 C．6x D．9x2
9．如果，，，那么a、b、c三个数的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
11．若，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，如果要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
13．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
14．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（ ）
A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会
15．将用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ）
A． B． C． D．
16．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（ ）
A． B．
C． D．
17．计算：a a6＝（ ）
A．a6 B．a7 C．2a6 D．2a7
18．因式分解：x2﹣4y2＝（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x+2y）（2x﹣y） D．（2x+y）（x﹣2y）
19．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
20．若，则代数式的值等（ ）．
A．5 B．9 C． D．
二、填空题
21．若代数式，，则________．（用、的代数式表示）
22．计算：＝___．
23．如果a2＝5，b2＝3，那么（a+b）（a﹣b）＝___．
24．若m（m﹣4n）+n（2m+n）＝25，mn＝6，则（m+n）2＝___．
25．已知a=﹣（0.3）2，b=﹣3﹣2，c=（﹣）﹣2，d=（﹣）0，用“＜”连接a、b、c、d为________．
26．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．
27．如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，长为、宽为的长方形卡片4张，边长为的正方形卡片4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．
28．若，则_________．
29．若，则______．
30．已知实数m，n满足，则代数式的最小值为________．
31．已知多项式：①；②；③；④；其中能运用平方差公式分解因式的是________．（填序号即可）
32．分解因式：ma2﹣2ma+m＝___．
33．若的乘积中不含项，则a的值为______．
34．已知，，则_______．
35．计算：__________．
36．=_______．
37．一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为________．
38．若，则的值为__________．
39．已知，则代数式的值为_______________________．
40．已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
三、解答题
41．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
42．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
43．（1）已知：，，求的值．
（2）已知：，求的值．
44．先化简，再求值：，其中，．
45．若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
46．已知，，用含，的式子表示下列代数式：
(1)求：的值；
(2)求：①的值；
②已知，求的值．
47．解决下列问题：
(1)若4a-3b+7=0，求32×92a+1÷27b的值；
(2)已知x满足22x+4-22x+2=96，求x的值．
(3)对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b） （c，d）=ad-bc+2，例如：（1，3） （2，4）=1×4-2×3+2=0．当a2+a+5=0时，求（2a+1，a-2） （3a+2，a-3）的值．
48．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵
∴
解决以下问题：
(1)将指数转化为对数式：______．
(2)仿照上面的材料，试证明：．
(3)拓展运用：计算．
49．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
50．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式分解因式．
（2）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
51．第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
第二步：理解知识，尝试填空：
（1）
第三步：应用知识，因式分解：
（2） x2-(p+q)x+pq；
（3）．
第四步：提炼思想，拓展应用
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
52．请利用多项式的乘法验代数恒等式：，并根据此结论解答下列问题：
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）已知，，求的值．
53．先化简，再求值：，其中．
54．先化简，再求值：，其中a，b满足
55．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如|x－2|＋(y＋3)2＝0，因为|x－2|，(y＋3)2都是非负数，则x－2＝0，y＋3＝0，即可求x＝2，y＝－3，应用知识解决下列各题：
(1)若(x＋4)2＋(y－3)2＝0，求x，y的值．
(2)若x2+y2-2x+4y=-5，求．
(2)若2x2＋3y2＋8x－6y＝－11，求(x＋y)2020的值．
56．先分解因式，再求值：，其中，．
57．仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
解得
∴另一个因式为的值为．
仿照以上方法解答问题：
（1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值；
（2）若二次三项式可分解为，求的值；
（3）若二次三项式可分解为，求的值．
58．利用平方去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如：,移项得,两边平方得,∴,即．
结合上面例子完成下面题目：已知．
求（1）的值．
（2）的值．
59．先化简，再求值：，其中．
60．阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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作业24：整式的乘法与因式分解（单元综合练习）-2023七年级升八年级数学暑假巩固提高作业
一、单选题
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂乘除法，零指数幂，完全平方公式求解即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算正确，符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，同底数幂的乘除法，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键，零指数幂的结果为0，同底数幂乘除法底数不变，指数相加减．
2．设a、b是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②；③（－a）*b＝a*（－b）；④a*（b＋c）＝a*b＋a*c，其中正确推断的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据题中的新定义进行计算，逐项判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
①a*b=（a-b）2，b*a=（b-a）2，正确；
②（a*b）2=[（a-b）2]2=（a-b）4，a2*b2=（a2-b2）2=（a+b）2（a-b）2，不正确；
③，正确；
④a*（b+c）=（a-b-c）2，a*b+a*c=（a-b）2+（a-c）2，不正确．
故选A
【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，弄清题中的新定义以及乘法公式是解本题的关键．
3．计算的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：22021×()1010
=22020×2×（）1010
=（22）1010×（）1010×2
=41010×（）1010×2
=（4×）1010×2
=11010×2
=1×2
=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方的混合运算，能正确运用积的乘方的逆运算进行计算是解此题的关键．
4．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把原式化为，再根据进行计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则， 解题关键是灵活运用．
5．若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（ ）
A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【答案】C
【分析】根据题意可得设4x2+mx-5=（2x-5）（kx+b），进而解出k、b再根据m=2b-5k即可得出答案．
【详解】解：∵2x-5是多项式4x2+mx-5（m为系数）的一个因式，
设4x2+mx-5=（2x-5）（kx+b），
∴2kx2+（2b-5k）x-5b=4x2+mx-5，
∴2k=4，5b=5，
解得k=2，b=1，
∴m=2b-5k=-8．
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，根据题意得出另一个因式并让每一项系数一一对应是解答本题的关键．
6．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a＋b）（a b）＝，找出整式中的a和b，进行判定即可．
【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误；
B、（ x＋y）（x y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误；
C、（2x y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确；
D、（ x y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键．
7．若代数式的值不小于零，则的取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把代数式去括号，然后合并同类项，再根据代数式的值不小于零，列出不等式求解即可．
【详解】解：
，
∵代数式的值不小于零，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了合并同类项和解一元一次不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
8．运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式9x2+6x+1进行因式分解，公式中的a可以是（　　）
A．3x B．3x2 C．6x D．9x2
【答案】A
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【详解】解：∵9x2+6x+1
=（3x）2+2×3x+1
=（3x+1）2，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：3x．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
9．如果，，，那么a、b、c三个数的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先分别求出a、b、c三个数的值各是多少，然后根据实数大小比较的方法，判断出a、b、c三个数的大小关系即可．
【详解】
．
故选C．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，负整数指数幂的运算，零指数幂的运算，熟练掌握是解答此问题的关键．
10．长方形的面积是，一边长是，则它的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵长方形的面积是，一边长是3a，
∴它的另一边长是：
．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11．若，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．
【详解】解：∵3 9m 27m=3 32m 33m=31+2m+3m=326，
∴1+2m+3m=26，
解得m=5．
故选C．
【点睛】本题考查了幂的乘方法则的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．
12．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，如果要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】D
【分析】计算，结果中ab项的系数即为需要C类卡片的张数．
【详解】解：∵，
∴需要C类卡片7张，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是理解结果中，ab项的系数即为需要C类卡片的张数．
13．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据完全平方公式逐项排查即可．
【详解】解：A. 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意，
B. =，符合题意；
C. 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意，
D. 不能用完全平方公式分解因式，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了因式分解和完全平方公式，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
14．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，5，，a，，分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（ ）
A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会
【答案】B
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为5a（x-y）（x+y）（a-b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．
【详解】解：5a2（x2-y2）-5ab（x2-y2）=5a（x2-y2）（a-b）=5a（x-y）（x+y）（a-b）， 信息中的汉字有：我、爱、会、运、城． 所以经密码翻译呈现准确的信息是我爱城运会，
故选B．
【点睛】本题主要考查因式分解的方法，解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
15．将用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据确定公因式的方法进行判断即可．
【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提出的公因式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了用提取公因式进行因式分解，解题关键是明确公因式的确定方法．
16．下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、B、D的右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解；C是因式分解．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．
17．计算：a a6＝（ ）
A．a6 B．a7 C．2a6 D．2a7
【答案】B
【分析】根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算即可得到答案．
【详解】解：
故选：B
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．因式分解：x2﹣4y2＝（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（x+2y）（2x﹣y） D．（2x+y）（x﹣2y）
【答案】A
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【详解】x2-4y2=（x+2y）（x-2y）
故选A．
【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
19．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，根据因式分解的定义作答即可．
【详解】A、结果不是积的形式，故此选项错误；
B、 x2 9=(x+3)(x 3)，故此选项正确；
C、x(a b)=ax bx，是整式的乘法，故此选项错误；
D、结果中有不是整式的式子，故此选项错误．
故本题选B．
【点睛】本题考查了学生概念辨析的能力，解决本题的关键是掌握因式分解的定义．
20．若，则代数式的值等（ ）．
A．5 B．9 C． D．
【答案】A
【分析】用配方法变形得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
把代入中
原式
故选A．
【点睛】此题考查了完全平方公式及二次根式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
21．若代数式，，则________．（用、的代数式表示）
【答案】
【分析】根据，，可以得到，由此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．计算：＝___．
【答案】
【分析】根据式子的特点，将分母用平方差公式展开，再进行计算即可．
【详解】．
故答案为：
【点睛】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式是解题的关键．
23．如果a2＝5，b2＝3，那么（a+b）（a﹣b）＝___．
【答案】
【分析】将代数式逆用平方差公式进行计算，再将已知式子的值代入求解即可．
【详解】 a2＝5，b2＝3，
（a+b）（a﹣b）=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
24．若m（m﹣4n）+n（2m+n）＝25，mn＝6，则（m+n）2＝___．
【答案】49
【分析】现将等式化简，在根据完全平方公式变形即可求得答案．
【详解】
即
．
故答案为：49．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
25．已知a=﹣（0.3）2，b=﹣3﹣2，c=（﹣）﹣2，d=（﹣）0，用“＜”连接a、b、c、d为________．
【答案】b＜a＜d＜c
【分析】首先利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，再利用有理数大小比较方法，进而得出答案．
【详解】解：；；；，
故用“＜”号把、、、连接起来：．
故答案为．
【点睛】本题考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质、有理数大小比较，正确化简各数是解题的关键．
26．已知a+b＝2，a﹣b＝3．则a2﹣b2的值为 ___．
【答案】6
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【详解】解：当a+b=2，a-b=3时，
a2-b2=（a+b）（a-b）=2×3=6．
故选：6．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
27．如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，长为、宽为的长方形卡片4张，边长为的正方形卡片4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为_____．
【答案】
【分析】根据题意列出关系式，分解因式即可得正方形边长．
【详解】解：根据题意得：，
则这个正方形的边长为，
故答案是：；
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和理解因式分解的方法是解本题的关键．
28．若，则_________．
【答案】35
【分析】把多项式分解因式即可解决．
【详解】
故答案为：35．
【点睛】本题考查了多项式因式分解，涉及整体思想．
29．若，则______．
【答案】-808．
【分析】计算先提公因式101，然后利用拆项方法=，利用分配律化简=再计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=
=-808
故答案为-808．
【点睛】本题考查加减乘混合运算，利用因式分解提公因式，然后拆项，利用乘法分配律化简，掌握加减乘混合运算顺序与步骤，利用因式分解提公因式，然后拆项，利用乘法分配律化简是解题关键．
30．已知实数m，n满足，则代数式的最小值为________．
【答案】11
【分析】由 可得，再代入，再利用配方法配方，从而可得答案．
【详解】解： ∵，
∴，
∴
∴，
∴的最小值是．
故答案为：
【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键．
31．已知多项式：①；②；③；④；其中能运用平方差公式分解因式的是________．（填序号即可）
【答案】②
【分析】利用平方差公式的特点判断即可得到结果．
【详解】解：①x2+4y2不能运用平方差公式分解因式；
②能运用平方差公式分解因式；
③不能运用平方差公式分解因式；
④不能运用平方差公式分解因式，
则能用平方差公式分解的是②．
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
32．分解因式：ma2﹣2ma+m＝___．
【答案】m（a－1）2
【分析】先提公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：ma2﹣2ma+m= m（a2﹣2a+1）=m（a－1）2，
故答案为：m（a－1）2．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
33．若的乘积中不含项，则a的值为______．
【答案】
【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0，列式求解即可．
【详解】解：
，
∵乘积中不含x2项，
∴， 解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键．
34．已知，，则_______．
【答案】2
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减即可解答．
【详解】解：am-n=am÷an=6÷3=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，与同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
35．计算：__________．
【答案】
【分析】先算幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟记“幂的乘方、同底数幂的乘法和同底数幂的除法的运算法则”是正确解答本题的关键．
36．=_______．
【答案】
【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键．
37．一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为________．
【答案】30
【分析】直接利用已知得出a+b ，ab的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，
，，
故，
则．
故答案为30．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a+b 的值是解题关键．
38．若，则的值为__________．
【答案】26
【分析】先运用整式乘法法则计算，得到最简结果，变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：由得：，
原式＝
＝
＝
＝
＝，
故填：26
【点睛】此题考查了整式的混合运算 化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，多项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
39．已知，则代数式的值为_______________________．
【答案】-8
【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．
【详解】∵
，
∵，
∴，
又，
∴原式=2×(-4)
=-8．
故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
40．已知多项式，那么我们把和称为的因式，小汪发现当或时，多项式的值为0．若有一个因式是（为正数），那么的值为______，另一个因式为______．
【答案】 1
【分析】根据题意类比推出，若是的因式，那么即当时，．将代入，即可求出a的值．注意题干要求a为正数，再将求得的解代入原多项式，进行因式分解即可．
【详解】∵是的因式，
∴当时，，即，
∴，∴，
∵为正数，∴，∴可化为，
又∵
∴另一个因式为．
故答案为：1；
【点睛】本题考查根据题意用类比法解题和因式分解的应用，注意题干中a的取值为正数是关键．
三、解答题
41．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)39999.75
(4)1
【分析】（1）根据平方差公式进行运算即可得到答案；
（2）根据平方差公式进行运算即可得到答案；
（3）根据平方差公式进行运算即可得到答案；
（4）根据完全平方公式进行运算即可得到答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则、乘除运算法则，本题属于基础题型．
42．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式求解即可；
（3）利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解，熟记公式并正确求解是解答的关键．
43．（1）已知：，，求的值．
（2）已知：，求的值．
【答案】（1）10；（2）27
【分析】（1）利用同底数幂乘法的法则将化成，代入计算即可得出答案；
（2）由，可得，再把变为，代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴
；
（2）∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘法法则是解决问题的关键．
44．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，11
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
．
当，时，
∴原式=．
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
45．若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析
(2)8109或8190或4536或4563．
【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；
（2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．
【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；
理由：∵，，
∴1022不是“勾股和数”；
∵，
∴5055是“勾股和数”；
（2）∵为“勾股和数”，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，
∵为整数，
∴为3的倍数，
∴①，或，，此时或8190；
②，或，，此时或4563，
综上，M的值为8109或8190或4536或4563．
【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
46．已知，，用含，的式子表示下列代数式：
(1)求：的值；
(2)求：①的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）分别将，化为底数为2的形式，然后代入求解即可；
（2）①分别将，化为底数为2的形式，然后代入求解即可；
②将化为，将16化为，列出方程求出x的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
47．解决下列问题：
(1)若4a-3b+7=0，求32×92a+1÷27b的值；
(2)已知x满足22x+4-22x+2=96，求x的值．
(3)对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b） （c，d）=ad-bc+2，例如：（1，3） （2，4）=1×4-2×3+2=0．当a2+a+5=0时，求（2a+1，a-2） （3a+2，a-3）的值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）把所求式子中的幂化为同底的幂，利用同底数幂的乘除法则及已知，即可求得值；
（2）逆用同底数幂的法则，然后合并同类项，最后化为两个同底且幂相等的两个幂，则其指数相等便求得x的值；
（3）根据规定的运算法则，计算出（2a+1，a-2） （3a+2，a-3），整体代入即可求得结果的值．
【详解】（1）由4a-3b+7=0，得4a-3b= 7
（2）∵
即
∴
∴
即2x+2=5
解得：
（3）当a2+a+5=0时，
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、多项式的乘法运算，求代数式的值等知识，对于前两个题，当是不同底幂的乘除运算或加减 时，化成同底或同指数的幂，再利用幂的相关法则进行计算或合并同类项；当一边是幂一边不是幂时，两边均要化为同底的幂；第三小题关键是明白题中规定的运算法则．本题涉及整体代入法求代数式的值．
48．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：
设，，则，
∴，由对数的定义得
又∵
∴
解决以下问题：
(1)将指数转化为对数式：______．
(2)仿照上面的材料，试证明：．
(3)拓展运用：计算．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）根据对数式的形式进行求解即可；
（2）仿照上面的材料，进行证明即可；
（3）结合对数式的性质进行求解即可．
【详解】（1）43=64转化为对数式为：3=log464，
故答案为：；
（2）证明：设，则，
∴，由对数的定义得，
又∵，
∴，
即 (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)．
（3）
=
=1．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
49．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】(1)用完全平方公式分解因式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的特点即可得到答案；
（2）观察可知第四步的结果括号内还可以用完全平方公式分解因式；
（3）仿照题意进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是用完全平方公式分解因式；
（2）解：设，
原式



，
∴该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
（3）解：设，
∴
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知用完全平方公式分解因式是解题的关键．
50．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式分解因式．
（2）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法把x2+y2-4x-6y+15变形成(x-2)2+(y-3)2+2，再根据平方的非负性，可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）证明：
，
故，取任何实数时，多项式的值总为正数．
【点睛】本题考查了配方法的应用、因式分解以及平方差公式，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
51．第一步：阅读材料，掌握知识．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
第二步：理解知识，尝试填空：
（1）
第三步：应用知识，因式分解：
（2） x2-(p+q)x+pq；
（3）．
第四步：提炼思想，拓展应用
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）（2）（3）（4）等边三角形，理由见详解．
【分析】（1）如果把一个多项式各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式刚好相同，那么这个多项式即可利用分组分解法来因式分解，据此即可求解；
（2）先展开（p＋q）x，再利用分组分解法来因式分解，据此即可求解；
（3）直接利用分组分解法来因式分解即可求解；
（4）根据所给等式，先移项，再利用完全平方公式和等边三角形的判定求证即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）等边三角形，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
即
∴这个三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查因式分解—提公因式法，因式分解—分组分解法，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是读懂材料并熟知因式分解的方法．
52．请利用多项式的乘法验代数恒等式：，并根据此结论解答下列问题：
（1）计算：；
（2）因式分解：；
（3）已知，，求的值．
【答案】验证过程见详解；（1）；（2）；（3）－18
【分析】利用乘法分配律进行展开计算即可验证恒等式；
（1）根据题中的恒等式计算即可；
（2）逆用题中的恒等式分解即可；
（3）已知等式利用完全平方公式展开，计算求出的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】解：
＝
＝；
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3），即：，
∵ ，
∴＝10，
∴原式＝＝－18．
【点睛】本题考查多项式乘法、完全平方公式、因式分解，解题的关键是灵活运用题目中的信息．
53．先化简，再求值：，其中．
【答案】；56
【分析】先用整式四则混合运算法则化简，然后将代入求值即可．
【详解】解：
=
=
当时，原式==56．
【点睛】本题主要考查了整式的四则混合运算、整式的化简求值等知识点，正确的化简原式是解答本题的关键．
54．先化简，再求值：，其中a，b满足
【答案】48
【分析】利用已知的等式可得a＋b＝1、a－b＝3，联立成方程组解得a、b的值，再应用整式混合运算法则化简代数式，最后代入计算即可．
【详解】解： ∵，
∴ ，
解得：，
原式
，
把a＝2，b＝－1代入得：原式＝－6×23×（－1）＝48．
【点睛】本题考查平方、绝对值的非负性、整式的混合运算，利用二元一次方程组求得a、b的值是关键．
55．我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如|x－2|＋(y＋3)2＝0，因为|x－2|，(y＋3)2都是非负数，则x－2＝0，y＋3＝0，即可求x＝2，y＝－3，应用知识解决下列各题：
(1)若(x＋4)2＋(y－3)2＝0，求x，y的值．
(2)若x2+y2-2x+4y=-5，求．
(2)若2x2＋3y2＋8x－6y＝－11，求(x＋y)2020的值．
【答案】（1）x=-4，y=3；（2）1；（3）1
【分析】（1）根据非负数的性质可求x，y的值．
（2）先配方，再根据非负数的性质可求x，y的值，再代入计算即可求解．
（3）先配方，再根据非负数的性质可求x，y的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：（1）∵(x＋4)2＋(y－3)2＝0，
∴x+4=0，y-3=0，
∴x=-4，y=3；
（2）∵x2+y2-2x+4y=-5，
∴x2-2x+1+y2+4y+4=0，
∴（x-1）2+（y+2）2=0，
∴x-1=0，y+2=0，
∴x=1，y=-2，
∴xy=1；
（3）∵2x2＋3y2＋8x－6y＝－11，
∴2x2＋8x＋8＋3y2－6y＋3＝0，
∴2（x+2）2+3（y-1）2=0，
则x+2=0，y-1=0，
解得x=-2，y=1，
∴(x＋y)2020=（-1）2020=1．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟悉完全平方公式是解题的关键，要注意，在变形的过程中不要改变式子的值．
56．先分解因式，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得．
【详解】原式，
，
，
当，时，原式，
，
．
【点睛】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
57．仔细阅读下面的例题，解答问题：
例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则，
解得
∴另一个因式为的值为．
仿照以上方法解答问题：
（1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值；
（2）若二次三项式可分解为，求的值；
（3）若二次三项式可分解为，求的值．
【答案】（1）另一个因式为的值为3；（2）；（3）．
【分析】（1）设另一个因式为（x+t），得2x2-5x+k=（2x-3）（x+t）=2x2+（2t-3）x-3t，可知2t-3=-5，k=-3t，继而求出t和k的值及另一个因式．
（2）将（x-2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（3）（2x-1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
【详解】（1）设另一个因式为，得
，
则
解得
故另一个因式为的值为3．
（2），
解得．
（3），
．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
58．利用平方去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如：,移项得,两边平方得,∴,即．
结合上面例子完成下面题目：已知．
求（1）的值．
（2）的值．
【答案】（1）1；（2）2018
【分析】（1）先移项，再将等式两边同时平方，利用完全平方公式展开即可求解；
（2）利用（1）中求得等式，再将提取公因式即可求解．
【详解】（1）
移项得
两边平方得
所以
故答案为：1
（2）∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=-1+2019
=-2018
故答案为：2018
【点睛】本题考查了因式分解的应用，用提公因式法先化简再求值：当已知条件不容易解出每个字母的取值时，可通过提公因式构造已知条件中式子的值，然后运用整体代入求出代数式的值；以及完全平方公式的应用．
59．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式，整式混合运算的顺序和法则进行化简，然后再将的值代入即可．
【详解】解：原式
，
把代入，
得：原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握整式混合运算的法则．
60．阅读下列材料：
①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以．
②；．
根据以上材料，解答下列问题：
（1），则______ ；______ ；______ ；
（2），求的值．
【答案】（1）4， 14，194；（2）
【分析】（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值，然后再平方求得的值；
（2）首先方程两边除以2x即可求得的值，然后平方即可求得的值，，然后利用题目提供的立方差公式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
，
；
故答案为：4；14；194；
（2）∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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